4.1.1 第2课时 无理数指数幂及其运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

第2课时　无理数指数幂及其运算 课程标准 素养解读 1.通过对实数指数幂aα(a>0，且a≠1，α∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程 2.掌握实数指数幂的运算性质 1.通过实数指数幂的意义提升数学抽象素养 2.通过实数指数幂的运算性质提升逻辑推理和数学运算素养 [情境引入] 当生物体死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，据此规律，人们获得了生物体内碳14含量与死亡年数t的关系．p＝. [知识梳理] [知识点一]　无理数指数幂　 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个　确定的　实数． 1.为什么规定底数a>0? 提示：规定底数大于零是必要的，否则会出现，就无法确定是1还是－1. [知识点二]　实数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈R)　 (1)aras＝　ar＋s　. (2)(ar)s＝　ars　. (3)(ab)r＝arbr. 2.指数幂是怎样从正整数指数幂推广到实数指数幂的？ 提示： [预习自测] 1．下列各式运算错误的是(　　) A．(－a2b)2·(－ab2)3＝－a7b8 B．(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3 C．(－a3)2·(－b2)3＝a6b6 D．[－(a3)2·(－b2)3]3＝a18b18 解析：C　[对于A，(－a2b)2·(－ab2)3＝a4b2·(－a3b6)＝－a7b8，故A正确；对于B，(－a2b3)3÷(－ab2)3＝－a6b9÷(－a3b6)＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，(－a3)2·(－b2)3＝a6·(－b6)＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确．] 3．计算：2××＝　________　. 答案：6 　　　无理数指数幂的运算 [思路点拨]　若a>0，b>0，r，s∈R，则ar·as＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝. 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． [变式训练] 　　　有条件的求值问题 [例2] 已知＋＝，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3)a2－a－2. [思路点拨]　从已知条件中解出a，然后再代入求值，这种方法不可取．应考虑从整体中寻求需求值的式子与已知条件的联系． [解]　(1)将＋＝两边平方， 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. (2)由a＋a－1＝3，两边平方， 得a2＋a－2＋2＝9，所以a2＋a－2＝7； (3)设y＝a2－a－2，两边平方， 得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45， 所以y＝±3，即a2－a－2＝±3. 条件等式求值的原则和方法技巧 1．原则：①对于条件等式的求值问题，可以把所要求的式子先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值． ②也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值． 2．解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化筒代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)： [变式训练] 　　　实际问题中的指数运算 [例3]　在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．例如计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子： α 5 6 7 8 … 14 15 … 27 28 29 2α 32 64 128 256 … 16384 32768 … 134217728 268435356 536870912 这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现．比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字：64对应6,256对应8，然后再把第一行中的对应数字加起来6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384. 按照这样的方法计算16 384×32 768＝(　　) A．134 217 728　　　　 B．268 435 356 C．536 870 912 D．513 765 802 [思路点拨]　分析表中的规律是求解的关键． [解析]C　[由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字，16384对应14,32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912. 所以有：16384×32768＝536870912.故选C.] 指数运算在实际问题中的应用 在成倍数递增(递减)、固定增长率等问题中，常常用到指数运算，用来计算增减的次数、增减前后的数量等． [变式训练] 3．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒　________　次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%. [解析]　由题意，第n次操作后溶液的浓度为(1－)n；令()n<，验证可得n≥4. 所以至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%. 答案：4 1．化成根式形式为(　　) A.　 B.　 　C.　 　D. 解析：C　[＝.] 3．若＋＝0，则(x2021)y＝　________　. 解析：因为＋＝0， 所以＋＝|x＋1|＋|y＋3|＝0， 所以x＝－1，y＝－3. 所以(x2 021)y＝[(－1)2021]－3＝(－1)－3＝－1. 答案：－1 4．已知＋b＝1，则＝　________　. 答案：3 学科网（北京）股份有限公司 $$