精品解析：湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年八年级下学期期末 数学试题 注意事项： 1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷； 2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息﹔ 3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答； 4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件判断作答即可． 【详解】解：由题意知，当时，不是二次根式，故A不符合要求； 是二次根式，故B符合要求； 不是二次根式，故C不符合要求； 不是二次根式，故D不符合要求； 故选：B． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简求得结果即可判断． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、实数范围内被开方数不能为负数，， 本选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，在中，对角线，相交于点，下列结论正确的是（　　） A. B. C. 与的周长相等 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ，故D正确，符合题意； ∵与不一定相等，故B错误，不符合题意； ∵与不一定相等，故 与的周长不一定相等，故C错误，不符合题意， ∴和不一定全等，故A错误，不符合题意； 故选：D． 4. 如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质等知识，由平行四边形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 5. 我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与几何图形，解题的关键是数形结合．分别根据图1、图2求出几何图形的面积，即可求解． 【详解】解：根据图1可得该几何图形的面积为：， 根据图2可得该几何图形的面积为：， ， 故选：B． 6. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如下图，根据作图可得AE与BF相互垂直平分，在Rt△ABO中，利用勾股定理可求得AO的长，从而得出AE的长． 【详解】如下图，AE与BF交于点O，连接EF 由作图可知，AE与BF相互垂直平分 ∵BF=6，∴BO=3 ∵AB=5 ∴在Rt△ABO中，AO=4 ∴AE=8 故选：C． 【点睛】本题考查垂直平分线的画法和勾股定理，解题关键是根据作图，判断出AE与BF相互垂直平分． 7. 某兴趣小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据，如表格所示，则下列说法正确的是（ ） 温度/ 声速/ A. 在这个变化中，自变量是声速，因变量是温度 B. 在一定范围内，温度越低，声速越快 C. 当空气温度为时，声音可以传播 D. 温度每升高，声速增加 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的表示方法、常量与变量．根据自变量与因变量的定义可判断A；根据变量的变化规律可判断BD；根据空气温度为时的声速，利用“路程=速度时间”计算判断C． 【详解】解：在这个变化中，声带随空气温度的变化而变化， ∴自变量是温度，因变量是声速， ∴A不正确，不符合题意； 由表格可知，在一定范围内，温度越低，声速越慢， ∴B不正确，不符合题意； 当空气温度为时，此时声速为，声音可以传播的距离为， ∴C不正确，不符合题意； 由表格可知，温度每升高，声速增加， ∴D正确，符合题意． 故选：D． 8. 为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下： 天数 人数 则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 4和5 B. 4和4 C. 14和5 D. 14和4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义．根据众数和中位数的定义即可求解. 【详解】解：根据表格可知：天数为天的人数最多，故众数为 共有个数据， 将天数从小到大排列，处于中间的两个数为：4和，故中位数为 故选：B． 9. 如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系．由图象即可知不等式的解集． 【详解】解：由图象可知：当时，直线的图象在直线的上方， ∴关于x的不等式的解集为， 故选：D． 10. 矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】连接，交于点，根据翻折的性质知，，，垂直平分，说明，利用等积法求出的长，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：连接，交于点， 在矩形中，，， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵点为的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理等知识，利用等积法求出的长是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】由，n是正整数，是整数，结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：∵，n是正整数，是整数， ∴n的最小值是2； 故答案为：2 【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，理解算术平方根的概念是解本题的关键． 12. 菱形的对角线，菱形的面积为12，则另一条对角线的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了根据对角线长计算菱形的面积的方法，本题中正确计算是解题的关键．菱形的面积可以根据对角线的长计算，已知菱形的面积，对角线的长即可计算的长 【详解】解：∵菱形的面积为，且 ∴， 故答案为：4． 13. CBA球员的能力值从得分、盖帽、抢断、助攻、篮板等五方面按确定，根据球员在2023-2024赛季中这五个方面的数据，浙江广厦球员胡金秋赋分后的情况如图所示，他的能力值为________分． 【答案】61 【解析】 【分析】本题考查加权平均数数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．将5个得分数据乘权重，再相加即可． 【详解】解：， （分． 他的能力值为61分． 故答案为：61． 14. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，，则四边形的周长为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及判定，熟练掌握三角形中位线的性质及判定是解题的关键，根据三角形的中位线及性质求解即可． 【详解】解：∵、、、分别是、、、的中点， ∴、、、分别是、、、的中位线， ∴，， ，， ∴四边形的周长； 故答案为：12． 15. 如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是______cm． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度． 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为； 故答案为：5． 16. 正方形，正方形，正方形，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中．若点，，，…和，，，…，分别在直线和x轴上，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质；根据直线解析式先求出，再求出第一个正方形的边长为2，第三个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长，从而求得点的坐标，即可求得点的坐标． 