5.2.2 导数的四则运算法则-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．函数f(x)＝(x＋1)2的导函数为(　　) A．f′(x)＝x＋1　　　　 B．f′(x)＝2x＋1 C．f′(x)＝x＋2 D．f′(x)＝2x＋2 解析：D　[∵f(x)＝(x＋1)2＝x2＋2x＋1，∴f′(x)＝2x＋2，故选D.] 2．某汽车的紧急刹车装置在遇到特殊情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为(　　) A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移 解析：C　[由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．] 3．函数y＝2x(ln x＋1)在x＝1处的切线方程为(　　) A．y＝4x＋2 B．y＝2x－4 C．y＝4x－2 D．y＝2x＋4 解析：C　[由已知y′＝2(ln x＋1)＋2x·＝2 ln x＋4，则y′|x＝1＝4，又x＝1时，y＝2，则切线方程为y＝4x－2.] 4．(多选)下列结论中正确的有(　　) A．若y＝sin ，则y′＝0 B．若f(x)＝3x2－f′(1)x，则f′(1)＝3 C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x ＋sin x 解析：ABC　[选项A中，若y＝sin ＝，则y′＝0，故A正确；选项B中，若f(x)＝3x2－f′(1)·x，则f′(x)＝6x－f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝6－f′(1)，解得f′(1)＝3，故B正确；选项C中，若y＝－＋x，则y′＝－＋1，故C正确；选项D中，若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x－sin x，故D错误．] 5．已知函数f(x)＝ln x－3x＋f′(1)x2，则 f(1)＝(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 解析：D　[因为f(x)＝ln x－3x＋f′(1)x2，则f′(x)＝－3＋2f′(1)x，所以f′(1)＝1－3＋2f′(1)，则f′(1)＝2，所以f(x)＝ln x－3x＋2x2，所以f(1)＝ln 1－3＋2＝－1.] 6．曲线y＝x2＋在点(1,2)处的切线方程为________． 解析：因为y′＝2x－，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－1＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0. 答案：x－y＋1＝0 7．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝2x－ln x，则f′(1)＝______. 解析：因为f(ln x)＝2x－ln x，令t＝ln x，则x＝et，所以f(t)＝2et－t，即f(x)＝2ex－x，所以f′(x)＝2ex－1，因此f′(1)＝2e－1. 答案：2e－1 8．求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝log2x2－log2x; (3)y＝； (4)y＝－2sin . 解：＝. (2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝. 法二：y′＝′＝ ＝ ＝－＝－. (4)∵y＝－2sin ＝ 2sin ＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x. [能力提升练] 9．已知函数f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2 025)＋f(－2 025)＋f′(2 025)－f′(－2 025)的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：C　[f′(x)＝＋3x2，f′(－x)＝＋3(－x)2＝＋3x2，所以f′(x)为偶函数，所以f′(2 025)－f′(－2 025)＝0. 因为f(x)＋f(－x)＝＋x3＋－x3＝＋＝3， 所以f(2 025)＋f(－2 025)＝3， 所以f(2 025)＋f(－2 025)＋f′(2 025)－f′(－2 025)＝3.] 10．(多选)下列函数在点x＝0处有切线的是(　　) A．f(x)＝3x2＋cos x B．g(x)＝x·sin x C．h(x)＝＋2x D．w(x)＝ 解析：ABD　[f′(x)＝6x－sin x，f′(x)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线；g′(x)＝sin x＋xcos x，g′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线；h′(x)＝－＋2，在x＝0处不可导，则在x＝0处没有切线；w′(x)＝，w′(0)＝0，此时切线的斜率为0，故在点x＝0处有切线．] 11．若函数f(x)、g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝　________　. 解析：因为函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1，且f(1)＝1，所以f(1)＋g(1)＝12－1＝0，g(1)＝－1，对f(x)＋xg(x)＝x2－1两边求导，可得f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，所以f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，因此，f′(1)＋g′(1)＝3. 答案：3 12．记f′(x)、g′(x)分别为函数f(x)、g(x)的导函数．把同时满足f(x0)＝g(x0)，f′(x0)＝g′(x0)的x0叫做f(x)与g(x)的“Q点”． (1)求f(x)＝2x与g(x)＝x2－2x＋4的“Q点”； (2)若f(x)＝ax2＋与g(x)＝ln x存在“Q点”，求实数a的值． 解：(1)因为f′(x)＝2，g′(x)＝2x－2，设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q”点． 由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)得解得x0＝2. 所以函数f(x)与g(x)的“Q点”是2. (2)因为f′(x)＝2ax，g′(x)＝， 设x0为函数f(x)与g(x)的一个“Q点”． 由f(x0)＝g(x0)且f′(x0)＝g′(x0)，得 由②得a＝，代入①得ln x0＝1，所以x0＝e. 所以a＝＝. [素养培优练] 13．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x C．f(x)＝－x3＋2x－1 D．f(x)＝xex 解析：ABC　[A中，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＝－sin＜0在区间上恒成立；B中，f′(x)＝－2(x＞0)，f″(x)＝－＜0在区间上恒成立；C中，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x＜0在区间上恒成立；D中，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝2ex＋xex＝ex(x＋2)＞0在区间上恒成立，故D中函数不是凸函数．故ABC为凸函数．] 14．现有一倒放圆锥形容器，该容器深24 m，底面直径为6 m，水以5π m3/s的速度流入，则当水流入时间为1 s时，水面上升的速度为　________　. 解析：设注入水后水面高度为h，水面所在圆的半径为r， ＝，即r＝.因为水的体积为πr2h＝v水流·t＝5π·t，即h＝4，h′(t)＝，所以当t＝1时，h′(1)＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$