4.4 幂函数-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．4　幂函数 课程标准 素养解读 1.通过实例，了解幂函数的概念 2.结合函数y＝x、y＝x2、y＝x3、y＝x、y＝的图像，了解它们的变化情况及性质 3.会利用幂函数解决一些问题 通过幂函数的图像及性质提升直观想象和数学抽象素养 [情境引入] 函数f(x)＝x、f(x)＝x2、f(x)＝，以前叫什么函数，它们有什么共同特征？ 提示：正比例函数、二次函数、反比例函数． [知识梳理] [知识点一]　幂函数的概念　 一般地，函数　y＝xα　叫做幂函数，其中　x　是自变量，　α　是常数． 1.如何判断一个函数是幂函数？ 提示：幂函数解析式的结构特征 ①指数为常数； ②底数是自变量，自变量的系数为1； ③幂xα的系数为1； ④只有1项． [知识点二]　幂函数的图像和性质　 1．本质：幂函数的图像是函数的图形表示，幂函数的性质是根据函数图像总结得到的． 2应用：①求定义域；②求值域；③比较大小；④求单凋区间． 2.通过5个幂函数图像的观察，哪个象限一定有幂函数的图像？哪个象限一定没有幂函数的图像？ 提示：第一象限一定有幂函数的图像，第四象限一定没有幂函数的图像． 3．当α>0时，幂函数y＝xα的图像在第一象限内有什么共同特征？ 提示：图像都是从左向右逐渐上升． [预习自测] 1．下列函数为幂函数的是(　　) ①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x－1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋ A．①③⑤　　　　 B．①②⑤ C．③⑤ D．只有⑤ 答案：C 2．下列命题中，不正确的是(　　) A．幂函数y＝x－1是奇函数 B．幂函数y＝x2是偶函数 C．幂函数y＝x既是奇函数，又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 答案：C 3．已知幂函数f(x)的图像过点(3,2)，则f(x)＝　________　. 答案： 　　　幂函数的概念 [思路点拨]　可根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m. [解]　根据幂函数定义得，m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合要求．故f(x)＝x3. 1．判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 2．求幂函数解析式的依据及常用方法 ①依据 若一个函数为幂函数，则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征，这是解决与幂函数有关问题的隐含条件． ②常用方法 设幂函数解析式为f(x)＝xα，根据条件求出α. [变式训练] 1．函数是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时为减函数，求实数m的值． 解：∵为幂函数． ∴m2－m－1＝1，即(m－2)(m＋1)＝0， ∴m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数， 在(0，＋∞)上是减函数， 当m＝－1时，m2－2m－3＝0，y＝x0＝1(x≠0)不是减函数． 综上所述，m＝2. 　　　幂函数图像及其应用 [例2] 点(，2)与点分别在幂函数f(x)、g(x)的图像上，问当x为何值时，有①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)． [思路点拨]　⇒⇒ [解]　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ， 则()α＝2，(－2)β＝－， ∴α＝2，β＝－1. ∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1. 分别作出它们的图像如图所示， 由图像可知， ①当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)； ②当x＝1时，f(x)＝g(x)； ③当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)． 解决幂函数图像问题应把握的两个原则 (1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)． (2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或或y＝x3)来判断． [变式训练] 解析：根据幂函数的图像特征确定相应的图像．由第一、二、三个图像在第一象限的图像特征可知α＜0，而第一个图像关于原点对称，则为奇函数；第二个图像关于y轴对称，则为偶函数；第三个图像在y轴左侧无图像，即在(－∞，0)上无意义，因而这三个图像下方小括号内应分别填⑥④③.由第四、五、六个图像在第一象限的图像特征可知0＜α＜1，而第四个图像关于y轴对称，则为偶函数；第五个图像关于原点对称，则为奇函数；第六个图像在y轴左侧无图像，即函数在(－∞，0)上无意义，因而这三个图像下方小括号内应分别填②⑦①.最后一个图像对应的幂指数大于1，故填⑤. 答案：⑥　④　③　②　⑦　①　⑤ 　　　幂函数性质及其应用 [例3] 比较下面各组数的大小： (1)0.5与0.5； (2)－1与－1. [思路点拨]　用幂函数的单调性判断． [解]　(1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又>，∴0.5>0.5. (2)幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－<－，∴－1>－1. (1)利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法 (2)利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题 比较大小的两个实数必须在同一函数的同一单调区间内，否则无法比较大小． [变式训练] 1．下列幂函数中⑤y＝x3，其中在定义域内为增函数的个数为(　　) A．2　　B．3　　　C．4　　　D．5 解析：B　[由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数．] 2．已知幂函数y＝f(x)的图像经过点(－2，－8)，则满足f(x)＝27的x的值为(　　) A．3　　B.　　　C．27　　　D. 解析：A　[设幂函数y＝f(x)＝xα， 因为y＝f(x)的图像经过点(－2，－8)，所以－8＝(－2)α，解得：α＝3， 所以y＝f(x)＝x3，令y＝f(x)＝x3＝27，解得：x＝3，故选：A] 3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表： x 1 f(x) 1 则f(x)的单调递增区间是　________　. 解析：因为f()＝，所以()α＝，即α＝，所以f(x)＝，f(x)的单调递增区间是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 4．设α∈{－1，，1,3}，则使f(x)＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是　________　. 解析：因为f(x)＝xα为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f(x)在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1. 答案：－1 5．已知函数，m为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数． 解：(1)若函数f(x)为正比例函数，则 ∴m＝1. (2)若函数f(x)为反比例函数，则 ∴m＝－1， (3)若函数f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1， ∴m＝－1±. 学科网（北京）股份有限公司 $$