4.2.1 对数运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．2　对数与对数函数 4．2.1　对数运算 课程标准 素养解读 1.通过实际问题，理解对数的概念 2.利用对数、指数关系，求对数值 通过对对数概念的理解，培养学生数学抽象，逻辑推理素养 [情境引入] 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个……以此类推．回答下列问题： 1．1个这样的细胞分裂2次得到多少个细胞？分裂x次得到多少个细胞？ 提示：分裂2次得到4个细胞，分裂x次得到2x个细胞． 2．分裂多少次可得到8个，16个呢？如何求解？ 提示：设分裂x次可得到8个，即2x＝8＝23，故x＝3，所以分裂3次可得到8个，同理由2x＝16可得x＝4…… 3．若ax＝N，如何表示x呢？ 提示：x＝logaN. [知识梳理] [知识点一]　对数的概念　 1．对数：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做　以a为底N的对数　，记作x＝　logaN　，其中a叫做对数的　底数　，N叫做　真数　. 2．常用对数：通常将以　10　为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为　lg_N　. 3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以　e　为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为　ln_N　. 1.对数概念中为什么规定a>0，且a≠1呢？ (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则 ①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则 ①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值． 因此规定a>0，且a≠1. 2．式子logmN中，底数m的范围是什么？ 提示：m>0且m≠1. 3．对数式logaN是不是loga与N的乘积？ 提示：不是，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． [知识点二]　对数式与指数式的互化　 当a>0且a≠1时，ax＝N⇔x＝　logaN　. 4.对数与指数的关系是什么？ 提示：指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)： (1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键． [知识点三]　对数的性质　 1．　0和负数　没有对数，即logaN中　N>0　. 2．1的对数等于　0　，即　loga1＝0　. 3．底数的对数等于　1　，即　logaa＝1　(a>0，且a≠1)． 4．对数恒等式：＝　N　. 5.你能否推导出对数的性质？ 提示：因为a0＝1，所以loga1＝0； 因为a1＝a，所以logaa＝1. 6．对数恒等式中指数的底数与对数的底数有什么关系？ 提示：指数的底数与对数的底数相等． [预习自测] 1．log5b＝2化为指数式是(　　) A．5b＝2　　　　　　　　 B．b5＝2 C．52＝b D．b2＝5 答案：C 2．3b＝5化为对数式是(　　) A．logb3＝5 B．log35＝b C．log5b＝3 D．log53＝b 答案：B 3．已知logx＝－4，则x＝　________　. 解析：化为指数式得x－4＝＝2－4⇒x＝2. 答案：2 　　　指数式与对数式的互化 [例1] 将下面的(1)(2)(3)化为指数式，(4)(5)(6)化成对数式，并求出x值． (1) ＝x；　　(2)logx＝6； (3)logx64＝－6; (4)5x＝625； (5)x－2＝； (6)－2＝x. [思路点拨]　直接利用对数的定义进行指数式与对数式的互化． [解析]　(1)∵＝x， ∴x＝27，∴x＝－3. 指数式与对数式互化的方法 (1)指数式化为对数式： 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式： 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． [变式训练] 　　　对数的计算 [例2] 求下列各式中的x的值： (1)log64x＝－；　　(2)logx8＝6； (3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x. [思路点拨]　根据指数式与对数式的互化直接求解． 利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂． (2)已知指数与幂，用指数式求底数． (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数． [变式训练] 2．求下列各式中的x值． (1)logx27＝； (2)log2x＝－； (3)x＝log27. 　　　对数性质的应用 [例3] 求下列各式中的x值． (1)log2(log5x)＝0； (2)log2(lg x)＝1； [思路点拨]　利用对数的性质和指数式与对数式的互化关系求解． [解]　(1)由log2(log5x)＝0，得log5x＝20＝1， 故x＝51＝5. (2)由log2(lg x)＝1，得lg x＝2，故x＝102＝100. 有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．当有多层对数时，应由外往里求解． [变式训练] 3．求下列各式中x的值． (1)log2(log4x)＝0； (2)log3(lg x)＝1； (3) 解：(1)log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4. (2)由已知lg x＝3，∴x＝103＝1 000. (3)∵ ∴(－1)x＝＝＝－1.∴x＝1. 　　　利用对数的结论及恒等式求值 [例4] 求值： [思路点拨]　利用对数恒等式alogaN＝N求值． 对于此类题目，首先要结合对数恒等式将原式化简，化成能利用对数恒等式的形式，然后再进行求值．在化简变形中灵活运用指数幂运算性质． (1)应用对数恒等式alogaN＝N要注意格式： ①它们是同底的； ②指数中含有对数形式； ③其值为对数的真数，且大于0. (2)合理利用对数、指数的运算法则，化为相同底数． [变式训练] 1．log2的值为(　　) A．－　　B.　　　C．－　　　D. 2．以下结论正确的个数是(　　) ①lg(lg 10)＝0；　②lg(ln e)＝0；　③若10＝lg x，则 x＝10；④若e＝ln x，则x＝e2. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[①lg(lg 10)＝lg1＝0，正确；②lg(ln e)＝lg 1＝0，正确；③∵10＝lg x，∴x＝1010，错误；④∵e＝ln x，∴x＝ee，错误．] 3．lg 10 000＝　________　；lg 0.001＝　________　. 解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3. 答案：4　－3 4．已知log2[log3(log5x)]＝0，则x＝　________　. 解析：令log3(log5x)＝t1，则t1＝20＝1. 令log5x＝t2，则t2＝31＝3. ∴log5x＝3，∴x＝53＝125. 答案：125 学科网（北京）股份有限公司 $$