第四章 章末归纳提升-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

[网络构建] [归纳提升] 　　　指数与对数的运算 指数运算与对数运算是两类重要的运算，它们也是学习指数函数、对数函数的基础． 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的，对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． (2)求值：lg－lg＋lg. (2)解法一：lg－lg＋lg ＝lg－lg 4＋lg 7＝lg ＝lg＝lg 10＝. 解法二：原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5 ＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝. [变式训练] (2)(lg5)2＋lg 2×lg 500－lg－log29×log32 ＝(lg5)2＋lg 2×Ig 5＋2lg 2－lg－log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0. 　　指数函数、对数函数的图像及其应用 指数函数、对数函数的图像按底数a分为a>1和0<a<1两类，注意掌握它们的形状和画法，函数图像有着广泛的应用，利用函数的图像可以求函数的单调性、值域与最值等． [例2] (1)在y＝2x，y＝log2x，y＝x2这三个函数中，当0<x1<x2<1时，使f>恒成立的函数的个数是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 [解析]　B　[f>恒成立的图像是向上凸的，如图所示，故只有y＝log2x满足，故选B.] (2)设，b＝0.2，c＝2，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c [变式训练] 2．(1)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a>0，且a≠1)的图像可能是(　　) (2)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(　　) 解析：(1)D　(2)B　[(1)当0<a<1时，函数y＝ax的图像过定点(0,1)，在R上单调递减， 于是函数y＝的图像过定点(0,1)，在R上单调递增． 函数y＝loga(x＋)的图像过定点(，0)，在(－，＋∞)上单调递减． 因此，选项D中的两个图像符合． 当a>1时，函数y＝ax的图像过定点(0,1)，在R上单调递增， 于是函数y＝的图像过定点(0,1)，在R上单调递减，函数y＝loga(x＋)的图像过定点(，0)，在(－，＋∞)上单调递增． 显然A、B、C、D四个选项都不符合．故选D. (2)由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图像过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x)的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符．故选B.] 　　　指数函数、对数函数的性质及应用 指数函数、对数函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、定点．注意掌握这些函数的性质，特别注意掌握好函数的单调性，函数的单调性有着广泛的应用，利用函数的单调性可以比较两数的大小，求函数的值域，解不等式等． [例3] 已知函数y＝loga(x2－3x＋3)，当x∈[1,3]时有最大值1，求a的值． [解]　令t＝x2－3x＋3＝2＋， 当x∈[1,3]时，t∈. ①若a>1，y＝logat在上是增函数， 则ymax＝loga3＝1， ∴a＝3，满足题意． ②若0<a<1，y＝logat在上是减函数， 则ymax＝loga＝1，∴a＝，满足题意， 综上所述，a＝3或. [变式训练] 3．设a为常数且0<a<1，解关于x的不等式loga[4＋(x－4)a]<2loga(x－2)． [解]　∵0<a<1， ∴原不等式等价于 ∴即 ∵0<a<1，∴∴2<x<4， ∴原不等式解集为(2,4)． 　　　与指数函数、对数函数有关的综合问题 综合问题常是指数函数、对数函数的复合函数问题，常考查函数的单调性、奇偶性、值域等． [例4] 已知函数f(x)＝log2＋log2(x－1)＋log2(p－x)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)解关于x的不等式：f(x)＞log2(2x2－2x－4)； (3)求函数f(x)的值域． [解]　(1)由⇒⇒ ∵函数的定义域不能为空集， ∴p＞1，函数的定义域为(1，p)． (2)f(x)＝log2＝log2(x＋1)(p－x)，若1＜p≤2，解集为∅，若p＞2，解集为. (3)f(x)＝log2 ＝log2(x＋1)(p－x) ＝log2[－x2＋(p－1)x＋p]，x∈(1，p) 令t＝－x2＋(p－1)x＋p＝－2＋＝g(x)， ①当即1＜p＜3时，t在(1，p)上单调递减，g(p)＜t＜g(1)，即0＜t＜2p－2， ∴f(x)＜1＋log2(p－1)， 函数f(x)的值域为(－∞，1＋log2(p－1))； ②当 即p≥3时，g(p)＜t≤g， 即0＜t≤. ∴f(x)≤2log2(p＋1)－2， 函数f(x)的值域为(－∞，2log2(p＋1)－2)． 综上，当1＜p＜3时，函数f(x)的值域为 (－∞，1＋log2(p－1))； 当p≥3时，函数f(x)的值域为(－∞，2log2(p＋1)－2)． [变式训练] 4．设为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)试说明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增． 解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以＝， 即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)， 所以a＝－1(a＝1舍去)． 