4.1.3 独立性与条件概率的关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教B版2019）

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(2)“两人都不能破译”为事件eq \x\to(A) eq \x\to(B)，则 P＝P(eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝P(eq \x\to(A))·P(eq \x\to(B))＝[1－P(A)]·[1－P(B)] ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,2). (3)“恰有一人能破译”为(A eq \x\to(B))∪(eq \x\to(A) B) 又A eq \x\to(B)与eq \x\to(A)B互斥， 则P[(A eq \x\to(B))＋(eq \x\to(A) B)]＝P(A eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A) B) ＝P(A)·P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))·P(B) ＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12). (4)“至多有一人能破译”为事件(A eq \x\to(B))∪(eq \x\to(A) B)∪(eq \x\to(A) eq \x\to(B))， 且A eq \x\to(B)，eq \x\to(A) B，eq \x\to(A) eq \x\to(B)互斥，故 P[(A eq \x\to(B))＋(eq \x\to(A) B)＋(eq \x\to(A) eq \x\to(B))] ＝P(A eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A) B)＋P(eq \x\to(A) eq \x\to(B)) ＝P(A)·P(eq \x\to(B))＋P(eq \x\to(A))·P(B)＋P(eq \x\to(A))·P(eq \x\to(B)) ＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(11,12). 1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生． [变式训练] 2．小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率． 解：用A，B，C分别表示“这三列火车正点到达”的事件， 则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9， 所以P(eq \x\to(A))＝0.2，P(eq \x\to(B))＝0.3，P(eq \x\to(C))＝0.1. (1)由题意得A，B，C之间互相独立， 所以恰好有两列火车正点到达的概率为 P1＝P(eq \x\to(A) BC)＋P(A eq \x\to(B)C)＋P(AB eq \x\to(C)) ＝P(eq \x\to(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \x\to(B))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \x\to(C)) ＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2＝1－P(eq \x\to(A) eq \x\to(B) eq \x\to(C)) ＝1－P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))P(eq \x\to(C)) ＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994. 利用事件之间的关系求概率 [例3]　在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率． [思路点拨]　由题目可获取以下主要信息：①3个开关并联；②每个开关闭合的概率是0.7，且闭合与否相互独立．解答本题可先作出一个线路图，再分情况讨论． 解：如图所示，记这段时间内开关KA，KB，KC能够闭合为事件A，B，C. 由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(eq \x\to(A) eq \x\to(B) eq \x\to(C)) ＝P(eq \x\to(A))P(eq \x\to(B))P(eq \x\to(C)) ＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)] ＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027. 于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是 1－P(eq \x\to(A) eq \x\to(B) eq \x\to(C))＝1－0.027＝0.973. 即这段时间内线路正常工作的概率是0.973. 解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立性及互斥事件、对立事件的有关知识，依据“串联通易求，并联断易求”的原则，给予解答． [变式训练] 3．设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为eq \f(1,9)，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)为(　　) A.eq \f(2,9)　　　B.eq \f(1,18)　　　C.eq \f(1,3)　　　D.eq \f(2,3) 解析：D　[由P(A eq \x\to(B))＝P(B eq \x\to(A))，得P(A)P(eq \x\to(B))＝P(B)P(eq \x\to(A))， 即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]， ∴P(A)＝P(B)，又P(eq \x\to(A) eq \x\to(B))＝eq \f(1,9)， 则P(eq \x\to(A))＝P(eq \x\to(B))＝eq \f(1,3)， ∴P(A)＝eq \f(2,3).] [当堂达标] 1．已知P(A|B)＝0.6，P(B|A)＝0.3，且A，B相互独立，则P(AB)等于(　　) A．0.18　 B．0.9　　 C．0.3　 D．无法求解 解析：A　[P(A|B)＝0.6，P(B|A)＝0.3且A，B相互独立， ∴P(A)＝0.6，P(B)＝0.3， ∴P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.3＝0.18.] 2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是(　　) A．互斥事件　　　　　 B．对立事件 C．相互独立事件 D．不相互独立事件 解析：C　[由已知，P(A)＝1－eq \f(2,8)＝eq \f(3,4)，P(B)＝1－eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(A∩B)＝eq \f(3,8)，满足P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立．] 3．甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果两个气象台预报准确的概率分别是0.8与0.9，那么在一次预报中，两个气象台都能预报准确的概率是________． 解析：所求概率为0.8×0.9＝0.72. 答案：0.72 4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________． 解析：依题意得，该选手第2个问题回答错误，第3个、第4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能．由相互独立事件的概率计算公式，得所求概率为1×0.2×0.82＝0.128. 答案：0.128 5．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为eq \f(4,5)和eq \f(3,4).在同一时间内，求： (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率； (2)至少有一个气象台预报准确的概率． 解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B. (1)P(A∩B)＝P(A)×P(B)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,5). (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P＝1－P(eq \x\to(A)∩eq \x\to(B))＝1－P(eq \x\to(A))×P(eq \x\to(B))＝1－eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(19,20). $$