4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

4．2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 课程标准 素养解读 1.探索并掌握等差数列前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 1.经过等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养． 2．通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养. [情境引入] 高斯(Gauss,1777－1855)，德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献． 200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 1＋2＋3＋…＋100＝？　　你准备怎么算呢？ 提示：高斯的算法：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050. [知识梳理] [知识点]　等差数列的前n项和公式　 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ 　Sn＝na1＋d　 1.等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？ [提示]　S3＝＝3a2＝21. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N*.(　　) (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8＝(　　) A．72　　　　　　 B．54 C．36 D．18 解析：A　[由a4＝18－a5，得a4＋a5＝18，所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72.] 3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________. 解析：S19＝＝＝190. 答案：190 4．已知等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sn＝－15，求n及a12. 解：∵Sn＝n·＋·＝－15， 整理得n2－7n－60＝0， 解得n＝12或n＝－5(舍去)． a12＝＋(12－1)×＝－4. 　　　等差数列前n项和的有关计算 [例1]　在等差数列{an}中， (1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d. [解]　(1)由题意，得Sn＝＝＝－5，解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.∴n＝15，d＝－. (2)由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5. a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用． [变式训练] 1．在等差数列{an}中， (1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17. 解：(1)由得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. (2)S17＝＝＝＝340. 　　　等差数列前n项和有关的性质问题 [例2]　(1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　) A．130　　　　　　 B．170 C．210 D．260 [解析]　利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)，即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210. [答案]　C (2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于　________. [解析]　因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即132－120＝，解得n＝10. [答案]　10 (3)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，已知＝，则＝________. [解析]　＝＝＝＝. [答案]　 [母题变式] 将本例(3)条件变为：an∶bn＝(2n＋1)∶(3n－2)，则＝________. [解析]　∵{an}，{bn}均为等差数列，∴＝＝＝. [答案]　 1．等差数列前n项和的有关性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. 2．等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可，或利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列进行求解． [变式训练] 2．(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a11＋a12＋a13＋a14＝(　　) A．18　　 B．17 C．16　　　 D．15 解析：A　[设{an}的公差为d，则a5＋a6＋a7＋a8＝S8－S4＝12，(a5＋a6＋a7＋a8)－S4＝16d，解得d＝，a11＋a12＋a13＋a14＝a1＋10d＋a2＋10d＋a3＋10d＋a4＋10d＝S4＋40d＝18.] (2)等差数列{an}的通项公式是an＝2n＋1，其前n项和为Sn，则数列的前10项和为________． 解析：因为an＝2n＋1，所以a1＝3，所以Sn＝＝n2＋2n，所以＝n＋2，所以是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋×1＝75. 答案：75 　　　裂项相消法求和 [例3]　等差数列{an}中，a1＝3，公差d＝2，Sn为前n项和，求＋＋…＋. [思路点拨]　根据{an}为等差数列求出其前n项和，根据的通项特征，利用裂项相消法求和． [解]　∵等差数列{an}的首项a1＝3，公差d＝2， ∴前n项和Sn＝na1＋d＝3n＋×2＝n2＋2n(n∈N*)，∴＝＝＝， ∴＋＋…＋ ＝ ＝ ＝－. 裂项相消法求数列的前n项和的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项(裂项)之差，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消，进而求数列的前n项和． [变式训练] 3．已知数列{an}的通项公式为an＝，求数列{an}的前n项和Sn. 解：an＝＝， ∴Sn＝＋＋＋…＋＋ ＝ ＝＝， ∴Sn＝. [当堂达标] 1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝a8＋6，则S7＝(　　) A．49 B．42 C．35 D．28 解析：B　[2a6－a8＝a4＝6，S7＝(a1＋a7)＝7a4＝42.] 2．(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9＝72，a7＝10，则(　　) A．an＝n＋3 B．an＝2n－4 C．Sn＝n2＋n D．Sn＝n2－n 解析：AC　[∵S9＝72，a7＝10， ∴⇒∴an＝4＋(n－1)×1＝n＋3，则Sn＝＝n2＋n.故选AC.] 3．一个正项等差数列前n项的和为3，前3n项的和为21，则前2n项的和为(　　) A．18 B．12 C．10 D．6 解析：C　[∵{an}是等差数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，即2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)， ∵Sn＝3，S3n＝21， ∴2(S2n－3)＝3＋21－S2n，解得S2n＝10，故选C.] 4．已知数列{an}为等差数列，其前n项和记为Sn. (1)若a1 013＝1，则S2 025； (2)若等差数列{an}的公差d＝2，S100＝10 000，求an. 解：(1)因为a1＋a2 025＝2a1 013， 所以S2 025＝＝2 025a1 013＝2 025. (2)由S100＝100a1＋×2＝10 000，解得a1＝1，解得a1＝1. 故an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$