4.1.2 第2课时 全概率公式、贝叶斯公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0.则他迟到的概率为(　　) A．0.65　 B．0.075　　 C．0.145　 D．0 解析：C　[设A1＝{他乘火车来}，A2＝{他乘船来}，A3＝{他乘汽车来}，A4＝{他乘飞机来}，B＝{他迟到．易见}：A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式得 P(B)＝P(Ai)P(B|Ai) ＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.] 2．假设某市场供应的笔记本电脑中，市场占有率和合格率如下表： 甲厂 乙厂 市场占有率 合格率 在该市场中随机购买一台笔记本电脑，已知买到的是合格品，则这台电脑是甲厂生产的概率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解：B　[用A表示买到的电脑是甲厂生产的，B表示买到的电脑是合格品，则P(A)＝，P()＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，由贝叶斯公式可知 P(A|B)＝＝＝.] 3．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为.当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为.某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[用A表示生产线初始状态良好，B表示第一件产品是合格品，则P(A)＝，P(B|A)＝，P(B|)＝，从而P()＝， 因此由贝叶斯公式可知 P(A|B)＝ ＝＝.] 4．某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，则一批产品通过检验的概率为(　　) A．0.814　 B．0.809　　C．0.727　 D．0.652 解析：A　[以Ai表示一批产品中有i件次品，i＝0,1,2,3,4，B表示通过检验，则由题意得， P(A0)＝0.1，P(B|A0)＝1，P(A1)＝0.2， P(B|A1)＝＝0.9，P(A2)＝0.4， P(B|A2)＝≈0.809，P(A3)＝0.2， P(B|A3)＝≈0.727，P(A4)＝0.1， P(B|A4)＝≈0.652.由全概率公式， 得P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝0.1×1＋0.2×0.9＋0.4×0.809＋0.2×0.727＋0.1×0.652≈0.814.] 5．(多选题)在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S，疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S，疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%.则(　　) A．任意一位病人有症状S的概率为0.02 B．病人有症状S时患疾症D1的概率为0.4 C．病人有症状S时患疾症D2的概率为0.45 D．病人有症状S时患疾症D3的概率为0.25 解析：ABC　[P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05， P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6， 由全概率公式得P(S)＝P(Di)P(S|Di) ＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02. 由贝叶斯公式得： P(D1|S)＝＝＝0.4， P(D2|S)＝＝＝0.45， P(D3|S)＝＝＝0.15.] 6．(多选)两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为3%；第二批占70%，次品率为6%.将这两批产品混合后，从中任取1件，则下列说法正确的是(　　) A．这件产品是合格品的概率为0.949 B．这件产品是次品的概率为0.949 C．已知取到的是合格品，则它取自第一批产品的概率为 D．已知取到的是合格品，则它取自第二批产品的概率为 解析：AC　[设Ai＝“产品取自第i批”(i＝1,2)，B＝“产品是合格品”，则Ω＝A1∪A2，且A1与A2互斥．由题意得P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.7， P(B|A1)＝0.97，P(B|A2)＝0.94.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝0.3×0.97＋0.7×0.94＝0.949.P(A1|B)＝＝＝＝.] 7．某学校只有三个学院：理学院、工学院和商学院．各学院今年毕业的学生人数分别为180人、180人和240人，考上硕士研究生的概率分别为30%,25%,30%.现从该校毕业的学生中随意抽查一人，则该学生考上硕士研究生的概率为________？ 解析：设A＝{该学生考上硕士研究生}，B1＝{该学生来自理学院}，B2＝{该学生来自工学院}，B3＝{该学生来自商学院}，则B1∪B2∪B3＝Ω，B1，B2，B3两两互不相容，故由全概率公式知所求概率为P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝＝0.285. 8．新型冠状病毒可能造成“持续人传人”，通俗点说就是a传b，b传c，c又传d等，这就是“持续人传人”，而a，b，c分别被称为第一代、第二代、第三代传播者，假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95,0.9,0.85.健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会，仅和感染的10人中的一人接触，则感染的概率为________． 解析：设事件A，B，C分别表示和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D表示小明被感染，则由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，P(C)＝0.2， P(D|A)＝0.95，P(D|B)＝0.9，P(D|C)＝0.85， 则P(D)＝P(D|A)P(A)＋P(D|B)P(B)＋ P(D|C)P(C)＝0.95×0.5＋0.9×0.3＋0.85×0.2＝0.915. 