4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则S10＝(　　) A．100　　　　　　　　 B．210 C．380 D．400 解析：B　[∵d＝＝＝4，又a1＋d＝7，∴a1＝3.∴S10＝10a1＋d＝10×3＋45×4＝210.] 2．在等差数列{an}中，a＋a＋2a3a8＝9，且an＜0，则S10＝(　　) A．－9 B．－11 C．－13 D．－15 解析：D　[由a＋a＋2a3a8＝9，得(a3＋a8)2＝9，∵an＜0，∴a3＋a8＝－3，∴S10＝＝＝＝－15.] 3．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：B　[甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能，丙不在排头，且甲或乙在排尾的共有8种可能，P＝＝.] 4.＋＋＋＋…＋＝(　　) A. B. C. D. 解析：C　[通项an＝＝， ∴原式＝ ＋＝ ＝.] 5．(多选)已知递减的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7＝S11，则(　　) A．a10＞0 B．当n＝9时，Sn最大 C．S17＞0 D．S19＞0 解析：BC　[数列{an}是等差数列，由S7＝S11，得S11－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＝2(a9＋a10)＝0，a9＋a10＝0，又因为数列{an}是递减数列，所以a9＞0，a10＜0，故A错误、B正确．S17＝＝17a9＞0，故C正确；S19＝＝19a10＜0，故D错误．故选BC.] 6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝________. 解析：由等差数列的前n项和公式可得＝＝＝×＝×＝1. 答案：1 7．(2024·新课标Ⅱ卷)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则S10＝________. 解析：设an＝a1＋(n－1)d，则由条件得2a1＋5d＝7,4a1＋7d＝5，解得a1＝－4，d＝3， 则S10＝5(2a1＋9d)＝95. 答案：95 8．在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8； (2)已知a2＋a4＝，求S5. 解：(1)方法一　∵a6＝10，S5＝5， ∴解得 ∴a8＝a6＋2d＝16. 方法二　∵S6＝S5＋a6＝15，∴15＝， 即3(a1＋10)＝15.∴a1＝－5，d＝＝3. ∴a8＝a6＋2d＝16. (2)方法一　∵a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝， ∴a1＋2d＝.∴S5＝5a1＋10d＝5(a1＋2d) ＝5×＝24. 方法二　∵a2＋a4＝a1＋a5，∴a1＋a5＝， ∴S5＝＝×＝24. [能力提升练] 9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　) A．3　　　 B．4 C．5　　　　 D．6 解析：C　[∵{an}是等差数列，∴Sm＝＝0⇒a1＝－am＝－(Sm－Sm－1)＝－2. 又am＋1＝Sm＋1－Sm＝3， ∴d＝am＋1－am＝1,3＝am＋1＝a1＋m＝－2＋m⇒m＝5，故选C.] 10．(多选)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，且2a1＋2a3＝S5，下列结论中正确的是(　　) A．S7最小 B．S13＝0 C．S4＝S9 D．a7＝0 解析：BCD　[设等差数列{an}的公差为d.由2a1＋2a3＝S5，有2a1＋2(a1＋2d)＝5a1＋d，即a1＋6d＝0，所以a7＝0，则选项D正确．选项A，S7＝7a1＋d＝7(a1＋3d)＝－21d，无法判断其是否有最小值，故A错误．选项B，S13＝×13＝13a7＝0，故B正确．选项C，S9－S4＝a9＋a8＋a7＋a6＋a5＝5a7＝0，所以S4＝S9，故C正确．故选BCD.] 11．(多空题)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________． 解析：设等差数列{an}的项数为2n＋1，S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1＝＝(n＋1)·an＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝＝nan＋1，所以＝＝，解得n＝3，所以项数2n＋1＝7，S奇－S偶＝an＋1，即a4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：11　7 12．在等差数列{an}中，前n项和为Sn，已知a1＝20，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值． 解：第一步　利用已知求出公差d. ∵a1＝20，S10＝S15， ∴10×20＋d＝15×20＋d， ∴d＝－. 第二步　写出数列的通项公式，找到正、负分界等于零的项． 由an＝20＋(n－1)×＝－n＋，得a13＝0. 即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0. ∴当n＝12或n＝13时，Sn取得最大值． 第三步　找到n后，代入等差数列的前n项和公式即可求出最大值． ∴Sn的最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130. [素养培优练] 13．(多选)已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若S6＝S12，则下列结论中正确的有(　　) A．a1∶d＝－17∶2 B．S18＝0 C．当d＞0时，a6＋a14＞0 D．当d＜0时，|a6|＞|a14| 解析：ABC　[因为{an}是等差数列，前n项和为Sn，由S6＝S12，得S12－S6＝a7＋a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝0，即3(a9＋a10)＝0，即a9＋a10＝0.对于选项A，由a9＋a10＝0，得2a1＋17d＝0，可得a1∶d＝－17∶2，故选项A正确；对于选项B，S18＝＝＝0，故选项B正确；对于选项C，a6＋a14＝a9＋a11＝a9＋a10＋d＝d，若d＞0，则a6＋a14＝d＞0，故选项C正确；对于选项D，当d＜0时，a6＋a14＝d＜0，则a6＜－a14，因为d＜0，所以a6＞0，a14＜0，所以|a6|＜|a14|，故选项D不正确．故选ABC.] 14．设首项为a1，公差为d的递增等差数列{an}的前n项和为Sn，其中a1，d为实数，若S3·S4＋12＝0，则d的取值范围是________． 解析：因为S3＝3a1＋×d＝3a1＋3d，S4＝4a1＋d＝4a1＋6d，所以S3·S4＋12＝(3a1＋3d)(4a1＋6d)＋12＝0，所以2a＋5a1d＋3d2＋2＝0.因为关于a1的方程有实数根，所以Δ＝25d2－4×2×(3d2＋2)≥0，即d2≥16，解得d≤－4或d≥4，又数列{an}为递增数列，则d≥4， ∴d的取值范围是[4，＋∞)． 答案：[4，＋∞) 学科网（北京）股份有限公司 $$