4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图像-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　对数函数的性质与图像 课程标准 素养解读 1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图像 2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点 1.通过对数函数的图像培养直观想象素养 2.通过对数函数的性质提升数学建模和逻辑推理素养 [情境引入] 嫦娥奔月，龙宫探宝，几千年的传说，如今都已变成了现实，如果我们有一张无限延展的纸，那么仅凭这张纸你能否登上月球？ [知识梳理] [知识点一]　对数函数的图像和性质　 1．对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像及性质 a>1 0<a<1 图像 性质 定义域为　(0，＋∞)　，值域为　R　. 图像都过定点　(1,0)　，即　x＝1　时，　y＝0　. 当x>1时，　y>0　； 当0<x<1时，　y<0　. 当x>1时，　y<0　； 当0<x<1时，　y>0　. 在(0，＋∞)上是　增函数　 在(0，＋∞)上是　减函数　 2.本质：作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图像，观察这些图像的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即对数函数的性质． 3．应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式；④求参数的范围． 1.底数a的取值与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像有什么关系？ 提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图像的“升降”：当a>1时，对数函数的图像“上升”；当0<a<1时，对数函数的图像“下降”． [知识点二]　反函数　 1．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．两者的　定义域　和　值域　正好互换． 2．反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称． (2)反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． 2.函数y＝log3x与y＝x互为反函数吗？ 提示：不是，同底数的指数函数与对数函数互为反函数． 3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与y＝logx(a>0且a≠1)有什么关系？ 提示：在同一坐标系内，y＝logax(a>0且a≠1)的图像与y＝logx(a>0且a≠1)的图像关于x轴(即直线y＝0)对称． [预习自测] 1．已知实数a＝log45，b＝()0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b<c<a　　　　　 B．b<a<c C．c<a<b D．c<b<a 解析：D　　[由题知，a＝log45>1，b＝()0＝1，c＝log30.4<0，故c<b<a.] 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B. C．logx D．2x－2 解析：A　[函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝log2x.] 3．若某对数函数的图像过点(4,2)，则该对数函数的解析式为　________　. 解析：设函数解析式为y＝logax， ∵函数的图像过点(4,2)，∴loga4＝2，∴a＝2， ∴y＝log2x. 答案：y＝log2x 　　　对数函数的图像 [例1] (1)函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图像如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是(　　) A．c<d<1<a<b B．1<d<c<a<b C．c<d<1<b<a D．d<c<1<a<b [思路点拨]　根据对数函数的图像特点判断． 解析：A　[在图中作出直线y＝1，则1＝logax1,1＝logbx2,1＝logcx3,1＝logdx4，解得x1＝a，x2＝b，x3＝c，x4＝d，由图可知x2>x1>1>x4>x3，即c<d<1<a<b，故选A.] (2)函数f(x)＝logax(0<a<1)的图像大致为(　　) [思路点拨]　先化简，再判断． 解析：B　[在logax中x>0，∴y＝logax＝logax(0<a<1)，故选B.] 1．函数y＝logax(a>0且a≠1)的底数变化对图像位置的影响． 观察图像，注意变化规律： 上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图像向右越靠近x轴，0<a<1时，a越小，图像向右越靠近x轴． 左右比较：比较图像与y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大． 2．有关对数型函数图像问题的应用技巧 (1)求函数y＝m＋logaf(x)(a>0，且a≠1)的图像过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)． (2)给出函数解析式判断函数的图像，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图像的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图像选出，解决此类题目常采用排除法． (3)根据对数函数图像判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图像相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图像对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小． 3．对数型函数图像恒过定点问题 解决此类问题的根据是对任意的a＞0，且a≠1，都有loga1＝0.例如，解答函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点问题时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点(x，m)． [变式训练] 1．(1)函数y＝log2|x|的图像大致是(　　) (2)函数y＝loga(2x－3)＋1的图像恒过定点P，则点P的坐标是　________　. 解析：(1)因为函数y＝log2|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上为增函数，结合图像可知A正确． (2)令2x－3＝1得x＝2，此时y＝1，即点P的坐标是(2,1)． 答案：(1)A　(2)(2,1) 　　　利用对数的单词性比较大小 [例2] 比较下列各组数的大小： (1)log2π与log20.9； (2)log20.3与log0.20.3； (3)log25与log35. [思路点拨]　利用对数函数的单调性判断． [解]　(1)∵函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，π＞0.9，∴log2π＞log20.9. (2)由于log20.3＜log21＝0，log0.20.3＞log0.21＝0， ∴log20.3＜log0.20.3. (3)函数y＝log2x和y＝log3x的图像如图所示．当x＞1时，y＝log2x的图像在y＝log3x的图像上方．这里x＝5，∴log25＞log35. 比较对数值大小时常用的4种方法 (1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较． (2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论． (3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图像，再进行比较． (4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较． [变式训练] 法二：因为在x∈(1，＋∞)上，y＝x的图像在y＝x图像的上方，所以3<3. (3)当a>1时，y＝logax为增函数，所以loga2<loga3. 当0<a<1时，y＝logax为减函数，所以loga2>loga3. 　　　求函数的值域问题 [例3] (1)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为　________　. (2)函数y＝的值域为(　　) A．(0,3)　　　　 B．[0,3] C．(－∞，3] D．[0，＋∞) [思路点拨]　先求定义域，再根据对数函数的单调性求值域． [解析]　(1)f(x)的定义域为R. 因为3x>0，所以3x＋1>1. 因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 所以log2(3x＋1)>log21＝0. 即f(x)的值域为(0，＋∞)． (2)x<－1时，0<3x<3－1＝. x≥1时，log2x≥log21＝0. 所以函数的值域为(0，)∪[0，＋∞)＝[0，＋∞)． 答案：(1)(0，＋∞)　(2)D 求形如y＝logaf(x)(a>0.且a≠1)的复合函数的值域的步骤 (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解． [变式训练] 3．求下列函数的值域 (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝ (3＋2x－x2)． 解析：(1)设u＝x2＋4≥4. 而y＝log2u是增函数，y＝log24＝2. ∴函数y＝ (x2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)y＝ (3＋2x－x2)， 设t＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4. 令t>0.－1<x<3. 0<t≤4. 又∵y＝t为减函数． ∴y≥4＝－2 ∴函数y＝(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)． 1．(多选题)函数f(x)＝loga(x＋e)的图像可能不过(　　) A．第一象限　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：AD　[(1)0<a<1时，f(x)＝loga(x＋e)的图像不过第一象限，(2)a>1时f(x)＝loga(x＋e)的图像不过第四象限．] 2．已知x＝ln π，y＝log5，z＝则(　　) A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 解析：D　[∵x＝ln π＞1，y＝log5＜0,0＜z＝e－＜1，∴x＞z＞y.] 3．已知a＝log23.4，b＝log43.6，c＝log30.3，则(　　) A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b 解析：A　[因为a＝log23.4>1,0<b＝log43.6<1，c＝log30.3<0，所以a>b>c，故选A.] 4．函数f(x)＝loga(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图像恒过定点　________　. 解析：令x＋2＝1，得x＝－1，f(－1)＝0＋3＝3， ∴y＝f(x)过定点(－1,3)． 答案：(－1,3) 5．已知函数f(x)＝ln(ax2＋2x＋1)． (1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； (2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围． 解析：(1)若f(x)的定义域为R， 则u＝ax2＋2x＋1的图像恒在x轴的上方， 若a＝0时，2x＋1>0，x>－，不合题意，所以a≠0； 由，解得a>1， 即实数a的取值范围是(1，＋∞)． (2)若f(x)的值域为R，则u＝ax2＋2x＋1要取遍所有的正数， 所以a＝0或，解得0≤a≤1， 即实数a的取值范围是[0,1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$