4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．为了参加学校的长跑比赛，某中学高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划．已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离．若小李同学前三天共跑了3 600米，最后三天共跑了10 800米，则这15天小李同学总共跑的路程为(　　) A．34 000米　　　　　　 B．36 000米 C．38 000米 D．40 000米 解析：B　[根据题意，小李同学每天跑步距离为等差数列，设为an，则a1＋a2＋a3＝3a2＝3 600，故a2＝1 200，a13＋a14＋a15＝3a14＝10 800，故a14＝3 600，则Sn＝(a1＋a15)×15＝(a2＋a14)×15＝36 000.故选B.] 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9＞a5，则Sn取得最小值时n的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：B　[由7a5＋5a9＝0，得＝－.又a9＞a5，所以d＞0，a1＜0.因为函数y＝x2＋x的图象的对称轴为x＝－＝＋＝，取最接近的整数6，故Sn取得最小值时n的值为6.] 3．某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1 200元．他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元．这次募捐活动一共进行的天数为(　　) A．15天 B．16天 C．17天 D．18天 解析：A　[设他们每天收到的捐款形成数列{an}，则由题可得{an}是首项为10，公差为10的等差数列，∴Sn＝10n＋×10＝1 200，解得n＝－16(舍去)或n＝15，所以这次募捐活动一共进行的天数为15天．故选A.] 4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4，S8＝10，则S12＝(　　) A．16 B．18 C．24 D．26 解析：B　[因为{an}是等差数列，所以S4，S8－S4，S12－S8也是等差数列， 即2(S8－S4)＝S12－S8＋S4，即2×(10－4)＝S12－10＋4，解得S12＝18.] 5．已知数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，则数列{an}(　　) A．有最大项，没有最小项 B．有最小项，没有最大项 C．既有最大项又有最小项 D．既没有最大项也没有最小项 解析：C　[∵数列{an}的通项公式为an＝n－1－n－1，令t＝n－1，t∈(0,1]，t是减函数， 则an＝t2－t＝2－， 由复合函数单调性知an先递减后递增． 故有最大项和最小项．] 6．等差数列{an}中，已知a5＞0，a4＋a7＜0，则{an}的前n项和Sn的最大值为　________. 解析：∵∴ ∴Sn的最大值为S5. 答案：S5 7．(多空题)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要维修费12万元，从第二年起维修费比上一年增加4万元，则第5年的维修费是________万元，前10年维修费总和为　________　万元． 解析：由题意，从第二年起维修费比上一年增加4万元，即每年的维修费成等差数列．设从第二年起，每年的维修费构成的等差数列为{an}，则an＝12＋4(n－1)＝4n＋8，所以a5＝4×5＋8＝28(万元)，S10＝10×12＋×10×9×4＝300(万元)． 答案：28　300 8．某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 解：设最下面一层放n根，则最多可堆n层，共堆放根数1＋2＋3＋…＋n＝≥600， 整理得n2＋n－1 200≥0，令f(n)＝n2＋n－1 200， 当n∈N＋时，f(n)单调递增，而f(35)＝60＞0，f(34)＝－10＜0， 因为n≥35，即最下面一层最少放35根，而1＋2＋3＋…＋35＝630， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)， 再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层． 所以最下面一层放35根，共堆了28层． [能力提升练] 9．(多选)等差数列{an}的前n项和Sn，且Sn＝，Sm＝(m，n∈N*，m≠n)，则下列各值中可以为Sm＋n的值的是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：CD　[因为等差数列{an}的前n项和Sn，所以可设Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)，因为Sn＝，Sm＝(m，n∈N*，m≠n)， 所以即 解得 所以Sm＋n＝A(m＋n)2＝＝＋2≥＋2＝4，当且仅当m＝n时等号成立，又m≠n，所以等号不能取得，因此Sm＋n＞4，故CD正确，AB错．故选CD.] 10．(多选)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝3，an＋3＋(－1)nan＋1＝1(n∈N*)，数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an}为等差数列 B．a18＝10 C．a17＝12 D．