4.2.3 第3课时 对数函数的性质与图像的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第3课时　对数函数的性质与图像的应用 课程标准 素养解读 1.理解对数函数的单调性，并能利用单调性比较大小、求最值或值域、解不等式 2.初步掌握对数函数在生活中的应用 1.通过对数函数性质的研究培养学生数学抽象和数学运算素养 2.通过对数函数的应用提升数学建模素养 [情境引入] 你能说出指数函数，对数函数的概念，图像与性质吗？它们有哪些共同点，哪些区别？ [知识梳理] [知识点一]　对数函数的图像及性质　 　对数函数的图像及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图像 性 质 定义域 　(0，＋∞)　 值域 R 定点 　(1,0)　，即x＝　1　时，y＝　0　 单调性 在(0，＋∞)上是 减函数　 在(0，＋∞)上是　增函数　 [知识点二]　复合函数单调性的判定方法　 　设函数y＝f(u)，u＝g(x)都是给定区间上的单调函数．若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相同，则函数y＝f[g(x)]是　增　函数；若y＝f(u)，u＝g(x)在给定区间上的单调性相反．则函数y＝f[g(x)]是　减　函数． [预习自测] 1．已知函数f(x)＝则f＝　________　. 解析：f＝log3＝－2，∴f＝ f(－2)＝2－2＝. 答案： 解析：D　[函数y＝ (x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数；y＝log2的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，(0,2)不是其子区间；y＝log4在(0，＋∞)上是减函数，故A，B，C均不合题意，应选D，事实上，令t＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，则x∈(0,2)时t＝x2－4x＋5为减函数．又y＝t是(0，＋∞)上为减函数，∴y＝ (x2－4x＋5)在(0,2)上是增函数．故选D.] 3．函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的单调递减区间为(　　) A．(－∞，－3) B．(－∞，－1) C．(－1，＋∞) D．(－3，－1) 解析：A　[要使函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)有意义需满足x2＋2x－3＞0，结合y＝x2＋2x－3的图像解得x＞1或x＜－3，所以函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)；令u＝x2＋2x－3，则y＝log2u，因为函数y＝log2u在u∈(0，＋∞)是单调递增函数，由复合函数同增异减，要求函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的单调递减区间，即为函数u＝x2＋2x－3的单调递减区间与函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)定义域的交集，所以函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的单调递减区间为(－∞，－3)，所以选A.] 　　　利用对数函数单调性解不等式 [例1] 解下列不等式． (1)log2(2x＋3)＞log2(5x－6)； (2)log(2a－1)(x2－3x)＞log(2a－1)(2x＋6)． [思路点拨]　解此类不等式的关键是根据对数函数的单调性及对数的运算性质，将其转化为一般的代数不等式，若对数的底数含有参数，需对底数的范围加以讨论． [解]　(1)原不等式等价于 解得＜x＜3， 所以原不等式的解集为. (2)当a＞1时，2a－1＞1， 原不等式等价于 即， 解得－3＜x＜－1或x＞6. 当＜a＜1时，0＜2a－1＜1， 原不等式等价于 即 解得－1＜x＜0或3＜x＜6. 综上可知，当a＞1时，原不等式的解集为{x|－3＜x＜－1，或x＞6}．当＜a＜1时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜0，或3＜x＜6}． 　两类对数不等式的解法 1．形如logaf(x)＜logag(x)的不等式． (1)当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞g(x)＞0； (2)当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜g(x)． 2．形如logaf(x)＜b的不等式可变形为logaf(x)＜b＝logaab. (1)当0＜a＜1时，可转化为f(x)＞ab； (2)当a＞1时，可转化为0＜f(x)＜ab. [变式训练] 1．(1)已知loga＞1，求a的取值范围； (2)已知log0.72x＜log0.7(x－1)，求x的取值范围． 解：(1)由loga＞1得loga＞logaa. ①当a＞1时，有a＜，此时无解． ②当0＜a＜1时，有＜a， 从而＜a＜1. ∴a的取值范围是. (2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log0.72x＜log0.7(x－1) 得解得x＞1. 　　　求对数函数的单调区间 [例2] 求函数f(x)＝loga(2x2－3x－2)的单调区间． [思路点拨]　判断复合函数的单调性时，一定要在定义域内进行，如果含有参数，有时还要对参数进行分类讨论． [解析]　由2x2－3x－2>0得函数f(x)的定义域为{x|x>2，或x<－}． ①a>1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数， 在(－∞，－)上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－)上为减函数． ②0<a<1时，t＝2x2－3x－2在(2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－)上为减函数， ∴f(x)在(2，＋∞)上为减函数，在(－∞，－)上为增函数． 