3.3 第2课时 二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教B版2019）

1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于(　　) A．5　　 B．6　　　 C．7　　 D．8 解析：C　[二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， ∴2n－1＝64，∴n＝7.故选C.] 2．若(x3＋)n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为(　　) A．210 B．252 C．462 D．10 解析：A　[由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C＝210.] 3．(x－)10的展开式中，系数最大的项是(　　) A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 解析：D　[展开式第6项系数为－C，第5项和第7项系数分别为C，C且C＝C]． 4．若x10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为(　　) A．10 B．45 C．－9 D．－45 解析：B　[x10＝[1＋(x－1)]10＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10， ∴a8＝C＝C＝45.] 5．(多选)已知n(a＞0，n∈N*)的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的(　　) A．展开式的奇数项的二项式系数的和为256 B．展开式的第6项的系数与二项式系数相等且最大 C．展开式中存在常数项 D．展开式中含x15项的系数为45 解析：BCD　[由(ax2＋)n的展开式的第5项与第7项的二项式系数相等可知n＝10. 又展开式的各项系数之和为1 024，即当x＝1时，(a＋1)10＝1 024，所以a＝1， 所以，其展开式的各二项式系数的和为210＝1 024，则奇数项的二项式系数的和为×1 024＝512，故A错误；由n＝10可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，即第6项的二项式系数最大，因为x2与x－的系数均为1，所以展开式的各项的二项式系数与系数相同，即第6项的各项的二项式系数相等且最大，故B正确；若展开式中存在常数项，则展开式中存在x 6．(多选)已知(2x－m)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7，若a0＋＋＋…＋＝－128，则有(　　) A．m＝2 B．a3＝－280 C．a0＝－1 D．－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14 解析：BCD　[令1－x＝，即x＝，可得(2×－m)7＝(1－m)7＝a0＋＋＋…＋＝－128，得m＝3，若令x＝1，得a0＝(－1)7＝－1，(2x－3)7＝[－1－2(1－x)]－7，所以a3＝C×(－1)7－3×(－2)3＝－280.对(2x－3)7＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a7(1－x)7两边求导得14(2x－3)6＝－a1－2a2(1－x)－…－7a7(1－x)6，令x＝2得－a1＋2a2－3a3＋4a4－5a5＋6a6－7a7＝14.] 7．(1＋)n展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________． 解析：(1＋)n＝a0＋a1＋a2()2＋…＋an()n，令x＝1，得各项系数的和S＝a0＋a1＋…＋an＝2n， ∴8＜2n＜32. 又n∈N，∴n＝4. 由二项式系数的性质得系数最大的项为 T3＝C()2＝6x. 答案：6x 8．若(3x＋1)n(n∈N)的展开式中各项系数之和是256，则展开式中x2的系数是________． 解析：令x＝1，得各项系数之和为4n， ∴4n＝256，解得n＝4，∴x2的系数为C·32＝54. 答案：54 9．若(x－3)3(2x＋1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a0＝________，a0＋a2＋…＋a8＝________. 解析：令x＝0，得(－3)3×15＝a0，所以a0＝－27. 令x＝1，得(－2)3×35＝a0＋a1＋a2＋…＋a8， 令x＝－1，得(－4)3(－1)5＝a0－a1＋a2－…＋a8，两式相加得2(a0＋a2＋…＋a8)＝－1 880，所以a0＋a2＋…＋a8＝－940. 答案：－27；－940 10．已知(a2＋1)n展开式中的各项系数之和等于5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54，求a的值． 解：由5，得 Tr＋1＝C(x2)5－r()r 令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，∴r＝4， ∴常数项T5＝C×＝16. 又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n， 由题意得2n＝16，∴n＝4. 由二项式系数的性质知，(a2＋1)n展开式中系数最大的项是中间项T3， ∴Ca4＝54， ∴a＝±. 11．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6. 解：(1)令x＝0，则a0＝－1； 令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.，① 所以a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② 由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256. (3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6) ＝128＋(－4)7， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128. [能力提升] 12．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn的项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝(　　) A．45 B．60 C．120 D．210 解析：C　[利用二项式定理得到xmyn的系数，运用组合数公式计算． ∵f(m，n)＝CC， ∴f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(3,0) ＝CC＋CC＋CC＋CC＝120.] 13．已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项． 解：令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5. 假设Tr＋1项系数最大， 则有 ∴ 即 ∵r∈N，∴r＝4， [素养培优] 14．在n(n≠7，且n∈N*)的展开式中． (1)若所有二项式系数之和为256，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍，求展开式中各项的系数的绝对值之和． 解：(1)由已知得C＋C＋…＋C＝256， ∴2n＝256，∴n＝8，∴二项式系数最大的项为T5＝C()4＝. ∵第3项的系数的14倍是第2项与第4项的系数的绝对值之和的9倍． ∴C×14＝×9，解得n＝10或n＝7(舍去)． 因为10的展开式中各项的系数的绝对值之和与10的展开式中各项的系数之和相等， 所以对于10，令x＝1，得10＝10，即10的展开式中各项的系数的绝对值之和为10. 学科网（北京）股份有限公司 $$