《3.3勾股定理的简单应用》暑假预习手册24-2025-2026学年苏科版数学八年级上册

2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册24-《3.3勾股定理的简单应用》 ( 一．预习 目标 1.理解勾股定理的基本概念，掌握其表达式 a 2 + b 2 = c 2 （其中 a、b 为直角边，c 为斜边 ），并明白勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系。 2.能够运用勾股定理在已知直角三角形的任意两条边长时，求出第三边的长度。 3.学会将实际生活中的问题转化为数学模型，利用勾股定理解决与直角三角形相关的实际问题，如测量、建筑、航海等领域的问题 ，体会数学在实际生活中的应用价值。 4.通过预习，培养自主探究、分析问题和解决问题的能力，提高逻辑思维水平，为课堂学习打下良好基础。 ) ( 二 、 预习内容 （一）知识回顾 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 。公式的变形：a 2 = c 2 - b 2 ， b 2 = c 2 -a 2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a 2 + b 2 = c 2 ，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在 △ ABC   中, ∠ C=90 ° 在 △ ABC   中， a 2 ＋b 2 ＝c 2 结论 a 2 ＋b 2 ＝c 2 ∠ C=90 ° 区别 勾股定理是以 “ 一个三角形是直角三角形 ” 为题设，进而得到这个三角形三边的关系，即 “ a 2 ＋b 2 ＝c 2 （c   为斜边） ” ，由形到数 勾股定理的逆定理是以 “ 一个三角形的三边满足   a2+b2=c2   （c   为最长边） ” 为题设，进而得到这个三角形是直角三角形，由数到形 3.勾股数 （1）.概念：满足 a 2 ＋b 2 ＝c 2 的三个正整数a，b，c称为勾股数。 （2）常见勾股数： ① （ 为正整数）； 例如：（3，4，5）；（8，6，10）；（15，8，17）；（24，10，26）等。 ② （ 为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7.24，25）；（9，40，41）等。 ③ （ ， 为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（11，60，61）等。 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 ) ( 三．经典例题 （ 一 ） ． 利用勾股定理求面积 例1 ．如图，阴影部分是一个长方形，求它的面积． 例2 .如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 ， 求 S 1 +S 2 +S 3 . （ 二 ） ． 应用勾股定理解决 “ 折竹 ” 问题 。 例3. 九章算术中的 “ 折竹 ” 问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ （ 三 ） ． 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例4 、如图1所示，等腰 △ ABC 中， AB=AC ， AD 是底边上的高，若 AB=5cm ， BC=6cm 求 ① AD的长； ②Δ ABC的面积． （四）． 勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 例 5 ．在 △ ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图 ① ，若 ∠ C＝90 ° ，则有a 2 +b 2 ＝c 2 ．若 △ ABC为锐角三角形时，小明猜想：a 2 +b 2 ＞c 2 ．理由如下：如图 ② ，过点A作AD ⊥ CB于点D，设CD＝x．在Rt △ ADC中，AD 2 ＝b 2 ﹣ x 2 ，在Rt △ ADB中，AD 2 ＝c 2 ﹣ （a ﹣ x） 2 ， ∴ a 2 +b 2 ＝c 2 +2ax． ∵ a＞0，x＞0， ∴ 2ax＞0， ∴ a 2 +b 2 ＞c 2 ， ∴ 当 △ ABC为锐角三角形时，a 2 +b 2 ＞c 2 ．小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当 △ ABC为钝角三角形时，a 2 +b 2 与c 2 的大小关系．（温馨提示：在图 ③ 中，作BC边上的高） （2）证明你猜想的结论是否正确． ) ( 例 6 . 如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，且AD＝4，BD＝3，CD＝5. (1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数． （五）． 应用勾股定理 : 解决楼梯上铺地毯问题 例 7 . 某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m， 求 购买这种地毯至少需要 多少 元． （六）． 应用勾股定理解决 梯子 的 下滑 问题 例8 .如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m. (1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m至点C处,那么梯子的底端B也外移0.4 m吗?请通过计算说明. (2)点P为AB的中点,小明将一根绳子的一端固定在点P处,拉直后将另一端固定在点O处.你觉得这样能防止梯子顶端下滑吗?简要说明理由. （ 七 ） ：应用勾股定理解决折叠问题 例 9 ．如图，在直角三角形纸片ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD． （1）直接写出AB的长是 　 　 ； （2）求CD的长． 例 10 . 如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF； （2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． ) ( （ 八 ） ：应用勾股定理解决 航行 问题 例1 1 . 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米． （1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长． 例12. 如图，甲船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一半小时后分别到达B、A两处，且知AB长为30海里，问乙船每小时航行多少海里？ （九） ：应用勾股定理解决 长方体 （ 正方体 ）、 圆柱、空间 最短路径 例13. 有一长方体的食物包装纸盒如图 ， 已知长方体的底面长 为12 ， 宽为9 ， 高为5 ， 一只蚂蚁想从底面 A 处爬到 B 处去吃食物 ， 请问：蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 例14 .如图，一圆柱高为8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁沿圆柱侧面从点A爬到点B处吃食，蚂蚁要爬行的最短路程（ π 取3）是多少？ 例15. 一个 长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm 的长方体盒子能容 下的最长木棒长为 多少？ （十） 应用勾股定理解决 台风、噪音问题 例16. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十 千米 的范围内形成气旋风暴 ， 有极强的 破坏力，据气象台观测，距沿海某城市 A的 正南方 向240 千米 的 B 处有一台风中心，其中心风力为 12级，每远离台风中心25 千米， 风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东 30 度 的方向往 C 移动 ， 如图所示，且台风中心的风力不变 . 若城市所受风力达到或超过4级， 则称受台风影响. （ 1） 该城市是否会受台风的影响？请说明理由 （ 2 ） 若会受到台风影响，则台风影响城市的持续时间有多长？ （ 3 ） 该城 市受到台风影响的最大风力为几级? ) ( 例17 ．如图，有两条公路 OM 、 ON 相交成 30 度 角，沿公路 OM 方向离 O 点80米处有一所学校 A ．当重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车 噪声的影响，且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为18千米 / 时． （1）求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离； （2）求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间． 例18. 如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多少小时它就会进入台风影响区域． 