【详解】解：直线，当时，，当时，， ， ， ，， ， ， ， ， 同理得：，， ； ，即， ， 点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算二次根式的除法、化简绝对值、计算乘方、最后合并同类项即可． 【详解】解： 18. 已知，一次函数的图像经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）画出这个一次函数的图像； 【答案】（1） （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、画一次函数图像熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）确定A，B两点的位置，过两点作直线即可； 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得：， ∴该一次函数的解析式是． 【小问2详解】 画出函数图像，如下图所示： 19. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作，，求证：四边形是菱形． 【答案】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形及菱形的判定；先判定四边形是平行四边形，再利用平分与平行可得，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 20. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？请说明理由． 【答案】（1）四边形的面积为，四边形的周长为 （2）是直角，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键： （1）勾股定理求出各边长，求出周长即可，分割法求出面积即可； （2）连接，勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：由图可知：四边形的面积； 由勾股定理，得：， ， ∴四边形的周长为：； 【小问2详解】 是直角，理由如下： 连接，由勾股定理，得：， 由（1）知：，， ∴； ∴是直角． 21. 如图，四边形中，对角线、相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的面积为． 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等： （1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，结合可证四边形是矩形； （2）由矩形的性质可得，结合可证是等边三角形，推出，再利用勾股定理解，再根据矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ． ∵ ∴， 是等边三角形， ， ， 在中，． ∴四边形的面积为． 22. 在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的名运动员的成绩（单位：），绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为　　，图①中的值为　　； （2）求统计的这组运动员初赛成绩数据的平均数、众数和中位数； （3）根据这组初赛成绩，由高到低确定人进入复赛，请直接写出初赛成绩为的运动员能否进入复赛． 【答案】（1）； （2）平均数是，众数是m，中位数是m （3）能 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图，众数、平均数和中位数， （1）根据条形统计图可求出的值，根据成绩为的人数和总人数即可求出的值； （2）根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可； （3）根据中位数的意义可直接判断出能否进入复赛； 根据扇形图和条形图得出解题所需数据及众数、平均数和中位数的定义是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据条形统计图：（名）， ∵， ∴， 故答案为：；； 【小问2详解】 观察条形统计图得： 平均数为：， ∵在这组数据中，出现了次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是， ∵这组数据共有个，将这组数据从小到大排列，其中第、个数分别是，， ∴这组数据的中位数是， ∴这组运动员初赛成绩数据的平均数是，众数是m，中位数是m； 【小问3详解】 能． 理由：∵这组数据共有个，中位数是，是第、个数的平均数， ∴根据中位数可以判断出能否进入前十名， ∵， ∴初赛成绩为的运动员能进入复赛． 23. 阅读材料并解决问题： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： （1）指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； （2）通过化简，比较和的大小关系； （3）已知．试求的值． 【答案】（1）， （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的化简求值、平方差公式，明确分母有理化是解题的关键． （1）阅读材料可直接得出的有理化因式，然后将化简为分母中不含根式的式子即可． （2）先把分母有理化，然后比较大小即可； （3）将已知等式分子分母都乘以a，然后计算二次根式的混合运算即可得出答案． 【小问1详解】 解：的有理化因式为：， 【小问2详解】 由（1）知：， ， ∵， ∴ 【小问3详解】 ∵， ∴ ， ∴， ∴ 24. 某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案 分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求： ①要保证210名师生都有车坐； ②要使每辆汽车上至少要有1名教师． 根据①可知，汽车总数不能小于______；根据②可知，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为______． （2）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，即 ． 将（1）中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得 _________． 为使240名师生有车坐，x不能小于________；为使租车费用不超过2300元，x不能超过________．综合起来可知x的取值为________． 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由． 【答案】（1）6；6；6；（2）；4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少． 【解析】 【分析】（1）由师生总数为240人，根据“所需租车数＝人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论； （2）设租乙种客车x辆，则甲种客车（6−x）辆，根据师生总数为240人以及租车总费用不超过2300元，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用＝租A种客车所需费用＋租B种客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的值即可解决最值问题． 【详解】解：（1）∵（234＋6）÷45＝5（辆）…15（人）， ∴保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6； ∵只有6名教师， ∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6； 故填： 6，6，6． （2）设租用x辆甲种客车，租乙种客车辆，则租车费用y是x的函数， 即， 由题意得：， 解得：4≤x≤， ∵x为整数， ∴x＝4，或x＝5， ∵租车的总费用为，且120＞0， ∴当x＝4时，y取最小值，最小值为2160元， 故填：4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系确定租车数；（2）找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（不等式或不等式组）是关键． 