4.1.1 第1课时 n次方根与分数指数幂-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．1　指数与指数函数 4．1.1　实数指数幂及其运算 第1课时　n次方根与分数指数幂 课程标准 素养解读 1.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1，m，n为整数，且n>0)含义的认识，了解指数幂的拓展过程 2.掌握指数幂的运算性质 1.通过运用根式的性质应用提升数学抽象和数学运算素养 2.通过学习指数幂的运算性质，提升逻辑推理及数学运算素养 [情境引入] (1)如果x2＝a，则x叫做a的平方根，记作x＝±；如果x3＝a，则x叫做a的三次方根(立方根)，记作x＝；若x4＝a呢？ 提示：若x4＝a，则x叫做a的4次方根，记作x＝±. (2)如果xn＝a，则x叫做a的什么？如何表示？ 提示：若xn＝a，则x叫做a的n次方根，若n为奇数，则x＝；若n为偶数，则x＝±(a≥0)． [知识梳理] [知识点一]　方根与根式的定义 1．a的n次方根定义 如果　xn＝a　，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式 式子叫做根式，这里n叫做　根指数　，a叫做　被开方数　. [知识点二]　根式的性质　 1.＝　0　(n∈N*，且n>1)． 2．()n＝　a　(n∈N*，且n>1)． 3.＝　a_　(n为大于1的奇数)． ＝　|a|　＝(n为大于1的偶数)． 1.正数a的n次方根一定有两个吗？ 提示：不一定．当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，且互为相反数；当n为奇数时，正数a的n次方根只有一个且仍为正数． 2．()n与中的字母a的取值范围是否一样？ 提示：取值范围不同．式子()n中隐含a是有意义的，若n为偶数，则a≥0，若n为奇数，a∈R；式子中，a∈R. [知识点三]　分数指数幂的意义(a>0，m，n∈N*，且n>1)　 [知识点四]　有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r，s∈Q)　 (1)aras＝ar＋s.(2)(ar)s＝ars.(3)(ab)r＝arbr. 3.为什么分数指数幂的底数规定a>0? 提示：①当a<0时，若n为偶数，m为奇数，则无意义； ②当a＝0时，a0无意义． 4．同底数幂相除ar÷as，同次的指数相除分别等于什么？ 提示：①ar÷as＝ar－s；②＝()r. [预习自测] 1.的值是(　　) A．2　　　　　　　　 B．－2 C．±2 D．－8 答案：B 2．当n＞1，且n∈N*时，以下说法正确的是(　　) A．正数的n次方根是一个正数 B．负数的n次方根是一个负数 C．0的n次方根是0 D．a的n次方根用表示 解析：C　[由n次方根的意义知C正确．] 3.－ ＋的值等于　________　. 解析：原式＝－＋＝－＋＝. 答案： 　　　n次方根的概念 [例1] (1)16的平方根为　________　，－27的5次方根为　________　. (2)已知x7＝6，则x＝　________　. (3)若有意义，则实数x的取值范围是　________　. [思路点拨]　依a的n次方根的定义判断求解． [解析]　(1)∵(±4)2＝16， ∴16的平方根为±4.－27的5次方根为. (2)∵x7＝6，∴x＝. (3)要使有意义， 则需x－2≥0，即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． [答案]　(1)±4　　 (2)　(3)[2，＋∞) (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个． (2)根式的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：①当n为偶数时，为非负实数；②当n为奇数时，的符号与a的符号一致． [变式训练] 1．有下列说法 ①＝3； ②16的4次方根是±2； ③＝±3； ④ ＝|x＋y|； ⑤若x＜2，则 ＋()3＝2－. 其中正确的是　________　.(填正确说法的序号) 解析：当n是奇数时，负数的n次方根是一个负数，故＝－3，①错误；16的4次方根有两个，为±2，②正确；＝3，③错误；是正数，所以＝|x＋y|，④正确．由题意知x－2＜0，故＋()3＝|x－2|＋x－＝2－x＋x－＝2－，⑤正确． 答案：②④⑤ 　　　利用根式的性质化简与求值 [例2] 求下列各式的值 (1) ；(2) ＋ . [思路点拨] 利用＝，要注意n为奇数还是偶数及a的正负． [解]　(1)∵3－π＜0，∴ ＝|3－π|＝π－3. (2)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x＜y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． 即原式＝ 当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|，本题中要注意n的奇偶性对式子的值的影响，做到理解，并能熟练应用． [变式训练] 2．求下列各式的值 (1) ＋ ； (2)()5＋()6(b＞a)． (3) ＋ . 解：(1) ＋ ＝－8＋π－3＝π－11. (2)()5＋()6 ＝a－b＋b－a＝0. (3) ＋ ＝1＋＋－1 ＝2. 　　　根式与分数指数幂的互化 [思路点拨]　依据根式与分数指数幂的转化规律求解． 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [变式训练] 3．用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0) (1)·；(2) ；(3)()2·； (4) . 　　　分数指数幂的综合运算 [思路点拨]　先化根式为分数指数幂，再利用分数指数幂的运算性质计算、化简． (1)幂的运算的常规方法 ①化负指数幂为正指数幂； ②化根式为分数指数幂； ③化小数为分数进行运算． (2)分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数． [变式训练] 1．化简的结果是(　　) A．－　　　　　　　　 B. C．－ D. 解析：A　[＝＝－.] 2．下列各式：①＝a；②(a2－3a＋3)0＝1；③＝.其中正确的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：B　[＝|a|，a2－3a＋3＝2＋≠0，＝，故只有②正确．] 3．根式a 化成分数指数幂是　________　. 解析：∵－a≥0，∴a≤0， ∴a＝－＝－＝. 答案： 解析：－(－9.6)0－＋0.1－2＝－1－＋100＝－1－＋100＝. 答案： 5．化简与求值： (1)； (2)； (3)(a≤)； (4)＋. 解：(1)＝－5. (2)＝＝＝3. (3)∵a≤，∴1－2a≥0， ∴＝＝＝. (4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． ∴＋ ＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$