5.2.3 简单复合函数的导数-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．下列函数不是复合函数的是(　　) A. y＝－x3－＋1 B．y＝cos C．y＝ D．y＝(2x＋3)4 解析：A　[A不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B是由y＝cos u，u＝x＋复合而成；C是由y＝，u＝ln x复合而成；D是由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．] 2．已知函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x，那么f′＝(　　) A．－2　　　　　　　　　 B．2 C. D．－ 解析：A　[由题意，f′(x)＝2cos 2x－2sin 2x，所以f′＝2cos π－2sin π＝－2.] 3．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：D　[令f(x)＝ax－ln(x＋1)， ∴f′(x)＝a－. ∴f(0)＝0，且f′(0)＝2.解得a＝3.] 4．(多选)下列求导数运算不正确的是(　　) A．(sin x)′＝－cos x B．(log2x)′＝ C.′＝ D．(e2x＋1)′＝2e2x＋1 解析：ABC　[选项A，(sin x)′＝cos x，故A错误；选项B，(log2x)′＝，故B错误；选项C，′＝，故C错误；选项D，(e2x＋1)′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1，故D正确．] 5．(多选)下列结论中不正确的是(　　) A．若y＝cos ，则y′＝－sin B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2 C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x 解析：ACD　[对于A，y＝cos，则y′＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误．] 6．若f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为　________　. 解析：因为f(x)＝，所以f′(x)＝ (ax2－1)′＝.又f′(1)＝2，所以＝2，所以a＝2. 答案：2 7．函数y＝ln 在x＝0处的导数为　________. 解析：y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝. 答案： 8．已知函数f(x)＝ln . (1)求函数y＝f(x)的定义域； (2)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程． 解：(1)由题知＞0，所以(1＋x)(1－x)＞0， 解得－1＜x＜1. 所以函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)． (2)因为f′(x)＝＝，所以f′(0)＝＝2， 又因为f(0)＝ln ＝ln 1＝0， 所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. [能力提升练] 9．已知函数f(x)＝f′(－2)ex－x2，则f′(－2)＝(　　) A. B. C. D. 解析：D　[∵f′(x)＝f′(－2)ex－2x，∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)，解得f′(－2)＝.] 10．随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益．假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)＝，其中P0为初始时该放射性同位素的含量．已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为(　　) A．20天 B．30天 C．45天 D．60天 解析：D　[由P(t)＝，得P′(t)＝－·P0·，因为t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为－，即P′(15)＝－P0＝－，解得P0＝18，则P(t)＝18·，当该放射性同位素含量为4.5贝克时，即P(t)＝4.5，所以18·＝4.5，即＝，所以－＝－2，解得t＝60.故选D.] 11．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来近似计算．设f(x)＝ln(2 024x＋1)，则f′(x)＝________，其在点(0,0)处的切线方程为　________　. 解析：∵f(x)＝ln(2 024x＋1)， ∴f′(x)＝＝， 则f′(0)＝2 024. 故曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2 024x. 答案：　y＝2 024x 12．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′； (2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程． 解：(1)∵f(x)＝eπxsin πx， ∴f′(x)＝πeπxsin πx＋πeπxcos πx ＝πeπx(sin πx＋cos πx)． (2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知 ＝0. 又y′＝，∴0＝＝0. 解得x0＝0，此时y0＝1.即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0. [素养培优练] 13．(多选)已知函数f(x)及其导数f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝cosx C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ 解析：ABCD　[在A中，若f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，则x3＝3x2，这个方程显然有解，故A符合要求；在B中，若f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x即cos x＝－sin x，此方程有解，故B符合要求；在C中，若f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x，由sin x＝cos x，方程存在实数解，故C符合要求； 在D中，若f(x)＝，则f′(x)＝－，由＝－，可得x＝－1，故D符合要求．] 14．在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函数称为多元函数．例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个．我们常常用偏导数来研究多元函数．以下是计算二元函数z＝f(x，y)＝2x2＋y＋3xy2在(1,2)处偏导数的全过程： fx′(x，y)＝4x＋3y2，fy′(x，y)＝1＋6xy，所以fx′(1,2)＝4×1＋3×22＝16，fy′(1,2)＝1＋6×1×2＝13. 由上述过程，二元函数z＝g(x，y)＝ln(x2＋y2)，则gx′(1,2)＋gy′(1,2)＝　________. 解析：根据题意，得到gx′(x，y)＝，gy′(x，y)＝，则gx′(1,2)＝＝，gy′(1,2)＝＝，所以gx′(1,2)＋gy′(1,2)＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$