答案：0.915 9．5张彩票中仅有1张中奖彩票，5个人依次摸奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为________，第三个人摸到中奖彩票的概率为________． 解析：记“第i个人抽中中奖彩票”为事件Ai， 显然P(A1)＝，而P(A2)＝P[A2∩(A1∪1)] ＝P(A2∩A1)＋P(A2∩1)＝P(A2A1)＋P(A21)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)P(A2|1)＝×0＋×＝， P(A3)＝P[A3∩(A1A2＋A12＋1A2＋12)] ＝P(A1A2A3)＋P(A12A3)＋P(1A2A3)＋ P(12A3)＝0＋0＋0＋P(A312) ＝P(1)P(2|1)P(A3|12)＝××＝. 答案：　 10．某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如下表所示的数据： 元件制造厂 次品率 提供元件的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志．在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率． 解：设事件Bi表示所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的(i＝1,2,3)，事件A表示取到的是一件次品．其中B1，B2，B3两两互斥，A发生总是伴随着B1，B2，B3之一发生，即A＝B1A∪B2A∪B3A，且B1A，B2A，B3A两两互斥．运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式，得 P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)＋P(B3A) ＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3) ＝0.15×0.02＋0.80×0.01＋0.05×0.03 ＝0.012 5. 因此，在仓库中随机地取一只元件，它是次品的概率为0.012 5. 11．小张从家到公司上班总共有三条路可以走如右图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为P(L1)＝0.5，P(L2)＝0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三条路不拥堵的概率分别为P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7. 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率是多少？ 解：(1)由题意知，不迟到就意味着不拥堵，设事件C表示到公司不迟到，则 P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3) ＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36. (2)P(L1|C)＝＝≈0.28. 所以已知到达公司未迟到，选择道路L1的概率约为0.28. [能力提升] 12．如图，有三个箱子，分别编号为1,2,3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人先从三箱中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率，并说明该球取自几号箱的可能性最大． 解：设事件Bi表示球自i号箱(i＝1,2,3)，事件A表示取得红球． 由全概率公式，可得 P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝×＋×＋×＝. 因为P(B1|A)＝＝＝＝， P(B2|A)＝＝＝＝， P(B3|A)＝＝＝＝， 所以该球取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 13．设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，，.现从这三个地区任抽取一个人． (1)求此人感染此病的概率； (2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率． 解：设Ai＝{第i个地区}，i＝{1,2,3}；B＝{感染此病}． ∴P(A1)＝；P(A2)＝；P(A3)＝. ∴P(B|A1)＝；P(B|A2)＝；P(B|A3)＝. (1)P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝≈0.198， 14．在新型冠状肺炎爆发期间，甲、乙、丙这三个地区分别有6%,5%,4%的人感染了这种新型冠状病毒，假设这三个地区人口数的比为5∶7∶8，现从这三个地区中任意选取一人． (1)求这个人感染了这种病毒的概率； (2)如果此人感染了这种病毒，求此人选自甲地区的概率． 解：设B＝“选取的这个人感染了新型冠状病毒”，A1＝“此人选自甲地区”，A2＝“此人选自乙地区”，A3＝“此人选自丙地区”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2与A3彼此互斥．由题意得 P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.40，P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝0.05，P(B|A3)＝0.04. (1)由全概率公式，得 P(B)＝P(A1)·P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)·P(B|A3) ＝0.25×0.06＋0.35×0.05＋0.40×0.04＝0.048 5. (2)P(A1|B)＝＝ ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$