4.2.3 第1课时 对数函数的概念-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．2.3　对数函数的性质与图像 第1课时　对数函数的概念 课程标准 素养解读 1.了解函数的概念 2.根据对数函数的定义判断一个函数是否为对数函数 3.会求对数函数的定义域 1.通过对对数函数的理解培养数学直观素养 2.通过求对数函数的定义域提升数学运算素养 [情境引入] 已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？ 提示：由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数解析式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)． [知识梳理] [知识点]　对数函数的概念　 1．一般地，函数y＝　logax(a>0，且a≠1)　叫做对数函数，其中　x　是自变量，函数的定义域是　(0，＋∞)　. 2．对数函数概念的注意点 (1)形式：对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如y＝2log2x，y＝log5都不是对数函数，可称其为对数型函数． (2)定义域：由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)． (3)底数：对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1. 1.对数函数的定义域为什么 是(0，＋∞)? 提示：ax＝N⇔logaN＝x，真数为幂值N，而N>0，故式子logax中，x>0. 2．对数函数的解析式有何特征？ 提示：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数． [预习自测] 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝logx2　　　　　 B．y＝log3x C．y＝2log3x D．y＝log 3x＋1 答案：B 2．设函数f(x)＝log2(3－x)，则函数f(x)的定义域是(　　) A．{x|x＞0} B．{x|x＞3} C．{x|x＜3} D．{x|x＞2} 解析：C　[因为f(x)＝log2(3－x)，所以根据对数真数大于零可知3－x＞0，x＜3，故函数的定义域为{x|x＜3}．] 3．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝　________　. 解析：由对数函数的定义可知， 解得a＝5. 答案：5 　　　对数函数的概念 [例1] 下列函数中，哪些是对数函数？ (1)y＝loga(a＞0，且a≠1)； (2)y＝log2x＋2； (3)y＝8log2(x＋1)； (4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)； (5)y＝log6x. [思路点拨]　利用对数函数的定义判断． [解]　(1)中真数不是自变量x，不是对数函数．(2)中对数式后加2，∴不是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)对数的真数仅有自变量x. [变式训练] 1．指出下列函数中哪些是对数函数？ (1)y＝logax2(a>0且a≠1)； (2))y＝log2x－1； (3)y＝2log7x； (4)y＝logxa(x>0且x≠1)； (5)y＝log5x. 解析：只有(5)为对数函数． (1)中真数不是自变量x，∴不是对数函数； (2)中对数式后减1，∴不是对数函数； (3)中log7x前的系数是2，而不是1， ∴不是对数函数； (4)中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数． 　　　对数函数式与求值 [例2] (1)已知对数函数f(x)＝(m2－3m＋3)logmx，则m＝　________　. (2)已知f(x)为对数函数，f()＝－2，则f()＝　________　. [思路点拨]　根据对数函数的形式方程求解． [解析]　(1)由对数函数的定义，可得m2－3m＋3＝1， 解得m＝2或m＝1(舍去)． (2)设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，则loga＝－2， ∴＝，即a＝，∴f(x)＝logx， 答案：(1)2　(2) 求对数函数函数值与解析式的方法 (1)求函数值：设出对数函数解析式，代入已知点求解． (2)求解析式：利用已知条件如函数经过的点或单调性求解． [变式训练] 2．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)＝(　　) A．－　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 解析：A　[因为f(x)＝ f(a)＝－3， 所以或 解得a＝7， 所以f(6－a)＝f(－1)＝2(－1－1)－2＝－.] 　　对数函数的定义域 [例3] 求下列函数的定义域． ①y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)； ②y＝log2(16－4x)． [思路点拨]　利用对数函数的定义域判断． 解析：①由得－3<x<3， 所以函数的定义域是{x|－3<x<3}． ②由16－4x>0，得4x<16＝42， 由指数函数的单调性得x<2， 所以函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x<2}． 求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. [变式训练] 3．函数f(x)＝＋lg(10－x)的定义域为　________　. 解析：由题意可得，解得1<x<10，故定义域为{x|1<x<10}． 答案：(1,10) 　　　对数函数在实际问题中的应用 [例4] 某企业2020年全年投入研发资金1亿元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是(　　) (参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0,477) A．2 021　　　　　　 B．2 022 C．2 023 D．2 024 [思路点拨]　列出指数关系式，转化为对数函数求解． 解析：D　[设经过x年全年投入的研发资金开始超过亿元，则 (1＋8%)x＝， ∴x＝log1.08＝ ≈≈4. 2020＋4＝2024. 即该企业全年投入的研发资金开始超过亿元的年份是2024.] 利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指、对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． [变式训练] 4．某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少，要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)(　　) A．8　B．9　　C．10　　D．11 解析：D　[设至少需要过n次，则 n＝. 所以nlg ≤－lg 20. 即n≥≈≈10.42. 又n∈N，所以n≥11.] 1．(多选题)下列给出的函数，其中是对数函数的是(　　) A．y＝logax2(a>0且a≠1) B．y＝log－1x C．y＝logx(x>0且x≠1) 解析：BD　[根据对数函数的定义可知B、D为对数函数．] 2．下列各组函数中，定义域相同的一组是(　　) A．y＝ax与y＝logax(a>0，且a≠1) B．y＝2ln x与y＝ln x2 C．y＝lg x与y＝lg D．y＝x2与y＝lg x2 解析：C　[A项中，函数y＝ax的定义域为R，y＝logax(a>0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)；B项中，y＝2ln x的定义域是(0，＋∞)，y＝ln x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}；C项中，两个函数的定义域均为(0，＋∞)；D项中y＝x2的定义域为R，y＝lg x2的定义域是{x|x∈R，x≠0}．] 3．f(x)＝，则f[f(2)]的值为　________　. 解析：由已知条件可知f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，所以f[f(2)]＝f(1)＝2e1－1＝2. 答案：2 4．函数f(x)＝lg(x2－1)的定义域为　________　. 解析：要使函数有意义，必须满足x2－1>0，即x>1或x<－1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞) 5．已知f(x)＝log3. (1)求f，f； (2)求f＋f； (3)求f(a)＋f(－a)的值，a∈(－1,1)． 解析：(1)f＝log3＝log3＝－1. f＝log3＝log33＝1. (2)f＝log3＝log3， f＝log3＝log3， ∴f＋f＝log3＋log3＝log31＝0. (3)f(a)＋f(－a)＝log3＋log3＝log3(·)＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$