4.1.2 第1课时 乘法公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4.1.2　乘法公式与全概率公式 第1课时　乘法公式 课程标准 素养解读 1.掌握乘法公式及其推广 2．会用乘法公式及全概率公式求相应事件的概率 1.通过乘法公式及其推广的学习，体会数学抽象的素养 2．借助乘法公式及其推广解题，提升数学运算素养 [情境引入] 小明在登陆电子邮箱时，发现忘了密码的最后一位，只记得是数字0～9中的任意一个． 问题：他在尝试登陆时，第一次失败，第二次成功的概率是多少？ [知识梳理] [知识点一]　乘法公式及其推广　 (1)乘法公式：P(AB)＝　P(A)P(B|A)　，其中P(A)>0. (2)乘法公式的推广： ①推广到3个事件 设Ai表示事件，i＝1,2,3，且P(Ai)>0， P(A1A2)>0， 则P(A1A2A3)＝　P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)　. 其中P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率，P(A1A2A3)表示A1A2A3同时发生的概率． ②推广到n个事件 若Ai(i＝1,2，…，n)为随机事件，且P(A1A2…An－1)>0则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An－1)． [知识点二]　条件概率公式与乘法公式之间的关系　 条件概率公式经过变形即可得到概率的乘法公式，两个公式是完全等价的，既可以通过积事件的概率求条件概率，也可以通过条件概率求积事件的概率． 若事件Ai(i＝1,2，…，n)相互独立，则上面乘法公式的推广(2)就变为P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)·…·P(An)． 乘法公式与条件概率公式是什么关系？ 　提示：乘法公式是条件概率公式的变形式． [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)P(AB)＝P(BA)．(　　) (2)P(AB)＝P(A)P(B)．(　　) (3)P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)，其中P(A1)>0，P(A2A1)>0，P(A1A2A3)>0.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：C　[P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝，故选C.] 3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：A　[记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，则P(A)＝，P(B|A)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝.] 4．若P(B|A)＝，则P(|A)＝________. 解析：P(|A)＝1－P(B|A)＝1－＝. 答案： 　　　乘法公式及其应用 [例1]　一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求两次取到的均为黑球的概率． [思路点拨]　P(AB)＝P(A)P(B|A)，分别求P(A)和P(B|A)． 解：设Ai表示事件“第i次取到的是黑球”(i＝1,2)，则A1A2表示事件“两次取到的均为黑球”．由题设知P(A1)＝，P(A2|A1)＝， 于是根据乘法公式，有P(A1A2)＝ P(A1)P(A2|A1)＝×＝. 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的求法，即当直接计算P(AB)不好计算时，可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B)，再利用乘法公式P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)求解即可． [变式训练] 1．某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关．某选手射中第一个目标的概率为0.8，继续射击，射中第二个目标的概率为0.5，则这个选手过关的概率为________． 解析：记“射中第一个目标”为事件A，“射中第二个目标”为事件B，则P(A)＝0.8，P(B|A)＝0.5. 所以P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.8×0.5＝0.4，即这个选手过关的概率为0.4. 答案：0.4 　乘法公式的推广应用 [例2]设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为.试求透镜落下三次而未打破的概率． [思路点拨]　求三个事件同时发生的概率 解：以Ai(i＝1,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，B表示事件“透镜落下三次而未打破”，则B＝123，故有 P(B)＝P(123)＝P(1)P(2|1) P(3|12)＝＝. 该类问题在概率中被称为“机遇问题”，求解的关键是分清事件之间的互相关系，充分利用P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An－1)求解． [变式训练] 2．在某次空战中，若甲机先向乙机开火，则击落乙机的概率是0.2；若乙机未被击落，则进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲机未被击落，则再次进攻，击落乙机的概率是0.4，分别计算这几个回合中，甲、乙被击落的概率． 解：设A＝{乙机被击落}，B＝{甲机被击落}，A1＝{乙机第一回合被击落}，A2＝{乙机第二回合被击落}，由题意知A1，A2互斥，且A＝A1∪A2， 依题意，有P(A1)＝0.2，P(B|1)＝0.3， P(A2|1)＝0.4， 由乘法公式可得P(B)＝P(1B)＝ P(1)P(B|1)＝0.8×0.3＝0.24， 从而P(A2)＝P(1A2)＝P(1)P(|1)P(A2|1)＝0.8×0.7×0.4＝0.224， 由概率的加法公式可得P(A)＝P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝0.424. 即这几个回合中，甲、乙被击落的概率分别为0.24、0.424. 　　　乘法公式的综合应用 [例3]　已知某厂家的一批产品共100件，其中有5件废品，但采购员不知有几件次品，为慎重起见，他对产品进行不放回的抽样检查，如果在被他抽查的5件产品中至少有一件是废品，则他拒绝购买这一批产品，求采购员拒绝购买这批产品的概率． [思路点拨]　本题可借助对立事件及乘法公式的推广进行求解． 解：设Ai＝{被抽查的第i件产品是废品，i＝1,2,3,4,5.} 设A＝{采购员拒绝购买}，则A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5，从而＝12345， 由题意，得 P(1)＝，P(2|1)＝，P(3|12)＝，P(4|123)＝，P(5|1234)＝. ∴P()＝P(12345)＝P(5|1234)P(4|123)P(3|12)P(2|1)P(1)＝≈0.7696. 故P(A)＝1－P()≈0.2304. 分别计算，代入求值，为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． [变式训练] 3．把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A1,3个球标有字母B1；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行；先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A1的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B1的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，求试验成功的概率． 解：设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A1的球”， B＝“从第一个盒子中取得标有字母B1的球”， R＝“第二次取出的球是红球”，则容易求得P(A)＝，P(B)＝，P(R|A)＝，P(R|B)＝. 事件“试验成功”为AR∪BR，又事件AR与事件BR互斥，故由概率的加法公式，得 P(AR∪BR)＝P(AR)＋P(BR)＝P(R|A)P(A)＋P(R|B)P(B)＝×＋×＝0.59. [当堂达标] 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(A∩B)等于(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：D　[由乘法公式得P(A∩B)＝P(B|A)P(A)＝×＝，故选D.] 2．若P(A|B)＝，P()＝，则事件A与B的关系是(　　) A事件A与B互斥 B．事件A与B对立 C．事件A与B相互独立 D．事件A与B互斥又相互独立 解析：C　[∵P(A)＝1－P()＝1－＝＝P(A|B)， ∴事件A与B相互独立．故选C.] 3．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取1粒，则这粒种子能长成幼苗的概率为________． 解析：记“种子发芽”为事件A，“种子长成幼苗”为事件AB(发芽，又成活)，出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，又P(A)＝0.9，故P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.72. 答案：0.72 4．某厂的产品中有4%的废品，在100件合格中有75件一等品，则在该厂的产品中任取一件是一等品的概率为________． 解：设A为“任取的一件是合格品”，B为“任取的一件是一等品”． 因为P(A)＝1－P()＝96%，P(B|A)＝75%， 且事件B发生时事件A一定发生， 所以P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝ ×＝0.72. 5．一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率．(　　) 解：设事件A表示取出的产品是一等品，事件B表示取出的产品是合格品，则P(A|B)＝45%，P()＝4%， 于是P(B)＝1－P()＝96%， 所以P(A)＝P(A∩B)＝P(B)P(A|B)＝96%×45%＝43.2%. 学科网（北京）股份有限公司 $$