S31＝146 解析：BD　[依题意得，当n是奇数时，an＋3－an＋1＝1，即数列{an}中的偶数项构成以a2＝2为首项，1为公差的等差数列，所以a18＝2＋(9－1)×1＝10；当n是偶数时，an＋3＋an＋1＝1，所以an＋5＋an＋3＝1，两式相减，得an＋5＝an＋1，即数列{an}中的奇数项从a3开始，每隔一项的两项相等，即数列{an}的奇数项呈周期变化，所以a17＝a4×3＋5＝a5，在an＋3＋an＋1＝1中，令n＝2，得a5＋a3＝1，因为a3＝3，所以a5＝a17＝－2，对于数列{an}的前31项，奇数项满足a3＋a5＝1，a7＋a9＝1，…，a27＋a29＝1，a31＝a4×7＋3＝a3＝3.又偶数项构成以a2＝2为首项，1为公差的等差数列，所以S31＝1＋7×1＋3＋15×2＋＝146.] 11．已知数列{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝1，Sn表示数列{an}的前n项和，若当且仅当n＝20时，Sn取到最大值，则a2＋a4＋a6的取值范围是________． 解析：由a1＋a3＋a5＝1，得3a3＝1，即a3＝，a2＋a4＋a6＝3a4＝3a3＋3d，当且仅当n＝20时，Sn取到最大值，则 则即 得到d∈. a2＋a4＋a6＝3a4＝3a3＋3d＝1＋3d， 由d∈，可得＜1＋3d＜， 故所求取值范围为. 答案： 12．在等差数列{an}中，a10＝23，a25＝－22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解：(1)由得 ∴an＝a1＋(n－1)d＝－3n＋53. 令an＞0，得n＜，∴当n≤17，n∈N*时，an＞0；当n≥18，n∈N*时，an＜0，∴{an}的前17项和最大． (2)当n≤17，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝na1＋d ＝－n2＋n. 当n≥18，n∈N*时，|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－a18－a19－…－an ＝2(a1＋a2＋…＋a17)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2－ ＝×n2－n＋884. ∴Sn＝ [素养培优练] 13．当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源、交通、信息通信等领域有关技术加速融合，电动化、网联化、智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势．某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元．假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加20%(假设每年生产的新能源汽车都能销售出去)，每辆车的利润都比前一年增加2 000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为参考数据：1.27≈3.58，结果精确到0.1)(　　) A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元 解析：B　[设第n年每辆车的利润为an万元，则每辆车的利润{an}是以2为首项，0.2为公差的等差数列， 所以an＝0.2n＋1.8，设第n年新能源汽车的销量为bn辆， 则该汽车的销量{bn}是以100 000为首项，1.2为公比的等比数列，所以bn＝100 000×1.2n－1， 设该车企销售新能源汽车的总利润为S， ∴S＝100 000×1.2n－1×(0.2n＋1.8)， ∴S＝100 000×(2＋2.2×1.2＋2.4×1.22＋2.6×1.23＋2.8×1.24＋3×1.25＋3.2×1.26)①， 1．2S＝100 000×(2×1.2＋2.2×1.22＋2.4×1.23＋2.6×1.24＋2.8×1.25＋3×1.26＋3.2×1.27)，② ①－②得：－0.2S＝100 000×[2＋0.2×(1.2＋1.22＋1.23＋1.24＋1.25＋1.26)－3.2×1.27] ＝100 000× ＝100 000×(0.8－2.2×1.27)， 所以S＝500 000×(2.2×1.27－0.8)≈3 538 000万元，即S≈353.8亿元．] 14．2024年两会报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”，所谓新质生产力，是创新起主导作用、以科技创新作为核心要素的先进生产力质态．今年全国两会，“新质生产力”已经成为C位热词．某创新公司落实两会精神，准备年初用980万元购买新设备用来创新，第一年使用的各种创新费用120万元，以后每年还要持续增加创新费用40万元，公司每年经过创新后的收益为500万元． (1)问创新公司第几年开始获利？ (2)经过多少年创新公司获得的年平均利润最大？最大年平均利润是多少？ 解：(1)依题意，每年的创新费用构成以120万元为首项，40万元为公差的等差数列， 前n年的利润f(n)＝500n－－980＝－20n2＋400n－980， 由f(n)＞0，得n2－20n＋49＜0，解得10－＜n＜10＋，而n∈N*，则2＜n＜18， 所以创新公司第3年开始获利． (2)由(1)知，经过n年创新公司获得的年平均利润为：＝400－20≤400－20×2＝120，当且仅当n＝，即n＝7时取等号， 所以经过7年创新公司获得的年平均利润最大，最大年平均利润是120万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$