4.2.2 对数运算法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．2.2　对数运算法则 课程标准 素养解读 1.理解对数运算性质 2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 1.通过对对数运算性质的理解，培养逻辑推理和数学运算素养 2.通过对换底公式的应用，提升数学抽象素养 [情境引入] 1．设am＝2，an＝3，如何求m＋n? 提示：因为am＝2，an＝3，所以m＝loga2，n＝loga3，因此m＋n＝loga2＋loga3； 或者因为am·an＝am＋n＝2×3， 所以m＋n＝loga(2×3)． 2．设am＝M，an＝N，如何求m＋n? 提示：因为am＝M，an＝N，所以m＝logaM，n＝logaN， 因此m＋n＝logaM＋logaN； 或者因为am·an＝am＋n＝M·N， 所以m＋n＝loga(M·N) ＝logaM＋logaN. [知识梳理] [知识点一]　对数的运算性质　 1．性质 若a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝　logaM＋logaN　； ②loga＝　logaM－logaN　； ③logaMn＝　nlogaM　(n∈R)． 2．本质：正用是将积、商、幂的对数进行拆分计算；逆用是将同底数对数的和、差分别合并成积、商计算，数与对数的乘积转化成幂的对数计算． 3．应用：广泛用于对数式的化简求值中，解决对数式的计算问题． 1.你能用文字语言叙述对数的运算性质吗？ 提示：积的对数等于积的各个因式的对数的和； 商的对数等于分子的对数减去分母的对数； 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数． 2．在积的对数运算性质中，三项的乘积式loga(MNQ)是否适用？你可以得到一个什么样的结论？ 提示：适用，loga(MNQ)＝logaM＋logaN＋logaQ，积的对数运算性质可以推广到真数是n个正数的乘积． [知识点二]　换底公式　 1．公式：logab＝　　(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1； b>0)． 2．本质：将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数． 3．应用：将底数换成10或e，即将任意对数运算统一为常用对数或自然对数进行计算． 3.对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ 提示：logab＝，logab＝. 4．你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论logNnMm＝logNM吗？ 提示：logNnMm＝＝＝·＝logNM. [预习自测] 1．log3(xy)＝log3x＋log3y成立的条件是(　　) A．x＞0，y＞0　　　　　　　　 B．x＞0，y＜0 C．x＜0，y＞0 D．x∈R，y∈R 解析：A　[loga(xy)＝logax＋logay成立的前提条件是a＞0且a≠1，x＞0，y＞0.] 2．2log510＋log50.25＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：C　[2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log5100×0.25＝log525＝log552＝2log55＝2.] 3．lg 0.01＋log216的值是　________　. 解析：lg 0.01＋log216＝－2＋4＝2. 答案：2 　　　对数运算性质的应用 [例1] (1)； (2)(lg5)2＋lg 2＋lg 2·lg 5. [思路点拨]　利用对数的运算性质及运算法则求值，本着化异为同的原则，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数之间的联系，对于较复杂的真数，可以先化简再计算． [解]　(1)原式＝＝＝. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(1＋lg 5) ＝lg 2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＝lg 2＋lg 5＝1. 底数相同的对数式的化简和 求值的原则、方法及注意事项 (1)基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用方法 ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． (3)注意事项 ①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题． ②准确应用以下结论： loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)． [变式训练] 1．计算：(1)2log32－log3＋log38－； (2)lg 14－2lg＋lg 7－lg 18. 解：(1)原式＝log34－log3＋log38－ ＝log3－9 ＝log39－9＝2－9＝－7. (2)原式＝lg 14－lg2＋lg 7－lg 18 ＝lg ＝lg 1＝0. 　　　换底公式的应用 [例2] 计算(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． [思路点拨]　由于题目中各个对数的底数都不相同，解答本题时可先通过对数换底公式统一底数，再进行化简求值． [解]　解法一： 原式＝· ＝ ＝log25·3log52 ＝13log25·log52 ＝13. 