25. 如图，边长为6的正方形的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D是边上的点（不与点A重合），，且与正方形外角平分线交于点E． （1）当点D坐标为时，求证 （2）若点D坐标为，结论是否成立，请说明理由； （3）在y轴上是否存在点M，使得四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）成立，理由见解析 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）在上截取，证明即可； （2）同法（1），即可得出结论； （3）过点作，连接，证明，得到，进而得到，推出四边形为平行四边形，根据在中，，得到，得到四边形不是菱形即可． 【小问1详解】 证明：正方形， ∴ ∵为正方形外角平分线， ∴， ∴， 在上截取， 则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴； 【小问2详解】 成立，理由如下： ∵正方形， ∴ ∵为正方形外角平分线， ∴， ∴， 在上截取， 则：为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴； 【小问3详解】 不存在，理由如下： 过点作，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴四边形为平行四边形， 在中，， ∴， ∴四边形不是菱形， 故不存在点使四边形是菱形． 【点睛】本题考查坐标与图形，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市浏阳市2023-2024学年八年级下学期期末 数学试题 注意事项： 1．本试卷共25道题（其中选择题10道，主观题15道），考试时间120分钟，总分120分，考试形式为闭卷； 2．答题前，请考生在答题卡上将自己的班级、姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上信息﹔ 3．选择题请用2B铅笔填涂，非选择题用签字笔在答题卡对应题号位置作答； 4．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁． 一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，对角线，相交于点，下列结论正确的是（　　） A. B. C. 与的周长相等 D. 4. 如图，已知平行四边形中A、C、D三点的坐标，则点B的坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，可以用下列式子来表示的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点作射线交于点若则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某兴趣小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据，如表格所示，则下列说法正确的是（ ） 温度/ 声速/ A. 在这个变化中，自变量是声速，因变量是温度 B. 在一定范围内，温度越低，声速越快 C. 当空气温度为时，声音可以传播 D. 温度每升高，声速增加 8. 为贯彻教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的实施意见》文件精神，某学校积极开设日常生活劳动教育课．某班在调查中发现，全班同学每周做家务情况如下： 天数 人数 则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 4和5 B. 4和4 C. 14和5 D. 14和4 9. 如图，直线经过点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是______． 12. 菱形的对角线，菱形的面积为12，则另一条对角线的长为______． 13. CBA球员的能力值从得分、盖帽、抢断、助攻、篮板等五方面按确定，根据球员在2023-2024赛季中这五个方面的数据，浙江广厦球员胡金秋赋分后的情况如图所示，他的能力值为________分． 14. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，，则四边形的周长为______． 15. 如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是______cm． 16. 正方形，正方形，正方形，…，按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中．若点，，，…和，，，…，分别在直线和x轴上，则点的坐标是______． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 18. 已知，一次函数的图像经过点和． （1）求这个一次函数的解析式； （2）画出这个一次函数的图像； 19. 已知：如图，是的角平分线，过点D分别作，，求证：四边形是菱形． 20. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积与周长； （2）是直角吗？请说明理由． 21. 如图，四边形中，对角线、相交于点O，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求四边形的面积． 22. 在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的名运动员的成绩（单位：），绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为　　，图①中的值为　　； （2）求统计的这组运动员初赛成绩数据的平均数、众数和中位数； （3）根据这组初赛成绩，由高到低确定人进入复赛，请直接写出初赛成绩为的运动员能否进入复赛． 23. 阅读材料并解决问题： ，像和这样两个含有根式的代数式，它们的积不含根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 请运用上面的知识解决下列问题： （1）指出的有理化因式，并将化简为分母中不含根式的式子； （2）通过化简，比较和的大小关系； （3）已知．试求的值． 24. 某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案 分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求： ①要保证210名师生都有车坐； ②要使每辆汽车上至少要有1名教师． 根据①可知，汽车总数不能小于______；根据②可知，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为______． （2）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，即 ． 将（1）中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得 _________． 为使240名师生有车坐，x不能小于________；为使租车费用不超过2300元，x不能超过________．综合起来可知x的取值为________． 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由． 25. 如图，边长为6的正方形的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D是边上的点（不与点A重合），，且与正方形外角平分线交于点E． （1）当点D坐标为时，求证 （2）若点D坐标为，结论是否成立，请说明理由； （3）在y轴上是否存在点M，使得四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $