4.6 函数的应用(二)-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．6　函数的应用(二) 课程标准 素养解读 1.了解函数模型的广泛应用 2.收集并能解决指数函数、对数函数等常见的函数模型，了解数学建模的过程 通过函数模型的应用提升数学建模，直观想象，数学运算素养 [情境引入] 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍．那么开机后多少分，该病毒会占据64 MB内存(1 MB＝1 024 KB)? 提示：2×2n＝64×210，n＝15 ∴需时间为15×3＝45分钟． [知识梳理] [知识点]　几种常见函数模型　 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 1.斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？ 提示：k>0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k<0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 2．在幂函数模型的解析式中，n的正负如何影响函数的单调性？ 提示：当x>0，n>0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，＋∞)上为增函数；当x>0，n<0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在(0，＋∞)上为减函数． [预习自测] 1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足(　　) A．y＝a(1＋5%x)　　　　　 B．y＝a＋5% C．y＝a(1＋5%)x－1 D．y＝a(1＋5%)x 解析：D　[经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年， y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.] 2．某种动物繁殖数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)．若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到(　　) A．300只 B．400只 C 500只 D．600只 解析：A　[由题意可得a＝100.当x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.] 3．已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为　________　. 解析：由得 所以y＝－2×(0.5)x＋2， 所以3月份产量为 y＝－2×0.53＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75万件 　　　指数函数模型 [例1] 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人 (精确到1年)．(取1.01210＝1.127，log1.0121.20＝15)． [思路点拨]　根据规律写出函数关系式y＝N(1＋p)x. [解析]　(1)1年后该城市人口总数为： y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 2年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2% ＝100(1＋1.2%)2； 3年后该城市人口总数为： y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2·1.2%＝100(1＋1.2)3； x年后该城市人口总数为：y＝100×(1＋1.2%)x. (2)10年后该城市人口数为： 100×(1＋1.2%)10≈112.7(万)， (3)设x年后该城市人口将达到120万， 即100×(1＋1.2%)x＝120，所以1.012x＝1.20. 所以x＝log1.0121.20≈15(年)．即大约15年后，该城市人口将达到120万人． 指数函数模型的应用 1．在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式． 2．解答数学应用题应过的三关 (1)理解关：数学应用题的文字阅读量较大，需要通过阅读找出关键词、句，确定已知条件是什么，要解决的问题是什么． (2)建模关：将实际问题的文字语言转化成数学符号语言，用数学式子表达文字关系，进而建立实际问题的数学模型，将其转化成数学问题． (3)数理关：建立实际问题的数学模型时，要运用恰当的数学方法． 3．增长率问题多抽象为指数函数形式，当由指数函数形式来确定相关的量的值要求不严格时，可以通过图像近似求解．用函数的图像求解未知量的值或确定变量的取值范围，是数学常用的方法之一． [变式训练] 1．设在海拔x m处的大气压强为y kPa，y与x的函数关系可近似表示为y＝100eax，已知在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa，则根据函数关系式，在海拔2 000 m处的大气压强为　________　kPa. 解析：将(1 000,90)代入y＝100eax，可得a＝，y与x的函数关系可近似表示为y＝，当x＝2 000时，y＝100(eln0.9)2＝81. 答案：81 　　　对数函数模型 [例2] 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕于的飞行速度可以表示为函数v＝5log2(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量． (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ [思路点拨]　代入求Q＝10，写出关系式，求解． [解析]　(1)由题知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中的函数关系式，可得0＝5log2，解得Q＝10.即燕子静止时的耗氧量是10个单位． (2)将耗氧量Q＝80代入题中给出的函数关系式，得v＝5log2＝5log28＝15. 即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15 m/s. 对数函数应用题的基本类型和求解策略：(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解；(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或根据给出的具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． [变式训练] 2．某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为　________　万元． 解析：依题意得 即 解得a＝2，b＝－2. ∴y＝2log4x－2，当y＝8时，2log4x－2＝8， 解得x＝1 024. 故他的销售额应为1 024万元． 答案：1 024 　　　幂函数模型 [例3] 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图像如图所示． (1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金) [思路点拨]　设投入资金为x千万元，则A芯片的毛收入为y＝(x>0)，将(1,1)，(4,2)代入y＝kxa，得生产B芯片的毛收入为y＝(x>0)． [解]　(1)设投入资金x千万元，则生产A芯片的毛收入y＝(x>0)． 将(1,1)，(4,2)代入y＝kxa， 得∴ ∴生产B芯片的毛收入y＝(x>0)． (2)由>，得x>16； 由＝，得x＝16； 由<，得0<x<16. ∴当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大． (3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元资金生产A芯片，公司所获净利润f(x)＝＋－2＝－(－2)2＋9，故当＝2，即x＝4千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元． 幂函数模型的应用求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式． [变式训练] 3．在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式； (2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的函数解析式； (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量． 解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)． (2)由r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得k·34＝400， ∴k＝，∴流量R的函数解析式为R＝·r4. (3)∵R＝·r4， ∴当r＝5 cm时，R＝×54≈3 086(cm3/s)． 　　　以图表信息为背景的函数应用题 [例4] 已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足其中t为关税的税率，且t∈，x为市场价格，b，k为正常数)，当t＝时的市场供应量曲线如图所示． (1)根据图像求b，k的值； (2)记市场需求量为Q，它近似满足，当P＝Q时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值． [思路点拨]　首先根据图像求出函数P＝f(t)和Q＝g(t)的解析式，再由两者得到纯收益的函数解析式，进而求得函数的最值点． ⇒2(1－6t)＝＝＝－. 令m＝，则2(1－6t)＝17m2－m. ∵x≥9，∴m∈. 当m＝时，2(1－6t)取最大值，故t≥，即税率的最小值为. 1．解决这类问题的一般步骤：(1)观察图表，捕捉有效信息；(2)对已获信息进行加工，选择适当的函数模型；(3)求函数模型；(4)进行检验，去伪存真，答案要符合实际情形． 2．建立函数模型解决实际问题的基本思路 [变式训练] 4.某医院研究开发了一种新药，据检测，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y(单位：μg)与服药后的时间t(单位：h)之间近似满足图中的曲线，其中OA是线段，曲线ABC是函数y＝kat(t≥1，a>0，且k与a是常数)的图像． (1)写出服药后y关于t的函数关系式； (2)据测定，每毫升血液中含药量不少于2 μg时治疗疾病有效，假如某病人第一次服药为早上6：00，为了保持疗效，第二次服药最迟应在当天几时？ 解：(1)当0≤t<1时，y＝8t； 当t≥1时，将A(1,8)，B(2,4)代入y＝kat， 得a＝，k＝8. 所以y＝ (2)设第一次服药后最迟经过t h第二次服药， 依题意有t≥1. 所以8×t＝2， 解得t＝5. 因此第二次服药最迟应在第一次服药后5 h，即当天上午11：00服药． 　　　建立拟合函数模型解决实际问题 [例5] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示. 年序 最大积雪深度x(cm) 灌溉面积y(公顷) 1 15.2 28.6 2 10.4 21.1 3 21.2 40.5 4 18.6 36.6 5 26.4 49.8 6 23.4 45.0 7 13.5 29.2 8 16.7 34.1 9 24.0 45.8 10 19.1 36.9 (1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图像； (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图像； (3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？ [思路点拨]　解答本题可首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图像判断问题所适用的函数模型． [解]　(1)描点、作图如图(甲)所示． (2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)． 取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)， 代入y＝a＋bx，得 用计算器可得a≈2.2，b≈1.8. 这样，我们得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x. 作出函数图像如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系． (3)由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷． 对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是： (1)能够根据原始数据、表格、绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据． [变式训练] 5．某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，不知投入A、B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)． 解：以投入额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示． 由散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投入额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟． 取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15， 所以y＝－0.15(x－4)2＋2. B种商品所获纯利润y与投入额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟． 设y＝kx＋b，将点(1,0.25)和(4,1)代入， 得 解得 所以y＝0.25x. 即前六个月所获纯利润y关于月投入A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投入B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x. 设下月投入A、B两种商品的资金分别为xA、xB(万元)，总利润为W(万元)，那么 所以W＝－0.152＋0.15×2＋2.6. 当xA＝≈3.2时，W取最大值，约为4.1， 此时xB＝8.8. 即该经营者下月把12万元中的3.2万元投入A种商品，8.8万元投入B种商品，可获得最大利润，最大纯利润约为4.1万元． 1．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是(　　) A．y＝2x　　　　　　　　　 B．y＝2x－1 C．y＝2x D．y＝2x＋1 解析：D　[分裂一次后为2×2＝22个，分裂两次后为4×2＝23个，……，分裂x次后为y＝2x＋1个．所以函数关系式为y＝2x＋1.] 2．已知函数t＝－144lg(1－)的图像可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是(　　) A．144 h B．90 h C．60 h D．40 h 解析：A　[由N＝90可知，t＝－144lg(1－)＝144 h．] 3．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718……为自然对数的底数，k、b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是　________　小时． 解析：由题意知 相除得e22k＝，即e11k＝.∴x＝33时，y＝e33k＋b＝e22k＋b·e11k＝48×＝24. 答案：24 4．目前我国一些高耗能产业的产能过剩，严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务．某行业计划从2019年开始，每年的年产能比上一年的年产能减少的百分比为x(0<x<1)． (1)设第n(n∈N*)年(2019年记为第1年)的年产能为2018年的a倍，请用a，n表示x； (2)若x＝10%，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2018年的年产能的25%? (参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解析：(1)依题意得(1－x)n＝a，则1－x＝， 所以x＝1－(n∈N*)． (2)设第m年的年产能不超过2018年的年产能的25%，则(1－10%)m≤25%， 即()m≤，mlg≤lg ，m(2lg 3－1)≤－2lg 2， m≥. 因为≈＝，所以m≥. 因为13<<14，且m∈N*， 所以m的最小值为14， 所以至少要到2032年才能使年产能不超过2018年的产能的25%. 学科网（北京）股份有限公司 $$