【小结】 应用勾股定理解决 实际 问题 用勾股定理解决实际问题的核心是将实际场景转化为直角三角形模型。 基本思路和步骤如下： 1 、明确问题，识别直角三角形 分析实际问题中的几何关系，判断是否存在直角三角形，或能否通过构造辅助线形成直角三角形（比如梯子靠墙、旗杆与地面垂直等场景）。确定直角三角形的三条边中，哪些边是已知的，哪些边是需要求解的。 2 、设定未知数，对应边长 用字母（如a、b、c）表示直角三角形的三条边，其中直角所对的边为斜边c，另外两条为直角边a、b。根据题意，将已知数据对应到设定的边中，未知边用未知数表示。 3 、应用勾股定理列方程 根据勾股定理a^2 + b^2 = c^2，结合已知条件和设定的未知数，列出数学方程。 4. 解方程，求出未知量 求解所列方程，得到未知边的长度（注意单位统一，结果需符合实际意义，比如长度为正数）。 ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1 ，S 2 ，S 3 ，且S 1 ＝4，S 3 ＝16，则S 2 ＝（　　） A．20 B．12 C．2 D．2 2 ．如图在四边形ABCD中， ，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲 ，S 乙 ，S 丙 ，S 丁 来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 3 .如图，以 的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形 、正方形 的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 4. 如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（    ）处． A．5m B．7m C．7.5m D．8m 5 ．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a + b） 2 ﹣c 2 ，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 6 ． 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离 AC 为（　 ） A．3米 B．5米 C．7米 D．9米 7. 如图，AB为某河流的宽，为了估测河流的宽，在笔直的河岸上依此取点C，E，B，F，使DE ⊥ CF，且DA ∥ CF，测得CE＝2米，EB＝4米，BF＝7米，且 ∠ C＝ ∠ FDC，则AB的长为（　　）米． A． B．6.9 C．4 D．7 ) ( 8. 如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（　　） A．12 ≤ a ≤ 13 B．12 ≤ a ≤ 15 C．5 ≤ a ≤ 12 D．5 ≤ a ≤ 13 9. 如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA ⊥ AB于点A，CB ⊥ AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（　　） A．10km B．15km C．20km D．25km 10 ． 如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(　　) A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 （二）填空题 1 1 . 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积和为______． 1 2 ．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为 _____. 13 .如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,那么乙船沿 　　　　 方向 航行 。 14 、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行 _________. ) ( 15 如图一个梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，测得 AO ＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子 AB 的长度为 ___-. 1 6 ．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 ，当他把绳子的下端拉开 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高 为________. （ 三）解答题 1 7 ． 如图，将墙面和地平线的一部分分别标记 ， ，且 ．把长为10m的梯子 斜靠在墙上，梯子底端离墙角6m．如果梯子的顶端下滑了2m，求梯子底部在水平方向滑动的距离BD． 18 ．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN的长； （2）求以线段MN为边长的正方形的面积； （3）求线段AM的长度． 1 9 .【运算能力】沿海城市A接到台风警报,在该市正南方向130 km的B处有一台风中心,沿BC方向以15 km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD=50 km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?如果在距台风中心30 km的圆形区域内都有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可远离危险?(游人撤离的速度大于台风中心移动的速度) ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 . 如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为S A 、S B 、S C 、S D 、S E 、S F ，则下列各式正确有（   ）个. ①S A +S B +S C +S D =49； ②S E +S F =49； ③S A +S B +S F =49； ④S C +S D +S E =49 A．1 B．2 C．3 D．4 2 ．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 ．若S 1 ＋S 2 ＋S 3 ＝18，则S 2 的值是（ ） A． B．6 C．5 D． 3. 如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺． A．10 B．12 C．13 D．14 4 . 若直角三角形的两边长分别为 a ， b ，且满足 a2-6a+9+|b ﹣ 4|=0 ，则该直角三角形的第三边长为（　　） A.5 B.7 C.4 D.5 或 7 5 ．在 △ ABC中， ∠ A， ∠ B， ∠ C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A． 如果 ∠ A﹣ ∠ B= ∠ C，那么 △ ABC是直角三角形 B．如果a 2 =b﹣ 2 c 2 ，那么 △ ABC是直角三角形且 ∠ C=90° C．如果 ∠ A： ∠ B： ∠ C=1：3：2，那么 △ ABC是直角三角形 D．如果a 2 ：b 2 ：c 2 =9：16：25，那么 △ ABC是直角三角形 6 .如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为(　　) A.2.2米　　　　B.2.3米　　　　C.2.4米　　　　D.2.5米 7 ．如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（　　） A．10km B．15km C．20km D．25km ) ( 8 ．如图所示，若圆柱的底面周长是30 cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是（　　） A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm 9 ． 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 m，将它往前推6m至C处时（即水平距离 m），踏板离地的垂直高度 m，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是（　　） A． m B． m C．6m D． m 1 0 ． 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 二．填空题 1 1 . 如图直线 上有三个正方形 ， ， ，若 ， 的面积分别为 和 1 ，则 的面积为 ______ 12 .用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为 　 　 ． 13 .若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13,且周长为60 cm,则它的面积为 　　 cm 2 .  14 . 