令u(x)＝1＋(x>1)， 对任意的1<x1<x2，有： u(x1)－u(x2)＝－(1＋) ＝. 因为1<x1<x2， 所以x1－1>0，x2－1>0，x2－x1>0， 所以>0， 即u(x1)－u(x2)>0. 所以函数u(x)＝1＋在(1，＋∞)上是减函数． 　　　函数的零点及零点的存在性判断 1．函数的零点 对于函数y＝f(x)，若f(x)可化为f(x)＝g(x)－h(x)．则f(x)的零点⇔f(x)＝0的根⇔函数g(x)与h(x)图像交点的横坐标．零点、方程的根、图像交点问题可相互转化． 2．函数零点存在性判断 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 3．函数零点的个数 确定函数零点个数有两种方法，一是转化为判断函数图像交点个数，二是利用零点存在性定理判断零点是否存在，然后再结合函数单调性判断． [例5] 求函数f(x)＝ex＋4x－4的零点的个数． [解]　解法一：∵函数f(x)的图像是连续不断的， 且f(0)＝－3<0， f(1)＝e＋4×1－4＝e>0， ∴f(0)·f(1)<0， 又函数f(x)在R上是增函数， ∴函数f(x)在(0,1)之间有且只有一个零点． 解法二：根据函数零点与方程实根之间的关系，令f(x)＝0，即有ex＝4－4x.在同一直角坐标系中分别作出y＝ex，y＝4－4x的图像，如图所示，由图易知，两函数图像仅有一个公共点，故方程ex＝4－4x有唯一实根，从而函数f(x)＝ex＋4x－4有唯一的零点． [变式训练] 5．(1)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A．(0,1)　　　　　　 B．(1,2) C．(2,4) D．(4，＋∞) 解析：C　[因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数， 又f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0， f(4)＝－log24＝－<0， 所以由函数零点存在定理知函数f(x)在区间(2,4)内必存在零点．] (2)已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：A　[函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即f(x)，g(x)图像的交点个数．在同一平面直角坐标系中分别画出函数f(x)＝和函数g(x)＝3－f(2－x)的大致图像，如图所示，其中函数g(x)的图像可由f(x)→f(－x)→f(2－x)→－f(2－x)→3－f(2－x)的图像变化得到．由图可知，函数f(x)，g(x)的图像有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2.] 　　　函数模型及其应用 常见的函数模型有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型．常见的函数模型应用问题有三类： 1．利用给定的函数模型解决问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型已经给定，只需要根据模型解决问题即可； 2．建立确定性函数模型解决问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型是确定的，但没明确给出，需要根据题中数据信息先求出该模型，再运用它解决实际问题； 3．建立拟合函数模型解决实际问题．这一类的特点是实际问题所符合的函数模型不确定，需要从实际问题中收集数据，根据散点图和已学过的模型函数的性质特点确定选什么函数模型，并求出来，然后检验拟合的效果，最后再应用它解决实际问题． [例6] 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月时染污度为60，整治后前四个月的污染度如下表： 月数 1 2 3 4 … 污染数 60 31 13 0 … 污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式： f(x)＝20|x－4|(x≥1)，g(x)＝(x－4)2(x≥1)， h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度． (1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由； (2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? [解]　(1)用h(x)模拟比较合理，理由如下： 因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30； f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5. 由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理． (2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60. [变式训练] 6．声强级L(单位：dB)由公式L＝10lg()给出，其中I为声强(单位：W/m2)． (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2，能听到的最低声强为10－12W/m2，求人听觉的声强级范围； (2)在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20 dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？ 解：(1)由题知10－12≤I≤1，∴1≤≤1012， ∴0≤lg()≤12，∴0≤L≤120，故人听觉的声强级范围是[0,120](单位：dB)． (2)设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强级为L2，声强为I2， 由题知L1－L2＝20， 则10lg()－10lg()＝20， ∴lg＝lg 100，∴I1＝100I2. 故该女高音的声强是该男低音声强的100倍． 学科网（北京）股份有限公司 $$