4.3 指数函数与对数函数的关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．3　指数函数与对数函数的关系 课程标准 素养解读 1.了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们的图像间的对称关系 2.会求简单函数的反函数 3.利用指数、对数函数的图像性质解决一些简单问题 在经历指数函数和对数函数互为反函数的过程中，发展学生的数学逻辑和数学运算素养 [情境引入] 将曲线y＝log2x沿x轴正方向移动一个单位，再沿y轴方向移动2个单位，得到曲线c，故c关于直线x＋y＝0对称的曲线，你能求出其曲线方程吗？ [知识梳理] [知识点]　指数函数与对数函数的关系　 1．反函数 (1)反函数的概念 一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中　任意一个　y的值，只有　唯一的　x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．此时，称y＝f(x)存在反函数． (2)反函数的记法：函数y＝f(x)的反函数记作　y＝f－1(x)　. (3)反函数的性质 y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同，y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称． 2．指数函数与对数函数的关系 (1)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)　互为反函数　. (2)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像关于　y＝x　对称． [预习自测] 1．函数y＝x(x＞0)的反函数是(　　) A．y＝，x＞0　　　 B．y＝x，x∈R C．y＝x2，x∈R D．y＝2x，x∈R 解析：B　[∵y＝x，x＞0，∴x＝y，y∈R，对换x，y，得y＝x，x∈R.故选B.] 2．函数f(x)＝2x＋1的反函数为f－1(x)，则不等式f－1(x)＜0的解集为(　　) A．(0,2) B．(1,2) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 解析：B　[由函数f(x)＝2x＋1得其反函数为 f－1(x)＝log2(x－1)，x＞1，令log2(x－1)＜0，解得1＜x＜2.] 3．函数y＝x＋2(x∈R)的反函数为　________　. 解析：由y＝x＋2(x∈R)，得x＝y－2(y∈R)．互换x，y，得y＝x－2(x∈R)． 答案：y＝x－2 4．函数y＝f(x)过点(1,2)，则f－1(x)过点　________　. 解析：∵y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于y＝x对称，∴y＝f－1(x)过点(2,1)． 答案：(2,1) 　求简单函数的反函数 [例1] 求下列函数的反函数 (1)y＝log2x；(2)y＝x；(3)y＝x2(x≤0)． [思路点拨]依反函数的定义求解． [解]　(1)由y＝log2x得x＝2y， ∴f－1(x)＝2x. (2)由y＝x，得x＝y且y＞0， ∴f－1(x)＝x(x＞0)． (3)由y＝x2得x＝±且y≥0， ∵x≤0，∴x＝－且y≥0， ∴f－1(x)＝－(x≥0)． 求函数的反函数的主要步骤： (1)从y＝f(x)中解出x＝φ(y)； (2)将x，y互换； (3)标明反函数的定义域(即原函数的值域)，简记为“一解、二换、三写”． [变式训练] 1．求下列函数的反函数 (1)y＝ (x－1)； (2)y＝0.2x＋1(x≤1)． 解：(1)由y＝ (x－1)，得x－1＝y， ∴x＝y＋1， 对换x，y得y＝x＋1， ∴y＝ (x－1)的反函数是y＝x＋1(x∈R)． (2)由y＝0.2x＋1，得x＝log0.2(y－1)， 对换x，y，得y＝log0.2(x－1)． ∵原函数中x≤1，∴y≥1.2， ∴反函数的定义域为[1.2，＋∞)， ∴y＝0.2x＋1(x≤1)的反函数是y＝log0.2(x－1)，x∈[1.2，＋∞)． 　　互为反函数的图像间的关系及应用 [例2] 设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数的图像过点(2,8)，则a＋b等于(　　) A．3　　B．4　　　C．5　　　D．6 [思路点拨]　点(2,1)在y＝loga(x＋b)的图像上，则点(1,2)在其反函数的图像上． [解析]　f(x)＝loga(x＋b)的反函数为f－1(x)＝ax－b，又f(x)图像过点(2,1)，∴f－1(x)图像过点(1,2)， ∴解得或 又a＞0，∴∴a＋b＝4.故选B. 若点P(m，n)在函数y＝f(x)(或在反函数y＝f－1(x))的图像上，则点P′(n，m)在反函数y＝f－1(x)(或在函数y＝f(x))的图像上．利用这种对称性去解题，常常可以避开求反函数的解析式，从而达到简化运算的目的． [变式训练] 2．若点A(1,2)既在函数f(x)＝的图像上，又在f(x)的反函数的图像上，求a，b的值． 解：依题意可得f(1)＝2，f－1(1)＝2，即f(2)＝1， ∴ 解得∴a＝－3，b＝7. 反函数性质的应用 [例3] 已知函数f(x)＝loga(2－x)(a＞1)． (1)求函数f(x)的定义域、值域； (2)求函数f(x)的反函数f－1(x)； (3)判断f－1(x)的单调性． [思路点拨]　先求反函数，再利用定义判断单调性． [解]　(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R. (2)由y＝loga(2－x)，得2－x＝ay， 即x＝2－ay. ∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)． 原函数与其反函数的单调性相同，在判断反函数的单调区间时，可以先求原函数的单调区间． [变式训练] 解析：由题意得f(x)＝x， ∵f(x)在R上是减函数， ∴由同增异减的原则可知，所求函数的单调递增区间即为t＝x2＋2x的单调递减区间，即(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1] 1．函数y＝ex＋1的反函数是(　　) A．y＝1＋ln x(x＞0) B．y＝1－ln x(x＞0) C．y＝－1－ln x(x＞0) D．y＝－1＋ln x(x＞0) 解析：D　[由y＝ex＋1得x＋1＝ln y(y＞0)， 即x＝－1＋ln y(y＞0)， 所以所求反函数为y＝－1＋ln x(x＞0)．故选D.] 2．已知y＝x的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－，则x0等于(　　) A．－2　　B．－1　　　C．2　　　D. 3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，其图像经过点，则a等于(　　) A. B．2 C. D. 解析：A　[因为点在y＝f(x)的图像上， 所以点在y＝ax的图像上，则有＝a， 即a2＝2，又因为a＞0，所以a＝.] 4．函数y＝log3x的反函数的值域为　________　. 解析：反函数的值域为原函数的定义域(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞) 5．设f(x)＝，函数y＝g(x)的图像与函数y＝f－1(x＋1)的图像关于直线y＝x对称，求g(3)． 解：依题意可知，y＝g(x)与y＝f－1(x＋1)互为反函数，令g(3)＝m，则点(3，m)在y＝g(x)的图像上， 从而点(m,3)在y＝f－1(x＋1)的图像上， 因此，得3＝f－1(m＋1)， ∴f(3)＝m＋1， ∴m＝f(3)－1＝－1＝，即g(3)＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$