4.2.1 第2课时 等差数列的性质及实际应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教A版2019）

第2课时　等差数列的性质及实际应用 课程标准 素养解读 1.了解等差数列的有关性质． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 1.通过对数列有关性质的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素养. 　　　灵活设元解等差数列 [例1]　已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． [解]　法一：(设四个变量)设这四个数分别为a，b，c，d，根据题意，得解得或 ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a1，公差为d，根据题意，得 化简，得 解得或 ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 法三：(灵活设元)设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得 化简，得解得 ∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2. 1．当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程组求出a1和d，即可确定数列． 2．当已知数列有2n项时，可设为a－(2n－1)d，…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，a＋(2n－1)d，此时公差为2d. 3．当已知数列有2n＋1项时，可设为a－nd，a－(n－1)d，…，a－d，a，a＋d，…，a＋(n－1)d，a＋nd，此时公差为d. [变式训练] 1．已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数． 解：设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d. 由已知有 整理得 当d＝时，这5个数分别是－，，1，，； 当d＝－时，这5个数分别是，，1，，－. 综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－. 　 　　等差数列性质及应用 [例2]　已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． [解]　方法一　因为a1＋a7＝2a4，所以a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5. 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9， 所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9， 即(5－2d)(5＋2d)＝9， 解得d＝±2. 若d＝2，则an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N*； 若d＝－2，则an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N*. 方法二　设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.① 由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45， 即(5－2d)(5＋2d)＝9，② 联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N*；或an＝11－2(n－1)＝13－2n，n∈N*. [母题变式] 在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as? [解]　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d， an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d， aq＝a1＋(q－1)d， ar＝a1＋(r－1)d，as＝a1＋(s－1)d， ∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3)d， aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d. ∵m＋n＋p＝q＋r＋s，∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as. 等差数列的性质 1．若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2．由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) [变式训练] 2．等差数列{an}中，若a1，a2 011为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a2＋a1 006＋a2 010＝(　　) A．10　　　　　　 B．15 C．20 D．40 解析：B　[由等差数列的性质，得a1＋a2 011＝a2＋a2 010＝2a1 006.因为a1，a2 011是方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1＋a2 011＝10.所以a2＋a1 006＋a2 010＝×10＝15.] 　 　　等差数列的应用问题 [例3]　某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数)万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的范围． [解]　设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{ an }． 由已知条件，得an＝an－1－d(n≥2)． 所以数列{ an }是一个公差为－d的等差数列． 因为a1＝220－d，所以an＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10≥11，a11＜11. 即解得19＜d≤20.9. 所以，d的取值范围为19＜d≤20.9. 等差数列在实际生产生活中也有非常广泛的作用．将实际问题抽象为等差数列问题，用数学方法解决数列的问题，再把问题的解回归到实际问题中去，是用数学方法解决实际问题的一般过程． [变式训练] 3．邹城市是孟子的故乡，它曾多次入选中国经济百强县．经济的发展带动了市民对住房的需求．假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米，那么该市新建住房的面积开始大于820万平方米的年份为(　　) A．2026 B．2027 C. 2028　D．2029 解析：C　[设从2019年开始，该市每年新建住房面积为an万平方米．由题意可知{an}是等差数列，首项a1＝400 ，公差d＝50，所以an＝400＋(n－1)50＝50n＋350，令50 n＋350＞820，解得n＞，由于n∈N*，则n≥10,2 019＋(10－1)＝2 028，所以该市在2028年新建住房面积开始大于820万平方米．] [当堂达标] 1．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 解析：A　[由等差数列的性质，得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10，即2a5＝10，∴a5＝5.] 2．已知等差数列{an}：1,0，－1，－2，…；等差数列{bn}：0,20,40,60，…，则数列{an＋bn}是(　　) A．公差为－1的等差数列 B．公差为20的等差数列 C．公差为－20的等差数列 D．公差为19的等差数列 解析：D　[(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a2－a1)＋(b2－b1)＝－1＋20＝19.] 3．某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元． 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝ 11．2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 答案：23.2 4．已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数． 解：法一：设这三个数为a，b，c(a＜b＜c)， 则由题意得解得 法二：设这三个数为a－d，a，a＋d， 由已知得 由①得a＝6，代入②得d＝±2， ∵该数列是递增的，∴d＝2，∴这三个数为4,6,8. 学科网（北京）股份有限公司 $$