解法二：原式＝ ＝ ＝ ＝13. 解法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)(log52＋log5222＋log5323)． ＝log25·3log52＝3×＝13. 1．(1)解法一是先将括号内换底，然后将底统一． (2)解法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性统一化为常用对数(当然也要以换成以其他非1的正数为底的对数)，然后化简． (3)解法三，匠心独具，值得效仿．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法． 2．利用换底公式化简求值时应注意的问题 ①针对具体问题，选择恰当的底数． ②注意换底公式与对数运算法则结合使用． ③换底公式的正用与逆用． ④恰当应用换底公式的两个常用结论． 3．利用换底公式计算、化简、求值的思路 [变式训练] 2．已知log189＝a,18b＝5，求(1)log3645. (2)log915(用a，b表示)． 解：(1)因为18b＝5，所以b＝log185. 所以log3645＝＝ ＝ ＝＝＝ ＝. (2)因为18b＝5，所以log185＝b. 所以log915＝＝ ＝ ＝＝＝. 　　　对数运算的综合应用 [例3] 如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)·lg x＋lg 7·lg 5＝0的两根是α，β，求αβ的值． [思路点拨]　解本题的关键是将lg x看成一个整体，从而原方程可以看成关于lg x的二次方程． [解]　方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7·lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程． ∵α，β是原方程的两根，∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根． 由韦达定理，得 lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg ， ∴lg(αβ)＝lg α＋lg β＝lg ，∴αβ＝. 只有在一元二次方程中才能应用韦达定理．α，β尽管是原方程的根，但原方程并非是关于x的一元二次方程，所以不能对α，β直接应用韦达定理．而lg α，lg β是关于lg x的二次方程的根，从而可以应用韦达定理求解． [变式训练] 3．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于(　　) A．2　　B.　　　C．4　　　D. 解析：A　[由韦达定理，得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝，则2＝(lg a－lg b)2＝(lg a＋ lg b)2－4lg a·lg b＝22－4×＝2.] 　　　实际问题中的对数运算 [例4] 2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计1 000以内的素数的个数为(　　) (素数即质数．lg e≈0.434 29，计算结果取整数) A．768　B．144　　C．767　　D．145 [思路点拨]　由题意，根据π(x)≈， 得到估计1 000以内的素数的个数为π(1 000)≈，根据对数的运算，即可求解． [解]D　[由题意，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)＝，则估计1 000以内的素数的个数约为π(1 000)≈＝≈≈145.] 关于对数运算在实际问题中的应用 (1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算． (2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算． [变式训练] 4．根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与最接近的是(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A.　B.　C.　　D. 解析：B　[由题意得：＝，两边取常用对数，可得lg ＝lg 1010－lg 36－lg 230≈10－6×0.48－30×0.30＝－1.88. ∴＝10－1.88≈.] 1．(lg 2)3＋(lg 5)3＋3lg 2·lg 5的值为(　　) A．4　　　　　　　　　　　 B．1 C．6 D．3 解析：B　[原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋(lg 5)2＋2lg 2·lg 5＝(lg 2＋lg 5)2＝1.] 2．已知lg 2＝m，lg 3＝n，用m，n表示log46为(　　) A. B. C．2m2n D. 解析：D　[log46＝＝＝＝.] 3．若log3(log2x)＝log2(log3y)＝0，则x＝　________　，y＝　________　. 解析：由已知得log2x＝1，故x＝2.同理，y＝3. 答案：2　3 4．3log72－log79＋2log7＝　________　. 解析：原式＝log723－log79＋log72＝ log7＝log71＝0. 答案：0 解析：(1)原式＝lg×(21g＋lg 5)＋ ＝lg ×(lg 2＋lg 5)＋(1－lg )＝lg ＋1－lg ＝1. (2)原式＝log5＋＝log553－1＝3－1＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$