4.3.1 第2课时 相关系数与非线性回归-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．如图是具有相关关系的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的5个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是(　　) A．D　　　 B．E　　　　C．F　　　 D．A 解析：B　[因为相关系数的绝对值越大，越接近1，则说明两个变量的相关性越强．因为点E到直线的距离最远，所以去掉点E，余下的5个点所对应的数据的相关系数最大．] 2．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5，2)，(13,1)．r1表示变量Y与X之间的样本相关系数，r2表示变量V与U之间的样本相关系数，则(　　) A．r2<r1<0　　　　　 B．0<r2<r1 C．r2<0<r1 D．r2＝r1 解析：C　[对变量X与Y而言，Y随X的增大而增大，故变量Y与X正相关，即r1>0；对变量U与V而言，V随U的增大而减小，故变量V与U负相关，即r2<0.故r2<0<r1.] 3．在一项调查中有两个变量x和y，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程的函数类型是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝c＋d C．y＝m＋nx2 D．y＝p＋qcx(q>0) 解析：B　[散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D，故选B.] 4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x/万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y/万元 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得经验回归方程＝x＋，其中＝0.76，＝－·.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为(　　) A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元 解析：B　[由题意知＝＝10，＝＝8， ∴＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．] 5．(多选)为研究需要，统计了两个变量x，y的数据情况如下表： x x1 x2 x3 … xn y y1 y2 y3 … yn 其中数据x1，x2，x3，…，xn和数据y1，y2，y3，…，yn的平均数分别为和，并且计算相关系数r＝－0.8，回归方程为＝x＋，如下结论正确的为(　　) A．将以上数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变 B．变量x，y的相关性强 C．当x＝x1时，必有＝y1 D.<0 解析：ABD　[A.因为方差是表示数据波动大小的量，将一组数据的每个数都加一个相同的常数后，方差不变，所以A正确；B.相关系数r＝－0.8，|r|>0.75，变量x，y的相关性强，所以B正确；C.当x＝x1时，不一定有＝y1，因此C错误；D.因为r＝－0.8<0，是负相关，所以<0，故D正确．] 6．(多选)下列关于相关系数r的说法正确的是(　　) A．相关系数r越大两个变量间相关性越强； B．相关系数r的取值范围为[－1,1]； C．相关系数r>0时两个变量正相关，r<0时两个变量负相关； D．相关系数r＝1时，样本点在同一直线上． 解析：BCD　[根据相关系数的意义对每个结论进行分析、判断可得错误的结论． 对于相关系数r，有以下结论：①当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关．②r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系． 对于A，当r<0时此结论不成立，所以A不正确． 对于B，由相关系数的性质可得－1≤r≤1，所以B正确． 对于C，由相关系数的性质可得正确． 对于D，由相关系数的性质可得正确．故选BCD.] 7．在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1,2)，(2,0)，(4，－4)，(－1,6)，则y与x的相关系数为________． 法二：观察四个点，发现其在一条单调递减的直线上，故y与x的相关系数为－1. 8．已知某个样本点中的变量x，y线性相关，相关系数r>0，平移坐标系，则在以(，)为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第________象限． 解析：因为r>0，时，b>0，所以大多数的点都落在第一、三象限． 答案：一、三 9．某年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某市场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表： 月平均气温x/℃ 17 13 8 2 月销售量y/件 24 33 40 55 由表中数据算出回归方程＝x＋中的＝－2.气象部门预测下个月的平均气温为6℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售件数为________． 解析：由表格得(，)为(10,38)，又(，)在回归直线＝x＋上，且＝－2，所以38＝－2×10＋，＝58，所以＝－2x＋58，当x＝6时，＝－2×6＋58＝46. 答案：46 10．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y＝ebx＋a的周围．