如图，圆柱形容器的高为 1.2 米，底面周长为1米，在容器内壁高容器底部 0.3 米的点 B 处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器 外壁 高容器上沿 0.3 米与蚊子相对的点 A 处，求 壁虎 捉到蚊子的最短路程是 ___________. ) ( 1 5 ．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 　 　 m．（边缘部分的厚度忽略不计） 1 6 ．如图所示是一种盛饮料的圆柱形杯，测得其内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，则吸管至少要 　 　 cm． 1 7 ．长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 　 　 ． 1 8 ． 如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”.已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为 　 　 . 19. 图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为 　 　 ． 20. 一长方体容器（如图1），长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD的长为 　 　 ． ) ( 三．解答题（60分） 21. 我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？ 22. 如图所 示，某公路一 侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC=8km，BC=15km，AB=17km， ∠ 1=30 ° ，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？ 23 .长方体共顶点的三条棱长如图所示,三只蚂蚁同时从点A出发,同速沿长方体表面爬行去点M处觅食,蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为A→B→M、A→C→M、A→D→M,若三只蚂蚁都爬行自己的最短路径,通过计算说明哪只蚂蚁最先到达,哪只蚂蚁最后到达? 24 . 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7 cm，AC＝25 cm.点P从点A沿AB方向以1 cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6 cm/s的速度运动至点C，P，Q两点同时出发． (1)求BC的长； (2)当点P，Q运动2 s时，求P，Q两点之间的距离； (3)P，Q两点运动几秒时，AP＝CQ? ) ( 25. 在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90 ° 到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B， 求： （1）旗杆的高度OM （2）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN． 2 6 ．我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将 △ ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则 △ ADC ≌△ ADC'． 尝试解决： （1）如图2， △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝6，BC＝8，将 △ ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长． （2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将 △ ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG． ① 求证：PE＝DF； ② 求AP的长度。 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年暑假苏科版新八年级数学预习手册24-《3.3勾股定理的简单应用》 ( 一．预习 目标 1.理解勾股定理的基本概念，掌握其表达式 a 2 + b 2 = c 2 （其中 a、b 为直角边，c 为斜边 ），并明白勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系。 2.能够运用勾股定理在已知直角三角形的任意两条边长时，求出第三边的长度。 3.学会将实际生活中的问题转化为数学模型，利用勾股定理解决与直角三角形相关的实际问题，如测量、建筑、航海等领域的问题 ，体会数学在实际生活中的应用价值。 4.通过预习，培养自主探究、分析问题和解决问题的能力，提高逻辑思维水平，为课堂学习打下良好基础。 ) ( 二 、 预习内容 （一）知识回顾 1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a 2 + b 2 = c 2 。公式的变形：a 2 = c 2 - b 2 ， b 2 = c 2 -a 2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a 2 + b 2 = c 2 ，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在 △ ABC   中, ∠ C=90 ° 在 △ ABC   中， a 2 ＋b 2 ＝c 2 结论 a 2 ＋b 2 ＝c 2 ∠ C=90 ° 区别 勾股定理是以 “ 一个三角形是直角三角形 ” 为题设，进而得到这个三角形三边的关系，即 “ a 2 ＋b 2 ＝c 2 （c   为斜边） ” ，由形到数 勾股定理的逆定理是以 “ 一个三角形的三边满足   a2+b2=c2   （c   为最长边） ” 为题设，进而得到这个三角形是直角三角形，由数到形 3.勾股数 （1）.概念：满足 a 2 ＋b 2 ＝c 2 的三个正整数a，b，c称为勾股数。 （2）常见勾股数： ① （ 为正整数）； 例如：（3，4，5）；（8，6，10）；（15，8，17）；（24，10，26）等。 ② （ 为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7.24，25）；（9，40，41）等。 ③ （ ， 为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（11，60，61）等。 4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。 ) ( 三．经典例题 （ 一 ） ． 利用勾股定理求面积 例1 ．如图，阴影部分是一个长方形，求它的面积． 解：由勾股定理得 （cm）， ∴ 长方形的面积为5 × 1＝5（cm 2 ）． 例2 .如图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16，△AEH、△BDC、△GFI的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 ， 求 S 1 +S 2 +S 3 . 解：过点A作AI ⊥ EH，交HE的延长线于点I， ∴∠ I= ∠ DFE=90°， ∵∠ AEI+ ∠ DEI= ∠ DEI+ ∠ DEF=90°， ∴∠ AEI= ∠ DEF， ∵ AE=DE， ∴△ AEI ≌△ DEF(AAS)， ∴ AI=DF， ∵ EH=EF， ∴ S △AHE =S △DEF ， 同理：S △BDC =S △GFI =S △DEF ， S △AHE +S △BDC +S △GFI =S 1 +S 2 +S 3 =3×S △DEF ， ∵ 正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别为25、9、16， ∴ DE 2 =DF 2 +EF 2 , ∴△ DEF是Rt三角形，且 ∠ DFE=90°， ∴ S △DEF = ×3×4=6， ∴ S 1 +S 2 +S 3 =18.故答案为：18. （ 二 ） ． 应用勾股定理解决 “ 折竹 ” 问题 。 例3. 九章算术中的 “ 折竹 ” 问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 解：如图， 我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB来表示竹梢触地处离竹根的距离．设OA＝x，则AB＝10－x． ∵∠ AOB＝90 ° ， ∴ OA 2 ＋OB 2 ＝AB 2 ， ∴ x 2 ＋3 2 ＝（10－x） 2 ． x= ；答： 折断处离地面 尺高 。 （ 三 ） ． 应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例4 、如图1所示，等腰 △ ABC 中， AB=AC ， AD 是底边上的高，若 AB=5cm ， BC=6cm 求 ① AD的长； ②Δ ABC的面积． 