4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

第2课时　等差数列前n项和的应用 课程标准 素养解读 1.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2．会求等差数列前n项和的最值. 1.在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养． 2．在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和数学运算的核心素养. 　　　等差数列前n项和的应用问题 [例1]　某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ [解]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－.25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500， 而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500＞480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n. [变式训练] 1．某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？ 解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn.根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800. 由S20＝20a1＋20××2＝800， 可得a1＝21， 因此，第1排应安排21个座位． 　 　　等差数列前n项和的最值问题 [例2]　在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． [解]　(1)由题意得解得 ∴an＝3n－12. (2)方法一　Sn＝＝(3n2－21n) ＝2－， ∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18. 方法二　设Sn最小， 则即 解得3≤n≤4，又n∈N*，所以当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18. [母题变式] 1．将本例中的条件“S5＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值． 解：S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125， 故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1＜0， 故Sn有最大值，an＝a3＋(n－3)d＝28－n. 设Sn最大，则解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378. 2．在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n. 解：方法一　因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x＝，所以当x＝0或x＝7时，图象与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N*，所以S7＝0，所以n＝7. 方法二　因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7. 3．将本例变为：等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大． 解：方法一　要求数列前多少项的和最大，从函数的观点来看，即求二次函数Sn＝an2＋bn的最大值，故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时，Sn最大． 由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1， 又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大． 方法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大． 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 1．利用an： (1)若a1＜0，d＞0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1＞0，d＜0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 2．利用Sn：由Sn＝n2＋n(d≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n的值． 3．利用二次函数的图象的对称性． [变式训练] 2．在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求其前n项和Sn的最大值． 解：法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2. ∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169. ∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法二：同法一，求出公差d＝－2. ∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. ∵a1＝25＞0， 由得 又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. ∵a1＞0，∴d＜0.∴a13＞0，a14＜0.∴当n＝13时，Sn有最大值169. 法四：设Sn＝An2＋Bn.∵S9＝S17， ∴二次函数图象的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下， ∴当n＝13时，Sn取得最大值169. 　 　　数列{|an|}的前n项和 [例3]　数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2， (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Sn′. [思路点拨]　(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项． (2)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解． [解]　(1)法一：(公式法)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32＝34－2×1满足an＝34－2n. 故{an}的通项公式为an＝34－2n. 法二：(结构特征法)由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以{an}是等差数列， 由Sn的结构特征知解得 所以an＝34－2n. (2)由(2)知，当n≤17时，an≥0；当n≥18时，an＜0. 所以当n≤17时， Sn′＝b1＋b2＋…＋bn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当n≥18时， Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544. 故Sn′＝ 求解数列{|an|}的前n项和，应先判断{an}的各项的正负，然后去掉绝对值号，转化为等差数列的求和问题． [变式训练] 3．数列{an}的前n项和Sn＝－＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解：a1＝S1＝－×12＋×1＝101. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝－ ＝－3n＋104. ∵n＝1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104(n∈N*)． 由an＝－3n＋104≥0，得n≤34.7. 即当n≤34时，an＞0；当n≥35时，an＜0. (1)当n≤34时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋n； (2)当n≥35时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn ＝2－ ＝n2－n＋3 502. 故Tn＝ [当堂达标] 1．(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6＞S7＞S5，则下列四个命题正确的是(　　) A．d＜0 B．S11＞0 C．S12＜0 D．数列{Sn}中的最大项为S11 解析：AB　[∵S6＞S7，∴a7＜0，∵S7＞S5，∴a6＋a7＞0，∴a6＞0，∴d＜0，A正确．又S11＝(a1＋a11)＝11a6＞0，B正确．S12＝(a1＋a12)＝6(a6＋a7)＞0，C不正确．{Sn}中最大项为S6，D不正确．故正确的是AB.] 2．已知等差数列{an}中，|a5|＝|a9|，公差d＞0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是________． 解析：由|a5|＝|a9|且d＞0得a5＜0，a9＞0，且a5＋a9＝0⇒2a1＋12d＝0⇒a1＋6d＝0，即a7＝0，故S6＝S7且最小． 答案：6或7 3．2024年6月2日，“嫦娥六号”成功落月，据科学计算，运载“嫦娥”飞船的长征五号遥八运载火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________ min. 解析：由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列，∴n min内通过的路程为Sn＝2n＋×2＝n2＋n＝n(n＋1)，即n(n＋1)＝240，解得n＝15. 答案：15 4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7，得d＝2. 所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝＝n2－8n＝(n－4)2－16，所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16. 学科网（北京）股份有限公司 $$