综上，由①②可知，当a>1时，f(x)的单调增区间为(2，＋∞)，单调减区间为(－∞，－)； 当0<a<1时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，单调减区间为(2，＋∞)． 1．解决对数型复合函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数是否大于1进行讨论；二是运用复合函数的单调性法则来判断其单调性；三是要注意其定义域． 2．对数型复合函数一般可分为两类：一类是对数函数为外函数，即y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)型；另一类是对数函数为内函数，即y＝f(logax)(a>0，且a≠1)型． 3．对于函数y＝logaf(x)，如果定义域为D. y＝logaf(x)的增区间 y＝logaf(x)的减区间 a>1 定义域内f(x)的单调增区间 定义域内f(x)的单调减区间 0<a<1 定义域内f(x)的单调减区间 定义域内f(x)的单调增区间 [变式训练] 2．求函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调区间． [解]　设t＝x2－2x－3>0，得x>3或x<－1，由于t＝(x－1)2－4在(3，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，又y＝logt在定义域内单调递减，因而函数f(x)＝log(x2－2x－3)的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减区间为(3，＋∞)． 　　　与对数函数有关的函数的综合问题 [例3] 已知f(x)＝loga(a＞1)． (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)求使f(x)＞0的x的取值范围． [思路点拨]　对数型函数的定义域须满足对数式有意义． [解]　(1)因为f(x)＝loga，需有＞0， 即或所以－1＜x＜1. 所以函数f(x)的定义域为(－1,1)． (2)因为f(－x)＝loga ＝loga－1＝－loga＝－f(x)， 又由(1)知f(x)的定义域为(－1,1)，所以f(x)为奇函数． (3)loga＞0(a＞1)，因为a＞1，所以可得＞1， 由(1)中知x∈(－1,1)，有1－x＞0. 所以可得1＋x＞1－x，解得x＞0.即当a＞1时，x∈(0,1)，有f(x)＞0. (1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)． (2)含对数式的函数奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单． [变式训练] 3．已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)． (1)求f(x)的定义域； (2)讨论f(x)的单调性． 解：(1)若使f(x)存在，必须满足ax－1＞0，即ax＞1. ①a＞1时，x＞0， ②0＜a＜1时，x＜0， ∴a＞1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)． 0＜a＜1时，f(x)的定义域为(－∞，0)． 1．已知f(x)＝在区间(2，＋∞)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，4]　　　　　 B．(－∞，4) C．(－4,4] D．[－4,4] 解析：D　[令t＝x2－ax＋3a，则t在(2，＋∞)上是增函数，且t＞0，，求得－4≤a≤4.] 2．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝(　　) A. B．2 C．2 D．4 解析：D　[因为a>1， 所以y＝logax在[a,2a]上是增函数． 所以loga(2a)－logaa＝， 即loga2＝，所以＝2，解得a＝4.] 3．函数y＝ (x＋1)在区间[0,1]上的最大值为　________　，最小值为　________　. 解析：因为y＝(x＋1)在[0,1]上单调递减，所以y的最小值为f(1)＝2＝－1，最大值为 f(0)＝1＝0. 答案：0　－1 4．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是　________　. 解析：因为y＝log5x与y＝2x＋1均为增函数，故函数f(x)＝log5(2x＋1)是其定义域上的增函数，所以函数f(x)的单调增区间是(－，＋∞)． 答案：(－，＋∞) 5．根据函数f(x)＝log2x的图像与性质解决以下问题． (1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围； (2)求y＝log2(2x－1)在x∈[1,14]上的最值． 解：函数y＝log2x的图像如图． (1)y＝log2x是增函数，若f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2.∴a的取值范围为(2，＋∞)． (2)∵1≤x≤14，∴1≤2x－1≤27， ∴0≤log2(2x－1)≤log227. ∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[1,14]上的最小值为0，最大值为log227. 学科网（北京）股份有限公司 $$