3.2&3.3 第1课时 二项式定理-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

3．2　数学探究活动：生日悖论的解释与模拟(略) 3．3　二项式定理与杨辉三角 第1课时　二项式定理 课程标准 素养解读 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养 2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养 [情境引入] 牛顿的故事 牛顿善于观察日常生活中的小事，结果取得了科学史上一个个重要的发现．作为大学教授，牛顿常常忙得不修边幅，往往不打领带，不系好鞋带和马裤的纽扣，就走进了大学餐厅．有一次，他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差，他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理．他抓住姑娘的手指，错误地把它当成通烟斗的通条，硬往烟斗里塞，痛得姑娘大叫，离他而去．牛顿也因此终生未娶．那么，什么是二项式定理？二项式定理的无穷魅力在哪里？ [知识梳理] [知识点一]　二项式定理及相关的概念　 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…Cbn(n∈N＋)称为二项式定理 二项式系数 各项系数C(r＝0,1,2，…，n)叫做展开式的二项式系数 二项式通项 Can－rbr是展开式中的第　r＋1　项，可记做Tr＋1＝Can－rbr(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋) 二项展开式 Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋) [知识点二]　二项展开式的特点　 (1)展开式共有n＋1项． (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. [知识点三]　通项中的注意点　 (1)Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项． (2)公式中a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置． (3)要将通项中的系数和字母分离开，以便于解决问题． (4)对二项式(a－b)n展开式的通项要特别注意符号问题． 1.二项展开式中的项Can－rbr是第几项？ 提示：Can－rbr是(a＋b)n的第r＋1项。 2．二项式中a，b能否交换位置，二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第r＋1项是否相同？ 提示：不能，(a＋b)n展开式中的第r＋1项为Can－rbr，(b＋a)n展开式中的第r＋1项为Cbn－rar，两者是有区别的，所以在应用二项式定理时，a和b不能随便交换位置。 3．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？ 提示：二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念。 二项式系数是指C，C，…，C，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关． [预习自测] 1．判断正误 (1)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的．(　　) (2)(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5.(　　) (3)(a＋b)n的展开式中一定有常数项．(　　) 提示：(1)×.二项展开式中项的系数与二项式系数不一定相等，只有当a，b的系数都为1时两者相等． (2)√.(x－1)5的展开式中x4项的系数为－5. (3)×.(a＋b)n的展开式中通项Can－rbr的次数不一定为0. 2．(x－)n的展开式共有11项，则n等于(　　) A．9　　 B．10　　　 C．11　　 D．8 解析：B　[(x－)n的展开式共有n＋1项，所以n＋1＝11，故n＝10.] 3．二项式(1－2x)9的展开式中x6的系数为(　　) A．C B．－C C．C26 D．－C·26 解析：C　[二项式(1－2x)9＝C＋C(－2x)＋…＋C(－2x)k＋…＋C(－2x)9，其展开式中x6的系数为：C(－2)6＝C26.] 4．二项式(x2＋)5的展开式中，x7的系数为________(用数字填写答案) 答案：10 　二项式定理的正用、逆用 [例1] (1)用二项式定理展开5； (2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)rC(x＋1)n－r＋…＋(－1)nC. [思路点拨]　(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解． 解：(1)5＝C(2x)5＋C(2x)4·＋…＋C5 ＝32x5－120x2＋－＋－. (2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋C(x＋1)n－r(－1)r＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn 运用二项式定理的解题策略 (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况．对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开． (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数． 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式． [变式训练] 1．(1)求4的展开式； (2)化简：1＋2C＋4C＋…＋2nC. 解：法一：4＝C(3)4＋C(3)3·＋C(3)2·2＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋. 法二：4＝ ＝(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) ＝81x2＋108x＋54＋＋. (2)原式＝1＋2C＋22C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝3n. 　求展开式中的特定项 [例2] (1)(x－2y)7的展开式中的第4项为(　　) A．－280x4y3　　　　 B．280x4y3 C．－35x4x3 D．35x4y3 解析：A　[(x－2y)7的展开式中的第4项为T4＝Cx4·(－2y)3＝(－2)3Cx4y3＝－280x4y3.] (2)已知n的展开式中，第6项为常数项． ①求n； ②求含x2的项； ③求展开式中所有的有理项． [思路点拨]　→→→→→→→ 解：通项公式为： ①∵第6项为常数项， ∴r＝5时，有＝0，即n＝10. ②令＝2，得r＝(10－6)＝2， ∴所求的项为T3＝C(－3)2x2＝405x2. ③由题意得： 令＝k(k∈Z)， 则10－2r＝3k，即r＝5－k. ∵r∈Z，∴k应为偶数， k＝2,0，－2，即r＝2,5,8， 所以第3项，第6项与第9项为有理项， 它们分别为405x2，－61 236,295 245x－2. 1．求二项展开式的特定项的常见题型 (1)求第r＋1项，Tr＋1＝Can－rbr； (2)求含xr的项(或xpyq的项)； (3)求常数项； (4)求有理项． 2．求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解； (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 3．求二项展开式特定项的步骤 [变式训练] 2．