解：AB=AC，ADLBC:.BD=DC ·∵ BC=6 ， ∴ BD=DC=3 ； 在Rt △ ABD中, S △ ABC = xB0xAD= x6x4=12(cm ² ) ) ( （四）． 勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 例 5 ．在 △ ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，如图 ① ，若 ∠ C＝90 ° ，则有a 2 +b 2 ＝c 2 ．若 △ ABC为锐角三角形时，小明猜想：a 2 +b 2 ＞c 2 ．理由如下：如图 ② ，过点A作AD ⊥ CB于点D，设CD＝x．在Rt △ ADC中，AD 2 ＝b 2 ﹣ x 2 ，在Rt △ ADB中，AD 2 ＝c 2 ﹣ （a ﹣ x） 2 ， ∴ a 2 +b 2 ＝c 2 +2ax． ∵ a＞0，x＞0， ∴ 2ax＞0， ∴ a 2 +b 2 ＞c 2 ， ∴ 当 △ ABC为锐角三角形时，a 2 +b 2 ＞c 2 ．小明的猜想是正确的． （1）请你猜想，当 △ ABC为钝角三角形时，a 2 +b 2 与c 2 的大小关系．（温馨提示：在图 ③ 中，作BC边上的高） （2）证明你猜想的结论是否正确． 解：（1）当 △ ABC为钝角三角形时，a 2 +b 2 与c 2 的大小关系为：a 2 +b 2 ＜c 2 ； （2）如图 ③ ，过点A作AD ⊥ BC于点D，设CD＝x，在Rt △ ADC中，AD 2 ＝b 2 ﹣ x 2 ， 在Rt △ ADB中，AD 2 ＝c 2 ﹣ （a+x） 2 ， ∴ b 2 ﹣ x 2 ＝c 2 ﹣ （a+x） 2 ， ∴ a 2 +b 2 ＝c 2 ﹣ 2ax， ∵ a＞0，x＞0， ∴ 2ax＞0， ∴ a 2 +b 2 ＜c 2 即当 △ ABC为钝角三角形时，a 2 +b 2 ＜c 2 ． 例 6 . 如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，且AD＝4，BD＝3，CD＝5. (1)判断△DEC的形状，并说明理由；(2)求∠ADB的度数． 解：(1)△DEC是直角三角形，理由如下：因为△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△CBE，所以△CBE≌△ABD.所以BE＝BD＝3，CE＝AD＝4.又因为∠DBE＝60°，所以△BDE是等边三角形．所以DE＝BD ＝3.又因为CD＝5，所以DE 2 ＋CE 2 ＝3 2 ＋4 2 ＝25＝5 2 ＝CD 2 .所以△DEC是直角三角形． (2)由(1)，得∠DEC＝90°，△BDE是等边三角形，所以∠BED＝60°.所以∠BEC＝90°＋60°＝150°.因为△ABD≌△CBE，所以∠ADB＝∠BEC＝150°. （五）． 应用勾股定理 : 解决楼梯上铺地毯问题 例 7 . 某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m， 求 购买这种地毯至少需要 多少 元． 解： 楼梯的竖直高是3m，斜边是5m， 水平直角边是 m， 购买这种地毯的长是3m+4m=7m， 楼梯宽2m，地毯价格为每平方米20元 价格是7×2×20=280元．故答案为280． （六）． 应用勾股定理解决 梯子 的 下滑 问题 例8 .如图,一架2.5 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.4 m. (1)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4 m至点C处,那么梯子的底端B也外移0.4 m吗?请通过计算说明. (2)点P为AB的中点,小明将一根绳子的一端固定在点P处,拉直后将另一端固定在点O处.你觉得这样能防止梯子顶端下滑吗?简要说明理由. ) ( 解 : (1)在Rt△AOB中, OB 2 =AB 2 -AO 2 =2.5 2 -2.4 2 =0.49,∴OB=0.7 m.∵AO=2.4 m,AC=0.4 m, ∴CO=2 m.在Rt△DOC中, DO 2 =CD 2 -CO 2 =2.5 2 -2 2 =2.25,∴DO=1.5 m,∴BD=DO-BO=1.5-0.7 =0.8 m,故梯子的底端B外移了0.8 m. (2)不能防止梯子下滑.理由:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,梯子顶端若下滑,绳子的长度不变,并不拉伸,不能防止梯子下滑. （ 七 ） ：应用勾股定理解决折叠问题 例 9 ．如图，在直角三角形纸片ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD． （1）直接写出AB的长是 　 　 ； （2）求CD的长． 解： （1） ∵ 直角三角形纸片ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝6，BC＝8， ∴ AB 10，故答案为：10； （2）由折叠的性质可知，AD是 ∠ CAB的平分线，DC ⊥ AC，DE ⊥ AB，AC＝AE， ∴ DC＝DE， ∵ AC＝6，AB＝10， ∴ AE＝6，BE＝4，设CD＝x，则BD＝8 ﹣ x，DE＝x， ∵ DE ⊥ BE， ∴ x 2 +4 2 ＝（8 ﹣ x） 2 ，解得，x＝3，即CD的长是3． 例 10 . 如图把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处．（1）试说明B'E＝BF； （2）设AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． 解：（1）证明：由折叠的性质得：B'F＝BF， ∠ B'FE＝ ∠ BFE，在长方形纸片ABCD中，AD ∥ BC， ∴∠ B'EF＝ ∠ BFE， ∴∠ B'FE＝ ∠ B'EF， ∴ B'F＝B'E， ∴ B'E＝BF． （2）a，b，c之间的关系是a 2 +b 2 ＝c 2 ．理由如下：由（1）知B'E＝BF＝c，由折叠的性质得： ∠ A'＝ ∠ A＝90 ° ，A'E＝AE＝a，A'B'＝AB＝b．在 △ A'B'E中， ∵∠ A'＝90 ° ， ∴ A'E 2 +A'B' 2 ＝B'E 2 ， ∴ a 2 +b 2 ＝c 2 ． （ 八 ） ：应用勾股定理解决 航行 问题 例1 1 . 笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米． （1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长． ) ( 解： （1）△HBC是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH 2 +BH 2 =4 2 +3 2 =25，BC 2 =25， ∴CH 2 +BH 2 =BC 2 ，∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°； （2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-3，CH=4，由勾股定理得：AC 2 =AH 2 +CH 2 ，∴x 2 =（x-3） 2 +4 2 ，解这个方程，得x= ， 答：原来的路线AC的长为 千米． 例12. 如图，甲船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙船同时同地向西南方向航行，已知他们离开港口一半小时后分别到达B、A两处，且知AB长为30海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解： 甲轮船向东南方向航行，乙轮船向西南方向航行， ， 甲轮船以16海里 小时的速度航行了一个半小时， 海里， 海里， 在 中， ， 乙轮船每小时航行 海里． （九） ：应用勾股定理解决 长方体 （ 正方体 ）、 圆柱、空间 最短路径 例13. 有一长方体的食物包装纸盒如图 ， 已知长方体的底面长 为12 ， 宽为9 ， 高为5 ， 一只蚂蚁想从底面 A 处爬到 B 处去吃食物 ， 请问：蚂蚁爬行的最短距离是多少？ 解：（1）第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是 和 ，则所走的最短线段是 ，第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是 和 ，所以走的最短线段是 ；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是 和 ，所以走的最短线段是 ；三种情况比较而言，第一种情况最短， 蚂蚁爬行的最短距离是 ； 例14 .如图，一圆柱高为8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁沿圆柱侧面从点A爬到点B处吃食，蚂蚁要爬行的最短路程（ π 取3）是多少？ 解：如图所示：可以把 和 展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：矩形的长 ，矩形的宽 ，在直角三角形 中， ， ，根据勾股定理得： ． 例15. 一个 长、宽、高分别为 4cm、3cm、12cm 的长方体盒子能容 下的最长木棒长为 多少？ 解： 侧面对角线 ， ， ， ， 空木箱能放的最大长度为 ， ) ( （十） 应用勾股定理解决 台风、噪音问题 例16. