课时作业(16) 导数的四则运算法则（Word练习）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

课时作业(十六) [基础达标练] 1．(多选)下列结论正确的是(　　 ) A．若y＝sin，则y′＝0 B．若f(x)＝3x2＋1，则f′(1)＝6 C．若y＝－＋x，则y′＝－＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x 解析：选ABC　D中，∵y＝sin x＋cos x， ∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x． 2．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为(　　) A．　　　　　　　　　B． C． D． 解析：选B　因为f′(x)＝x2－2x， k＝f′(1)＝－1， 所以在x＝1处的切线的倾斜角为． 3．函数y＝的导数是(　　) A． B． C． D． 解析：选A　y′＝′ ＝ ＝＝． 4．曲线y＝在点(1，1)处的切线方程为(　　 ) A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0 C．x＋4y－5＝0 D．x－4y－5＝0 解析：选B　y′＝＝－， 当x＝1时，y′＝－1， 所以切线方程是y－1＝－(x－1)，整理得x＋y－2＝0，故选B． 5．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的切线方程是________． 解析：利用求导法则与求导公式可得y′＝(3ln x＋1)＋x·＝3ln x＋4． 所以k切＝y′|x＝1＝4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0． 答案：4x－y－3＝0 6．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则a＝________． 解析：∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1． 又f(1)＝a＋2， ∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2，7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1． 答案：1 7．求下列函数的导数： (1)y＝3x2＋xsin x； (2)y＝(x2＋3)(ex＋ln x)； (3)y＝． 解：(1)y′＝(3x2)′＋(xsin x)′ ＝6x＋sin x＋x(sin x)′ ＝6x＋sin x＋xcos x． (2)y′＝(x2＋3)′(ex＋ln x)＋(x2＋3)(ex＋ln x)′ ＝2x(ex＋ln x)＋(x2＋3) ＝ex(x2＋2x＋3)＋2xln x＋x＋． (3)y′＝′ ＝ ＝． 8．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，且在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值． 解：由抛物线f(x)＝ax2＋bx－7经过点(1，1)，得1＝a＋b－7，即a＋b－8＝0． 因为f′(x)＝2ax＋b，且抛物线在点(1，1)处的切线方程为4x－y－3＝0，所以f′(1)＝4，即2a＋b－4＝0． 由解得 [能力提升练] 9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2exf′(1)＋3ln x，则f′(1)＝(　　 ) A．－3 B．2e C． D． 解析：选D　因为f′(1)为常数， 所以f′(x)＝2exf′(1)＋，所以f′(1)＝2ef′(1)＋3， 所以f′(1)＝． 10．曲线f(x)＝x＋x3在点处的切线和坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A．3　　 B．2　　　 C．　　　 D． 解析：选D　由题意知，f′(x)＝1＋x2，故切线的斜率k＝f′(1)＝2，又切线过点， ∴切线方程为y－＝2(x－1)，即y＝2x－，切线和x轴、y轴交点为，．故所求三角形的面积为××＝． 11．若f(x)＝x2＋2f′x，则f′＝________． 解析：∵f(x)＝x2＋2f′x， ∴f′(x)＝2x＋2f′， ∴f′＝2×＋2f′， ∴f′＝－2×， 即f′＝． 答案： 12．已知曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________． 解析：因为y＝x＋ln x，所以y′＝1＋，y′|x＝1＝2． 所以曲线y＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1． 因为 y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切， 所以a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)． 由 消去y，得ax2＋ax＋2＝0． 由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8． 答案：8 13．已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)． (1)求f(1)＋f′(1)； (2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)， 由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋， 所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1． (2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点， 即f′(x)＝0⇒2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)． [素养拓展练] 14．已知函数f(x)＝，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象相切于P点，求直线l的斜率k的取值范围． 解：(1)f′(x)＝＝． 因为f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切． 所以即 所以a＝4，b＝1，所以f(x)＝． (2)因为f′(x)＝，所以直线l的斜率 k＝f′(x0)＝ ＝4， 令t＝，t∈(0，1]， 则k＝4(2t2－t)＝8－， 所以k∈． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$