3.1.1 第2课时 基本计数原理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

[基础过关] 1．某年级要从3名男生，2名女生中选派3人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有(　　) A．6种　　 B．7种　　　 C．8种　　 D．9种 解析：D　[可按女生人数分类：若选派一名女生，有2×3＝6种；若选派2名女生，则有3种．由分类加法计数原理，共有9种不同的选派方法．] 2．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为(　　) A．30 B．20 C．10 D．6 解析：D　[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两个不同的数字相加，和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种取法；②取出的两数都是奇数，共有3种取法，故由分类加法计数原理得，共有N＝3＋3＝6种取法。] 3．从0,1,2，…，9这10个数字中，任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a，b)的坐标，能够确定不在x轴上的点的个数是(　　) A．100 B．90 C．81 D．72 解析：C　[分两步：第一步选b，因为b≠0，所以有9种选法；第二步选a，因为a≠b，所以有9种选法．由分步乘法计数原理知共有9×9＝81(个)点．] 4．已知a∈，b∈，r∈，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示的不同圆的个数是(　　) A．6 B．9 C．16 D．24 解析：D　[确定一个圆的方程可分为三个步骤：第一步，确定a，有3种选法；第二步，确定b，有2种选法；第三步，确定 r，有4种选法．由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3×2×4＝24.] 5．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都——泉州”两日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有(　　) A．16种 B．18种 C．20种 D．24种 解析：C　[任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②和⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20(种)．] 6．如图所示，用4种不同颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有(　　) A B C D A.72种 B．48种 C．24种 D．12种 解析：A　[第1步：涂A有4种不同的方法； 第2步：涂B有3种不同的方法； 第3步：涂C有2种不同的方法； 第4步：涂D只要与涂C的颜色不同即可，有3种．故共有4×3×2×3＝72(种)．] 7．甲、乙、丙3个班各有3,5,2名三好学生，现准备推选2名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有________种推选方法． 解析：分为三类：①甲班选1名，乙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×5＝15(种)选法；②甲班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有3×2＝6(种)选法；③乙班选1名，丙班选1名，根据分步乘法计数原理，有5×2＝10(种)选法．综上，根据分类加法计数原理，共有15＋6＋10＝31(种)推选方法． 答案：31 8．若O是正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，Q＝，a，b，c∈Q，且a，b，c互不相同，要使得(a＋b)·c＝0，则有序向量组(a，b，c)的个数为________． 解析： 如图(1)，这样的a，b有6对，且a，b可交换，此时c有2种情况， 所以有序向量组(a，b，c)的个数为6×2×2＝24； 如图(2)，这样的a，b有3对，且a，b可交换，此时c有4种情况， 所以有序向量组(a，b，c)的个数为3×2×4＝24. 综上所述，总数为24＋24＝48. 故答案为48. 答案：48 9.如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的总数为________． 解析：按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C 同色，则有5×4×3×3＝180(种)不同的染色方法． 第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240(种)不同的染色方法． 根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420(种)不同的染色方法． 10．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同． (1)从两个口袋内任取1个小球，有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋内各取1个小球，有多少种不同的取法？ 解：(1)从两个口袋内任取1个小球，有两类方案： 第一类，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二类，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法． 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是5＋4＝9. (2)从两个口袋内各取一个小球，可以分成两个步骤来完成： 第一步，从第一个口袋内任取1个小球，有5种方法； 第二步，从第二个口袋内任取1个小球，有4种方法． 根据分步乘法计数原理知，不同取法的种数是5×4＝20. 11．将一枚骰子连续抛掷三次，掷出的数字顺次排成一个三位数． (1)可以排出多少个不同的三位数？ (2)各位数字互不相同的三位数有多少个？ (3)恰好有两个数字相同的三位数共有多少个？ 解：(1)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位，根据分步乘法计数原理知，可以排出6×6×6＝216(个)不同的三位数． (2)分三步进行：先排百位，再排十位，最后排个位．百位上数字的排法有6种，十位上数字的排法有5种，个位上数字的排法有4种，根据分步乘法计数原理知，各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)． (3)两个数字相同有三种可能，即百位、十位相同，十位、个位相同，百位、个位相同，而每种都有6×5＝30(个)，故满足条件的三位数共有3×30＝90(个)． [能力提升] 12．有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有(　　) A．4 320种 B．2 880种 C．1 440种 D．720种 解析：A　[第1个区域有6种不同的涂色方法，第2个区域有5种不同的涂色方法，第3个区域有 4种不同的涂色方法，第4个区域有3种不同的涂色的方法，第5个区域有4种不同的涂色方法，第6个区域有3种不同的涂色方法，根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×3×4×3＝4 320(种)不同的涂色方法．] 13．从集合中任选2个元素作为椭圆方程＋＝1中的m和n，求落在矩形区域B＝内的椭圆个数． 解：根据题意，知当m＝1时，n可等于2,3，…，8，共对应7个不同的椭圆；当m＝2时，n可以等于1,3,4，…，8，共对应7个不同的椭圆．同理可得，当m＝3,4,5,6,7,8时，各分别对应7个不同的椭圆；当m＝9时，n可以等于1,2，…，8，共对应8个不同的椭圆；当m＝10时，共对应8个不同的椭圆．综上所述，对应的椭圆共有7×8＋8×2＝72(个)． [素养培优] 14．某城市地铁公司为鼓励人们绿色出行，决定按照乘客乘坐地铁的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表所示(其中x∈N*)： 乘坐站数 0＜x≤3 3＜x≤6 6＜x≤9 票价(元) 2 3 4 现有小华、小李两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁的站数都不超过9，且他们各自在每站下地铁的可能性是相同的． (1)若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李下地铁的方案共有多少种？ (2)若小华、小李两人共付费6元，求小华比小李先下地铁的概率． 解：(1)由题表可知，若小华、小李两人共付费5元，则小华、小李一人付费2元一人付费3元，付费2元的乘坐站数有1,2,3三种选择，付费3元的乘坐站数有4,5,6三种选择，所以小华、小李下地铁的方案共有2×3×3＝18种． (2)由题表可知，若小华、小李两人共付费6元，则小华、小李一人付费2元一人付费4元或两人都付费3元．付费2元的乘坐站数有1,2,3三种选择，付费3元的乘坐站数有4,5,6三种选择，付费4元的乘坐站数有7,8,9三种选择，因此小华、小李下地铁的方案共有2×3×3＋3×3＝27种，其中小华比小李先下地铁的方案有3×3＋3＝12种，因此小华比小李先下地铁的概率为＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$