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十 千米 的范围内形成气旋风暴 ， 有极强的 破坏力，据气象台观测，距沿海某城市 A的 正南方 向240 千米 的 B 处有一台风中心，其中心风力为 12级，每远离台风中心25 千米， 风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东 30 度 的方向往 C 移动 ， 如图所示，且台风中心的风力不变 . 若城市所受风力达到或超过4级， 则称受台风影响. （ 1） 该城市是否会受台风的影响？请说明理由 （ 2 ） 若会受到台风影响，则台风影响城市的持续时间有多长？ （ 3 ） 该城 市受到台风影响的最大风力为几级? 解：（1）该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过 作 于 ．在 中， ， ， ， 城市受到的风力超过四级，则称受台风影响， 受台风影响范围的半径为 ． ， 该城市会受到这次台风的影响． （2）如图以 为圆心，200为半径作 交 于 、 ．则 ． 台风影响该市持续的路程为： ． 台风影响该市的持续时间 （小时）． （ 3） 距台风中心最近， 该城市受到这次台风最大风力为： （级 ． 例17 ．如图，有两条公路 OM 、 ON 相交成 30 度 角，沿公路 OM 方向离 O 点80米处有一所学校 A ．当重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶时，在以 P 为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车 噪声的影响，且卡车 P 与学校 A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车 P 沿道路 ON 方向行驶的速度为18千米 / 时． （1）求对学校 A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校 A 的距离； （2）求卡车 P 沿道路 ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间． 解：（1）作 于 ， ， ， ， 即对学校 的噪声影响最大时卡车 与学校 的距离 ．（2）如图以 为圆心 为半径画圆，交 于 、 两点， ， ，在 中， ， ， 重型运输卡车的速度为18千米 时 米 分钟， 重型运输卡车经过 的时间 分钟 秒，答：卡车 沿道路 方向行驶一次给学校 带来噪声影响的时间为12秒． ) ( 例18. 如图，一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行，途中接到台风警报，某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC＝500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA＝300km，如果这艘轮船会受到台风影响，那么从接到警报开始，经过多少小时它就会进入台风影响区域． 解：由题意，作图如下：设x小时后，就进入台风影响区，根据题意得出，CE＝40xkm，BB ′ ＝20xkm， ∵ BC＝500，AB＝300， ∴ （km）， ∴ AE＝（400 ﹣ 40x）km，AB ′ ＝（300 ﹣ 20x）km， ∵ AE 2 +AB ′ 2 ＝EB ′ 2 ， ∴ （400 ﹣ 40x） 2 +（300 ﹣ 20x） 2 ＝200 2 ， 解得：x 1 ＝ ， x 2 ＝ （不符合题意，舍去）． 答：从接到警报开始，经过7小时它就会进入台风影响区． 【小结】 应用勾股定理解决 实际 问题 用勾股定理解决实际问题的核心是将实际场景转化为直角三角形模型。 基本思路和步骤如下： 1 、明确问题，识别直角三角形 分析实际问题中的几何关系，判断是否存在直角三角形，或能否通过构造辅助线形成直角三角形（比如梯子靠墙、旗杆与地面垂直等场景）。确定直角三角形的三条边中，哪些边是已知的，哪些边是需要求解的。 2 、设定未知数，对应边长 用字母（如a、b、c）表示直角三角形的三条边，其中直角所对的边为斜边c，另外两条为直角边a、b。根据题意，将已知数据对应到设定的边中，未知边用未知数表示。 3 、应用勾股定理列方程 根据勾股定理a^2 + b^2 = c^2，结合已知条件和设定的未知数，列出数学方程。 4. 解方程，求出未知量 求解所列方程，得到未知边的长度（注意单位统一，结果需符合实际意义，比如长度为正数）。 ) ( 三．基础过关 （一）选择题 1.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1 ，S 2 ，S 3 ，且S 1 ＝4，S 3 ＝16，则S 2 ＝（　　） A．20 B．12 C．2 D．2 【答案】B 【解析】由勾股定理得，AC 2 ＝AB 2 ﹣BC 2 ＝16﹣4＝12， 则S 2 ＝AC 2 ＝12， 故选：B． 2 ．如图在四边形ABCD中， ，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S 甲 ，S 乙 ，S 丙 ，S 丁 来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【 答案 】 ．D 【 解析】 连接AC，由勾股定理得AB 2 +BC 2 =AC 2 ，AD 2 +CD 2 =AC 2 ，∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D． 3 .如图，以 的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形 、正方形 的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 【答案】139 【解析】如图，∵正方形 、正方形 的面积分别为25、144，∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12 ∴阴影部分的面积为169- ×5×12=169-30=139 故答案为：139． 4. 如图，一棵高为16m的大树被台风刮断．若树在地面6m处折断，则树顶端落在离树底部（    ）处． A．5m B．7m C．7.5m D．8m 【 答案 】 ：D 【 解析 】 ：设树顶端落在离树底部xm，由题意得：6 2 +x 2 =（16-6） 2 ，解得：x 1 =8，x 2 =-8（不符合题意，舍去）．所以，树顶端落在离树底部8m处．故选：D． ) ( 5 ．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a + b） 2 ﹣c 2 ，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【 答案 】C 【解答】 ∵ 原式可化为a 2 + b 2 =c 2 ， ∴ 此三角形是直角三角形．故选：C． 6 ． 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图（1）已知云梯最多只能伸长到15m，消防车高3m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12m高处救人后，还要从15m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离 AC 为（　 ） A．3米 B．5米 C．7米 D．9米 【答案】 A 【解析】 如图 m， m， m， m， 在 中， m， 在 中， m，∴ m， 故答案为：A． 7. 如图，AB为某河流的宽，为了估测河流的宽，在笔直的河岸上依此取点C，E，B，F，使DE ⊥ CF，且DA ∥ CF，测得CE＝2米，EB＝4米，BF＝7米，且 ∠ C＝ ∠ FDC，则AB的长为（　　）米． A． B．6.9 C．4 D．7 【 答案】 C 【 解析 】 ∵ DE ⊥ CF，DA ∥ CF， ∴∠ ADE＝ ∠ DEB＝90 ° ，由题意得AB ⊥ CF， ∴ 四边形ABED是矩形， ∴ DE＝AB， ∵∠ C＝ ∠ FDC， ∴ DF＝CF＝CE+BE+BF＝13米， ∵ EF＝BE+BF＝11米， ∴ DE＝ ＝4 （米），答：AB的长为4 米．故选：C． 8. 如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（　　） A．12 ≤ a ≤ 13 B．12 ≤ a ≤ 15 C．5 ≤ a ≤ 12 D．5 ≤ a ≤ 13 ) ( 【 答案】 D 【 解析 】如图，过A作AB ⊥ BC于B， ∵ 下底面半径是5，高是12， ∴ AB＝12，BC＝5， ∴ AC＝ ＝ ＝13， ∴ a的长度的取值范围是5 ≤ a ≤ 13，故选D． 9. 如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA ⊥ AB于点A，CB ⊥ AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（　　） A．10km B．15km C．20km D．25km 【 答案】 A 【 解析】 设AE＝xkm，则BE＝（25 ﹣ x）km，根据题意可得： ∵ DE＝CE， ∴ AD 2 +AE 2 ＝BE 2 +BC 2 ， 故10 2 +x 2 ＝（25 ﹣ x） 2 +15 2 ，解得：x＝15，则BE＝25 ﹣ 15＝10（km）．故选：A． 10 ． 如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5 m的墙上，任何东西只要移至该灯5 m及5 m以内时，灯就会自动发光.请问一个身高1.5 m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？(　　) A．4米 B．3米 C．5米 D．7米 【答案】 A 【解析】 由题意可知，BE＝CD＝1.5 m，AE＝AB－BE＝4.5－1.5＝3 m，AC＝5 m，由勾股定理，得CE＝ ＝4 m，故离门4米远的地方，灯刚好发光，故答案为：A. （二）填空题 1 1 . 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积和为______． 【答案】81 【解析】 两个阴影正方形的面积和为15 2 -12 2 =81，故答案为81. 1 2 ．已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为 _____. 【 答案 】 12 【 解析 】过点A作AD ⊥ BC， ∵ AB＝AC， ∴ BD＝CD＝ BC＝ 18＝9， ∴ AD＝ ＝12（cm）， ∴ 它底边上的高为12cm； ) ( 13 .如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,那么乙船沿 　　　　 方向 航行 。 【 答案】 北偏东50° 【 解析 】 　由题意可知 AP=12海里,BP=16海里,AB=20海里.∵12 2 +16 2 =20 2 ,∴△APB是直角三角形,∴∠APB=90°,由题意知∠1=40°,∴∠2=90°-∠1=90°-40°=50°,即乙船沿北偏东50°方向航行.故答案为北偏东50°. 14 、如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行 _________. 【 答案 】 ： 10米 【 解析 】 ：如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C点作CE ⊥ AB于E，则EBDC是矩形，连接AC， ∴ EB=4米，EC=8米，AE=AB﹣EB=10﹣4=6米， 在Rt △ AEC中， （米）． 15 如图一个梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上，测得 AO ＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子 AB 的长度为 ___-. 【 答案 】 ：10米 【 解析 】 ： 由题意得： AC ＝ BD ＝2米， ∵ AO ＝8米， ∴ CO ＝6米，设 BO ＝ x 米，则 DO ＝（ x +2）米，由题意得：6 2 +（ x +2） 2 ＝8 2 + x 2 ，解得： x ＝6， AB 10（米）， 1 6 ．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 ，当他把绳子的下端拉开 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高 为________. 【 答案】 【 解析】 根据题意，画出图形，BC=5m，如下图： 设旗杆的高为： ，则绳子AC的长为 ， 在 中，由勾股定理得： ，即 解得： ，即旗杆的高为12 m ． ) ( （ 三）解答题 1 7 ． 如图，将墙面和地平线的一部分分别标记 ， ，且 ．把长为10m的梯子 斜靠在墙上，梯子底端离墙角6m．如果梯子的顶端下滑了2m，求梯子底部在水平方向滑动的距离BD． 解：由题意得： ， ， 在Rt 中，可求得 在Rt 中， ， ∴梯子底部滑动的距离 18 ．如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN． （1）求线段CN的长； （2）求以线段MN为边长的正方形的面积； （3）求线段AM的长度． 解：（1）由题意设CN＝x cm，则EN＝（8 ﹣ x）cm，又 ∵ CE DC＝4cm， ∴ 在Rt △ ECN中，EN 2 ＝EC 2 +CN 2 ，即（8 ﹣ x） 2 ＝4 2 +x 2 ，解得：x＝3，即CN＝3cm； （2）在Rt △ DCE中，CE＝4cm，CD＝8cm，由勾股定理得DE cm， 如图，过点M作MG ⊥ CD于点G，则由题意可知AM＝DG，MG＝BC＝CD．连接DE，交MG于点I．由折叠可知，DE ⊥ MN， ∴∠ NMG+ ∠ MIE＝90 ° ， ∵∠ DIG+ ∠ EDC＝90 ° ， ∠ MIE＝ ∠ DIG（对顶角相等）， ∴∠ NMG＝ ∠ EDC．在 △ MNG与 △ DEC中， ， ∴△ MNG ≌△ DEC（ASA）． ∴ MN＝DE cm， ∴ 以MN为边长的正方形的面积＝（4 ） 2 ＝80． （3） ∵△ MNG ≌△ DEC ∴ GN＝CE＝4cm， ∴ DG＝CD ﹣ CN ﹣ GN＝8 ﹣ 3 ﹣ 4＝1cm． ∴ AM＝DG＝1cm． 1 9 .【运算能力】沿海城市A接到台风警报,在该市正南方向130 km的B处有一台风中心,沿BC方向以15 km/h的速度移动,已知城市A到BC的距离AD=50 km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?如果在距台风中心30 km的圆形区域内都有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可远离危险?(游人撤离的速度大于台风中心移动的速度) 解 ： 在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AD 2 +BD 2 =AB 2 ,∴BD 2 =AB 2 -AD 2 =130 2 -50 2 =14 400=120 2 , ∴BD=120 km,则台风中心经过120÷15=8小时从B点移动到D点.如图,∵距台风中心30 km的圆形区域内都有受到台风破坏的危险,∴人们要在台风中心到达E点之前撤离, ∵BE=BD-DE=120-30=90(km),∴游人在90÷15=6小时内撤离才可远离危险. ) ( 四 ．强化练习 （时间：60分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1 . 如图所示的图形中，所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形边长为7cm，设正方形A、B、C、D、E、F面积分别为S A 、S B 、S C 、S D 、S E 、S F ，则下列各式正确有（   ）个. ①S A +S B +S C +S D =49； ②S E +S F =49； ③S A +S B +S F =49； ④S C +S D +S E =49 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】如图，由勾股定理可知，正方形A与B的面积和等于正方形E的面积．正方形C与D的面积和等于正方形F的面积．并且正方形E与F的面积和等于最大的正方形的面积．因此A、B、C、D的面积之和是为最大正方形的面积=7 2 =49．所以4个选项都正确故选：D 2 ．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S 1 、S 2 、S 3 ．若S 1 ＋S 2 ＋S 3 ＝18，则S 2 的值是（ ） A． B．6 C．5 D． 【 答案 】 B 【解析】 ：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG=NG，CF=DG=NF，∴S 1 =（CG+DG） 2 =CG 2 +DG 2 +2CG•DG=GF 2 +2CG•DG，S 2 =GF 2 ，S 3 =（NG-NF） 2 =NG 2 +NF 2 -2NG•NF，∴S 1 +S 2 +S 3 =GF 2 +2CG•DG+GF 2 +NG 2 +NF 2 -2NG•NF=3GF 2 =18，∴GF 2 =6， ∴S 2 =6，故选：B 3. 如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（　　）尺． A．10 B．12 C．13 D．14 【 答案】 C 【 解析 】 设水深为x尺则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x 2 +（ 10 ÷ 2 ） 2 ＝（x+1） 2 ，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C． 4 . 若直角三角形的两边长分别为 a ， b ，且满足 a2-6a+9+|b ﹣ 4|=0 ，则该直角三角形的第三边长为（　　） A.5 B.7 C.4 D.5 或 7 【 答案】D 【解析】 ∵ a2-6a+9+|b ﹣ 4|=0 ， ∴ a 2 ﹣ 6a+9=0 ， b ﹣ 4=0 ， ∴ a=3 ， b=4 ， ∴ 直角三角形的第三边长 =42+32=5 ，或直角三角形的第三边长 =42-32=7 ， ∴ 直角三角形的第三边长为 5 或 7 ， 故选 D ． ) ( 5 ．在 △ ABC中， ∠ A， ∠ B， ∠ C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A． 如果 ∠ A﹣ ∠ B= ∠ C，那么 △ ABC是直角三角形 B．如果a 2 =b﹣ 2 c 2 ，那么 △ ABC是直角三角形且 ∠ C=90° C．如果 ∠ A： ∠ B： ∠ C=1：3：2，那么 △ ABC是直角三角形 D．如果a 2 ：b 2 ：c 2 =9：16：25，那么 △ ABC是直角三角形 【 答案 】B 【解答】 如果 ∠ A﹣ ∠ B= ∠ C，那么 △ ABC是直角三角形，A正确；如果a 2 =b﹣ 2 c 2 ，那么 △ ABC是直角三角形且 ∠ B=90°，B错误；如果 ∠ A： ∠ B： ∠ C=1：3：2，设 ∠ A=x，则 ∠ B=2x， ∠ C=3x，则x + 3x + 2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么 △ ABC是直角三角形，C正确；如果a 2 ：b 2 ：c 2 =9：16：25，则如果a 2 + b 2 =c 2 ，那么 △ ABC是直角三角形，D正确； 故选：B． 6 .如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,则小巷的宽度为(　　) A.2.2米　　　　B.2.3米　　　　C.2.4米　　　　D.2.5米 【 答案】 A　 【 解析】 如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB 2 =0.7 2 +2.4 2 =6.25. 在Rt△A'BD中,∠A'DB=90°,A'D=2米,A'B 2 =AB 2 ,∴BD 2 =A'B 2 -A'D 2 =2.25.∵BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故选A. 7 ．如图，高速公路上有两点A，B相距25km，C，D为两个乡镇，已知DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为（　　） A．10km B．15km C．20km D．25km 【答案】A 【解析】设 ，则 ， 由勾股定理得：在 中， ，在 中， ， 由题意可知： ，∴ ，解得： ，∴BE=10km． 故答案为：A. 8 ．如图所示，若圆柱的底面周长是30 cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是（　　） A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm 【答案】D 【解析】如图，将圆柱的侧面的展开图是矩形ACBD，由题意得AC=30cm，∵BC⊥AC， ∴AB= .故答案为：D. ) ( 9 ． 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 m，将它往前推6m至C处时（即水平距离 m），踏板离地的垂直高度 m，它的绳索始终拉直，则绳索 的长是（　　） A． m B． m C．6m D． m 【答案】 A 【解析】 由题意知∠ADC=90°，DE=CF=4cm，∵BE=1cm，∴DB=DE-BE=4-1=3cm，设AC=x，则AD=AB=x-3，∴（x-3） 2 +6 2 =x 2 ， 解得：x= m ，即AC= m ；故答案为：A. 1 0 ． 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】 C 【解析】 ∵正方形是轴对称图形，点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点，∴连接BN，BD，则直线AC即为BD的垂直平分线，∴BN＝ND∴DN＋MN＝BN＋MN连接BM交AC于点P，∵点 N为AC上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点N运动到点P时，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，BN＋MN的最小值为BM的长度，∵四边形ABCD为正方形，∴BC＝CD＝8，CM＝8−2＝6，∠BCM＝90°，∴BM＝ ＝10，∴DN＋MN的最小值是10． 故答案为：C． 二．填空题 1 1 . 如图直线 上有三个正方形 ， ， ，若 ， 的面积分别为 和 1 ，则 的面积为 ______ 【答案】 16 【解析】 由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+ ∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△CDE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC 2 =AB 2 +BC 2 =AB 2 +DE 2 ，即S b =S a +S c =11+5=16． ) ( 12 .用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”．在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标．若AB＝10，AF＝8，则小正方形EFGH的面积为 　 　 ． 【答案】4 【解析】Rt△ABF中，AB＝10，AF＝8， 由勾股定理得：BF 6， ∴FG＝8﹣6＝2， ∴小正方形EFGH的面积＝2 2 ＝4， 故答案为：4． 13 .若一个三角形的三边长之比为5∶12∶13,且周长为60 cm,则它的面积为 　　 cm 2 .  【 答案 】 　120 【 解析 】 　设三角形的三边长分别为5x cm,12x cm,13x cm,则5x+12x+13x=60,∴x=2, ∴该三角形的三边长分别为10 cm,24 cm,26 cm.∵10 2 +24 2 =26 2 ,∴三角形为直角三角形, ∴S=10×24÷2=120(cm 2 ).故答案为120. 14 . 如图，圆柱形容器的高为 1.2 米，底面周长为1米，在容器内壁高容器底部 0.3 米的点 B 处有一只蚊子，此时一只壁虎正好在容器 外壁 高容器上沿 0.3 米与蚊子相对的点 A 处，求 壁虎 捉到蚊子的最短路程是 ___________. 【答案】 【 解析】 高为 ，底面周长为 ，在容器内壁离容器底部 的点 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿 与蚊子相对的点 处， ， ， 将容器侧面展开，作 关于 的对称点 ，连接 ，则 即为最短距离， ． 答：壁虎捕捉到蚊子的最短路程是 ． 1 5 ．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为 m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 　 　 m．（边缘部分的厚度忽略不计） 【答案】20 【解析】如图是其侧面展开图：AD= =16（m），AB=CD=15m．DE=CD-CE=15-3=12（m），在Rt△ADE中，AE= （m）．故他滑行的最短距离约为20m．故答案为：20． ) ( 1 6 ．如图所示是一种盛饮料的圆柱形杯，测得其内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，则吸管至少要 　 　 cm． 【答案】17.6 【解析】如图，连接CD，吸管底端放在点C的位置，此时露在圆柱形杯外面的最短， ∵测得其内部底面半径为2.5cm，高为12cm，∴CD=2×2.5=5，AD=12，在Rt△ACD中 ∵吸管放进杯里后，外面至少要露出4.6cm，∴AE=4.6，∴CE=AC+CE=13+5.6=17.6cm.故答案为：17.6. 1 7 ．长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 离点 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是 　 　 ． 【答案】25cm 【解析】只要将长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1：∵长方体的宽为10，高为20，点B与点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20， 在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB= =25； 只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：AB= ； 只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3： ∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：AB= ∵ ∴蚂蚁爬行的最短距离是25cm，故答案为：25cm． 1 8 ． 如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”.已知点M，N是线段AB的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为 　 　 . 【答案】 【解析】由题意知BN为最大线段，∵点M，N是线段AB的勾股分割点，∴BN＝ .故答案为： . ) ( 19. 图1是一个勾股定理演示教具的正面示意图，当它倒过来时，大正方形中的全部墨水恰能注满两个小正方形．王老师有一个内长为11寸，内宽为9寸的木质盒子（如图2）．