令z＝lny，求得线性回归方程为z＝0.25x－2.58，则该模型的回归方程为________． 解析：因为z＝0.25x－2.58，z＝lny， 所以y＝e0.25x－2.58. 答案：y＝e0.25x－2.58 11．某公司为了准确地把握市场，做好产品生产计划，对过去四年的数据进行整理得到了第X年与年销量Y(单位：万件)之间的关系如表： X 1 2 3 4 Y 12 28 42 56 在图中画出表中数据的散点图，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并估计它们的相关程度． 解：作出散点图如图： 由散点图可知，各点大致分布在一条直线附近，由此推断x与y线性相关． 由题中所给表格及参考数据得： ∵y与x的相关系数近似为0.999 7，可以推断该公司的年销量y与第x年呈正线性相关，且线性相关程度很强． [能力提升] 12．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图． (1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关数加以说明； (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系． (2)由＝≈1.331及(1)得＝ ＝－＝1.331－0.10×4≈0.93. 所以y关于t的回归方程为＝0.93＋0.10t. 将2016年对应的t＝9代入回归方程得＝0.93＋0.10×9＝1.83. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨． 13．习近平总书记在党的十九大报告中指出，要在“幼有所育、学有所教、劳有所得、病有所医、老有所养、住有所居、弱有所扶“上不断取得新进展，保证全体人民在共建共享发展中有更多获得感．现S市政府针对全市10所由市财政投资建设的敬老院进行了满意度测评，得到数据如下表： 敬老院 A B C D E F G H I J 满意度x(%) 20 34 25 19 26 20 19 24 19 13 投资额y(万元) 80 89 89 78 75 71 65 62 60 52 (1)求投资额y关于满意度x的样本相关系数r； (2)我们约定：投资额y关于满意度x的样本相关系数r的绝对值在0.75以上(含0.75)，两者线性相关性较强，否则，线性相关性较弱．如果没有达到较强线性相关关系，则采取“末位淘汰”制(即满意度最低的敬老院市财政将不再继续投资，改为区财政投资)．求在剔除“末位淘汰”的敬老院后投资额y关于满意度x的回归方程．(系数精确到0.1) (2)由(1)可知，样本相关系数r≈0.72<0.75，所以投资额y与满意度x没有达到较强线性相关关系， 所以要“末位淘汰”掉J敬老院． 此时＝＝≈22.89， ＝＝≈74.33， x－92≈288.9＋10×21.92－132－9×22.892≈200.43， xiyi－9≈452.1＋10×21.9×72.1－13×52－9×22.89×74.33≈253.28， ＝－≈74.33－1.3×22.89≈44.6. 所以所求回归方程为＝1.3x＋44.6. [素养培优] 14．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据： x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 112 61 44.5 35 30.5 28 25 24 根据以上数据，绘制了散点图． 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y＝a＋和指数函数模型y＝cedx分别对两个变量的关系进行拟合．已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 ＝96.54e－0.2x，ln y与x的相关系数r1＝－0.94.参考数据： uiyi 2 u yi y e－2 183.4 0.34 0.115 1.53 360 22 385.5 61.4 0.135 (1)用反比例函数模型求y关于x的回归方程； (2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好(精确到0.01)，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本； (3)该企业采取订单生产模式(根据订单数量进行生产，即产品全部售出)．根据市场调研数据，若该产品单价定为100元，则签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2；若单价定为90元，则签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7.已知每件产品的原料成本为10元，根据(2)的结果，企业要想获得更高利润，产品单价应选择100元还是90元，请说明理由． 则＝－＝45－100×0.34＝11， 所以＝11＋100u， 所以y关于x的回归方程为＝11＋. (2)y与的相关系数为： ＝≈0.99. 因为|r1|<|r2|，所以用反比例函数模型拟合效果更好，当x＝10时，y＝＋11＝21(元)， 所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本为21元． (3)①当产品单价为100元，设订单数为x千件，因为签订9千件订单的概率为0.8，签订10千件订单的概率为0.2， 所以E(x)＝9×0.8＋10×0.2＝9.2， 所以企业利润为100×9.2－9.2×＝626.8(千元)． ②当产品单价为90元，设订单数为y千件，因为签订10千件订单的概率为0.3，签订11千件订单的概率为0.7， 所以E(y)＝10×0.3＋11×0.7＝10.7， 所以企业利润为 90×10.7－10.7×＝638.3(千元)． 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择90元． 学科网（北京）股份有限公司 $$