若(＋)n展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x的一次项； (2)展开式中所有的有理项． 解：(1)由已知可得C＋C·＝2C·， 即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)． 所以，通项为Tr＋1＝C()8－r·()r＝C·2－r·x4－r， 令4－r＝1，得r＝4. 所以含x的一次项为T5＝C2－4x＝x. (2)令4－r∈Z，且0≤r≤8，则r＝0,4,8， 所以含x的有理项分别为T1＝x4，T5＝，T9＝. 　求二项展开式特定项的有关系数 [例3] (1)(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是(　　) A．－3　　 B．－2　　　 C．2　　 D．3 (2)在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，x4的系数是________(用数学作答)． [思路点拨]　(1)经分析可知， 常数项是由两部分构成的； (2)令x＝1可得各项系数的和，从而求出a； (3)先分析含x4的项的构成，再求解． 解析：(1)常数项由分别来自x2＋2，(－1)5的项组成，(－1)5的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r×(－1)r，则第一个因式取2，第二个因式取(－1)5，得2×(－1)5＝－2， 第一个因式取x2，第二个因式取，得1×C(－1)4＝5.因此，(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是5＋(－2)＝3. (2)含x4的项是由5个因式中，4个出x,1个出常数组成的，所以含x4的项为－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4，所以展开式中x4的系数是－15. 答案：(1)D　(2)－15 求特定项系数的思路与方法 对于几个多项式积的展开式中的求特定项系数的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 双通项法是解决此类问题的通法．所谓双通项法就是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中的一般项为Tr＋1Tk＋1＝Can－r(bx)rCsm－k(tx)k＝CCan－rbrsm－ktkxr＋k(注意这里含有xr＋k的项不一定只有一项), 再根据题目中对字母的指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而是弄清r，k的取值情况，从而使问题顺利解决． [变式训练] 3．已知二项式(3－)10. (1)求展开式第四项的二项式系数； (2)求展开式第四项的系数． 解：(3－)10的展开式的通项是 (1)展开式的第四项的二项式系数为C＝120. (2)展开式的第四项的系数为C·37(－)3＝－77 760. 　　　三项式的展开问题 [例4] (＋＋)5的展开式中的常数项为____________(用数字作答)． [思路点拨]　利用转化思想，把三项式转化为二项式来解决． 解析：法一：(＋＋)5在x＞0时可化为(＋)10，因而展开式的通项Tr＋1＝C()10－r()10－2r，则r＝5时为常数项，即C·()5＝. (＋＋)5在x＜0时可化为－(－)10，所以展开式的通项T＝－C()10－k(－1)k()10－2k，令10－2k＝0，得k＝5，则展开式的常数项为－C()5(－1)5＝. 综上，(＋＋)5的展开式的常数项为. 法二：原式＝()5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10. 求原展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5的项的系数，即C·()5. 所以原展开式中的常数项为＝. 法三：(＋＋)5是5个三项式(＋＋)相乘． 常数项的产生有三种情况： (1)在5个相乘的三项式(＋＋)中，从其中1个三项式中取，从另外4个三项式中选一个取，从剩余的3个三项式中取常数项相乘，可得C··C·C·()3＝20； (2)在5个相乘的三项式(＋＋)中，从其中2个三项式中取，从另外3个三项式中选2个取，从剩余的1个三项式中取常数项相乘，可得C·()2·C·＝； (3)从5个相乘的三项式(＋＋)中都取常数相乘，可得C·()5＝4. 综上，(＋＋)5的展开式中的常数项为20＋＋4＝. 法四：(＋＋)5＝[(＋)＋]5的通项为 T'r＋1＝Cx－rx5－k－r2－(5－k－r)＝Cx5－2r－k2k＋r－5(0≤r≤5－k)． 令5－2r－k＝0，则k＋2r＝5，可得k＝1，r＝2或k＝3，r＝1，或k＝5，r＝0. 当k＝3，r＝1时，展开式中的项为CC2·2－1＝20； 当k＝5，r＝0时，展开式中的项以C4＝4. 综上，(＋＋)5的展开式中的常数项为＋20＋4＝. 法五：根据三项式定理得，(＋＋)5展开式的通项为()i()j()k＝()i()kxi－j，其中(i，j，k∈N，且i＋j＋k＝5)． 常数项的产生有三种情况： (1)i＝j＝0，k＝5时，常数项为()0()5＝4； (2)i＝j＝1，k＝3时，常数项为()1()3＝20； (3)i＝j＝2，k＝1时，常数项为 ()2()1＝. 综上，(＋＋)5的展开式的常数项为4＋20＋＝. 答案： 三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性简捷性． [变式训练] 4．(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　) A．10　　 B．20　　　 C．30　　 D．60 (2)(4x2＋－4)4的展开式中的常数项是(　　) A．352 B．－352 C．1 120 D．－1 120 (1)解析：C　 [法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5. 所以x5y2的系数为CC＝30.故选C. 法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.] (2)C　[法一：原式＝[(4x2＋)－4]4＝(4x2＋)4＋C(4x2＋)3(－4)＋C(4x2＋)2·(－4)2＋C(4x2＋)(－4)3＋(－4)4，所以其常数项为C42＋CC4(－4)2＋(－4)4＝1 120. 法二：原式＝[(2x－)2]4＝(2x2－)8. Tk＋1＝C(2x)8－k(－)k＝(－1)k28－kCx8－2k， 由8－2k＝0，得k＝4， 所以常数项为：(－1)4×24C＝1 120.] 答案：(1)C　(2)C [当堂达标] 1．(x＋1)n的展开式共11项，则n等于(　　) A．9　　　　　　　　　 B．10 C．11 D．12 解析：B　[由n＋1＝11，可知n＝10.] 2．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数是(　　) A．C B．C(－2)5 C．C D．C(－2)6 解析：C　[由题意可知第6项的二项式系数为C.] 3．(1－x)10的展开式中第7项为________． 解析：T7＝C(－x)6＝210x6. 答案：210x6 4.6的展开式中x2y4的系数为________． 解析：(x＋2y)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(x)6－r(2y)r＝22r－6Cx6－ryr. 令r＝4，得T5＝60x2y4. 故x2y4的系数60. 答案：60 5．求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； 解：(1)由已知得二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2)6－r.r ∴第6项的二项式系数为C＝6. 第6项的系数为C·(－1)·2＝－12. 学科网（北京）股份有限公司 $$