现要自制一个这样的教具（由三个正方形和一个直角三角形组成），使得教具恰好摆入这个盒子中，以便保护和携带（如图3所示，A，B，C，D，E五点均紧贴盒子边缘，教具的厚度等于木盒的内高）．此时盒子的空间利用率为 　 　 ． 【 答案】 【解答】如图，过点A作AM ⊥ EG的延长线于点M，过点F作FR ⊥ GH于点R，过点B作BN ⊥ GH，过点F作FN ∥ GH，延长GH交CK于K， ∵ 四边形AGFL、DEGH、BCHF均为正方形， ∴ AG＝FG，BF＝FH＝CH，EG＝GH， ∠ AGF＝ ∠ BFH＝90 ° ＝ ∠ AMG＝ ∠ FRG＝ ∠ BNF＝ ∠ CKH， ∴∠ AGM+ ∠ FGM＝ ∠ FGR+ ∠ FGM， ∴∠ AGM＝ ∠ FGR， ∴△ AGM ≌△ FGR（AAS）， ∴ AM＝FR，GM＝GR，同理， △ BFN ≌△ HFR ≌△ CHK（AAS）， ∴ FR＝FN＝HK＝AM，BN＝HR，设AM＝x，BN＝y，AM＝FR＝z，则FR＝FN＝HK＝AM＝x，BN＝HR＝y，由勾股定理得：FH 2 ＝x 2 +y 2 ，FG 2 ＝x 2 +z 2 ，GH＝y+z，根据题意，得：FH 2 +FG 2 ＝GH 2 ， ∴ x 2 +z 2 +x 2 +y 2 ＝（y+z） 2 ， ∴ x 2 ＝yz ① ， ∵ AM+GR+RH+HK＝9，BN+FR+EG＝11， ∴ 2x+y+z＝9 ② ，x+2y+z＝11 ③ ， ②﹣③ ，得：x ﹣ y＝ ﹣ 2，即y＝x+2 ④ ， ②× 2 ﹣③ ，得：3x+z＝7，即z＝7 ﹣ 3x ⑤ ，将 ④⑤ 代入 ① ，得：x 2 ＝（x+2）（7 ﹣ 3x），解得：x 1 ＝2，x 2 ＝ ﹣ （舍去）， ∴ y＝4，z＝1， ∴ GH＝5，FG 2 ＝5，FH 2 ＝20， ∴ 勾股定理演示教具的正面面积为：S＝25+5+20+ × × 2 ＝55， ∵ 教具的厚度等于木盒的内高， ∴ 盒子的空间利用率为： ＝ ，故答案为： ． 20. 一长方体容器（如图1），长，宽均为4，高为16，里面盛有水，水面高为10，若沿底面一棱进行旋转倾斜，倾斜后的长方体容器的主视图如图2所示，若倾斜容器使水恰好倒出容器，则CD的长为 　 　 ． 【 答案】 4 ． 【 解析 】如图所示：设DE＝x，则AD＝16 ﹣ x，根据题意得： （16 ﹣ x+16） × 4 × 4＝4 × 4 × 10，解得：x＝12， ∴ DE＝12， ∵∠ E＝90 ° ，由勾股定理得：CD＝ ＝ ＝4 ．即：CD的长4 ．故答案是：4 ． ) ( 三．解答题（60分） 21. 我市《道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过60km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测点A正前方30m的C处，2秒后又行驶到与车速检测点A相距50m的B处．请问这辆小汽车超速了吗？若超速，请求出超速了多少？ 解：这辆小汽车超速了， 理由：由已知得AB＝50m，AC＝30m，在直角三角形ABC中，AB 2 ＝AC 2 +BC 2 ， ∴ BC 2 ＝AB 2 ﹣ AC 2 ＝50 2 ﹣ 30 2 ＝40 2 ， ∴ BC＝40m，又 ＝72km/h＞60km/h， ∴ 这辆小汽车超速了：72 ﹣ 60＝12（km/h）． 22. 如图所 示，某公路一 侧有A、B两个送奶站，C为公路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得AC=8km，BC=15km，AB=17km， ∠ 1=30 ° ，若有一人从C处出发，沿公路边向右行走，速度为2.5km/h，问：多长时间后这个人距B送奶站最近？ 解：过B作BD ⊥ 公路于D. ∵ 8 2 ＋15 2 =17 2 ， ∴ AC 2 ＋BC 2 =AB 2 ， ∴△ ABC是直角三角形，且 ∠ ACB=90 ° . ∵∠ 1=30 ° ， ∴∠ BCD=180 ° －90 ° －30 ° =60 ° .在Rt △ BCD中， ∵∠ BCD=60 ° ， ∴∠ CBD=30 ° ， ∴ CD=0.5 BC=0.5 × 15=7.5(km). ∵ 7.5 ÷ 2.5=3(h)， ∴ 3小时后这人距离B送奶站最近. 23 .长方体共顶点的三条棱长如图所示,三只蚂蚁同时从点A出发,同速沿长方体表面爬行去点M处觅食,蚂蚁甲、乙、丙的爬行路径分别为A→B→M、A→C→M、A→D→M,若三只蚂蚁都爬行自己的最短路径,通过计算说明哪只蚂蚁最先到达,哪只蚂蚁最后到达? 解　图1、图2、图3中AM分别为甲、乙、丙三只蚂蚁所走的最短路径. 图1 图2 图3 图1中AM 2 =8 2 +9 2 =145. 图2中AM 2 =5 2 +12 2 =169. 图3中AM 2 =13 2 +4 2 =185. 因为145<169<185,所以蚂蚁甲最先到达,蚂蚁丙最后到达. 24 . 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7 cm，AC＝25 cm.点P从点A沿AB方向以1 cm/s的速度运动至点B，点Q从点B沿BC方向以6 cm/s的速度运动至点C，P，Q两点同时出发． (1)求BC的长； (2)当点P，Q运动2 s时，求P，Q两点之间的距离； (3)P，Q两点运动几秒时，AP＝CQ? ) ( 解:(1)∵在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝7 cm,AC＝25 cm∴BC 2 ＝AC 2 －AB 2 ＝25 2 －7 2 ＝24 2 , ∴BC＝24 cm. (2)连接PQ,由题意知BP＝7－2＝5(cm),BQ＝6×2＝12(cm)，在Rt△BPQ中,由勾股定理,得:PQ＝BP 2 ＋BQ 2 ＝5 2 ＋12 2 ＝13 2 ,∴PQ＝13 cm. (3)设P，Q两点运动t s时,AP＝CQ,则t＝24－6t,解得t＝ .答:P,Q两点运动 s时,AP＝CQ. 25. 在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90 ° 到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B， 求： （1）旗杆的高度OM （2）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN． 解：（1）如图：作AE ⊥ OM，BF ⊥ OM， ∵∠ AOE+ ∠ BOF＝ ∠ BOF+ ∠ OBF＝90 °∴∠ AOE＝ ∠ OBF在 △ AOE和 △ OBF中， ， ∴△ AOE ≌△ OBF（AAS）， ∴ OE＝BF，AE＝OF 即OE+OF＝AE+BF＝CD＝17（m） ∵ EF＝EM ﹣ FM＝AC ﹣ BD＝10 ﹣ 3＝7（m）， ∴ 2EO+EF＝17， 则2 × EO＝10， ∴ OE＝5m，OF＝12m， ∴ OM＝OF+FM＝15m， （2）由勾股定理得OB＝OA＝ON＝13， ∴ MN＝15 ﹣ 13＝2（m）． 答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN为2米， 2 6 ．我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运动前后的两个图形全等，翻折就是这样．如图1，将 △ ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，则 △ ADC ≌△ ADC'． 尝试解决： （1）如图2， △ ABC中， ∠ C＝90 ° ，AC＝6，BC＝8，将 △ ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处，求CD的长． （2）如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P在边AD上，连接BP，将 △ ABP沿BP翻折，使点A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F，且DG＝EG． ① 求证：PE＝DF； ② 求AP的长度。 解：（1） ∵∠ C＝90 ° ，AC＝6，BC＝8， ∴ AB 10， ∵ 将 △ ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C'处， ∴△ ADC ≌△ ADC'． ∴ CD＝C'D， ∠ AC'D＝ ∠ ACD＝90 ° ，即 ∠ DC'B＝180 °﹣∠ AC'D＝180 °﹣ 90 ° ＝90 ° ，AC＝AC'＝6， ∴ BC'＝AB ﹣ AC'＝10 ﹣ 6＝4， ∴△ DC'B为直角三角形，且 ∠ DC'B＝90 ° ， ∴ C'D 2 +C'B 2 ＝DB 2 ，即CD 2 +4 2 ＝（8 ﹣ CD） 2 ， ∴ CD＝3； （2） ① 由折叠可知 △ PAB ≌△ PEB， ∴ PE＝PE， ∠ A＝ ∠ E＝90 ° ，在 △ DPG和 △ EFG中， ， ∴△ DPG ≌△ EFG（ASA）， ∴ PG＝FG， ∴ PG+GE＝FG+GD，即PE＝DF； ②∵△ PAB ≌△ PEB， △ DPG ≌△ EFG，AB＝8，AD＝6， ∴ PE＝DF＝PA，即CF＝8 ﹣ DF＝8 ﹣ AP， ∴ EF＝DP＝AD ﹣ AP，即BF＝8 ﹣ EF＝8 ﹣ （6 ﹣ AP）＝2+AP， ∵∠ C＝90 ° ， ∴ BC 2 +CF 2 ＝BF 2 ，即6 2 +（8 ﹣ AP） 2 ＝（2+AP） 2 ， ∴ AP ) 学科网（北京）股份有限公司 $$