5.3.1 第2课时 函数单调性的综合问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

第2课时　函数单调性的综合问题 　　　讨论函数的单调性 [例1]　讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性． [思路点拨]　求函数的定义域→ 求f′(x) 解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0→ 表述f(x)的单调性 [解]　函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝ax＋1－＝. (1)当a＝0时，f′(x)＝，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1.∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． (2)当a＞0时，f′(x)＝， ∵a＞0，∴－＜0. 由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0，得0＜x＜1. ∴f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数． 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数. 讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根； (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f ′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． [变式训练] 1．已知f(x)是定义在R上的函数，它的图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋x0－2)x＋(y0－x－x＋2x0)，那么函数f(x)的单调递减区间为(　　) A．(－2,1)　　　　　 B．(－1,2) C．(－∞，－2) D．(1，＋∞) 解析：A　[由图象上任意一点P(x0，y0)处的切线方程为y＝(x＋x0－2)x＋(y0－x－x＋2x0)， 知f(x)的导数为f′(x)＝x2＋x－2， 令f′(x)＜0，得－2＜x＜1，故选A.] 　　 　构造函数利用函数的单调性求解不等 式或比较大小 [例2]　已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)且满足f′(x)·x＜f(x)，f(3)＝0，则＞0的解集为________． [解析]　设g(x)＝，因为f′(x)·x＜f(x)，所以g′(x)＝＜0⇒g(x)是(0，＋∞)上的减函数，因为f(3)＝0，所以g(3)＝0， 因此＞0⇒g(x)＞0＝g(3)⇒x＜3， 因为x＞0，所以0＜x＜3. 所以＞0的解集为(0,3)． [答案]　(0,3) 根据题中所给条件构造函数，求导判定函数的单调性，利用函数的单调性求解不等式或比较函数式的大小，是考题中的重要题型． [变式训练] 2．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且当x∈时，f′(x)cos x＋f(x)sin x＜0，f(0)＝0，下列判断中，一定正确的是(　　) A．f＞2f　 B．f＞f C．f(ln 2)＞0 D．f＜f 解析：B　[∵f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x＜0，令g(x)＝，则g′(x)＝＜0，∴g(x)在上单调递减，∴g＜g，∴＜，可得f＞·f.] 　　　已知函数的单调性求参数的范围 [例3]　已知函数f(x)＝x3－ax－1在R上单调递增，求实数a的取值范围． [思路点拨]　f(x)单调递增→f′(x)≥0恒成立 →分离参数求a的范围 [解]　由已知得f′(x)＝3x2－a， 因为f(x)在R上单调递增， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立． 因为3x2≥0，所以只需a≤0. 又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上单调递增，所以a≤0. [母题变式] 1．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围． [解]　由f′(x)＝3x2－a， ①当a≤0时，f′(x)≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±，当－＜x＜时，f′(x)＜0，∴f(x)在上为减函数， ∴f(x)的单调递减区间为， ∴＝1，即a＝3. 2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上单调递减，求a的范围． [解]　由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴即∴a≥3， 即a的取值范围是[3，＋∞)． 3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1，1)上不单调，求a的范围． [解]　∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a， 由f′(x)＝0，得x＝±(a≥0)， ∵f(x)在区间(－1,1) 上不单调，∴0＜＜1， 即0＜a＜3.故a的取值范围为(0,3)． 1．解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0. 2．已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法 (1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集； (2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f′(x)≥0(f′(x)≤0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立． [变式训练] 3．若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)上单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a的取值范围． 解：f′(x)＝x2－ax＋a－1. 因为f(x)在(1,4)内单调递减， 所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立，即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以a≥x＋1. 因为2＜x＋1＜5， 所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,4)上恒成立． 又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立， 所以a≤x＋1. 因为x＋1＞7， 所以当a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立． 综上知5≤a≤7. [当堂达标] 1．若f(x)＝，e＜a＜b，则(　　) A．f(a)＞f(b) B．f(a)＝f(b) C．f(a)＜f(b) D．f(a)f(b)＞1 解析：A　[因为f′(x)＝＝.当x∈(e，＋∞)时，1－ln x＜0，所以f′(x)＜0，所以f(x)在(e，＋∞)内为单调递减函数．故f(a)＞f(b)．] 2．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0, 1)内单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[1，＋∞) B．a＝1 C．(－∞，1] D．(0,1) 解析：A　[∵f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.] 3．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是________． 解析：由题意得y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒成立，即b≤x在(2,8)内恒成立，所以b≤2. 答案：(－∞，2] 4．试求函数f(x)＝kx－ln x的单调区间． 解：函数f(x)＝kx－ln x的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝k－＝. 当k≤0时，kx－1＜0，∴f′(x)＜0， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当k＞0时，由f′(x)＜0，即＜0，解得0＜x＜； 由f′(x)＞0，即＞0，解得x＞， ∴当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当k≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)； 当k＞0时，f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. 学科网（北京）股份有限公司 $$