5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

第2课时　函数的最大(小)值 第五章 一元函数的导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.能利用导数求给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． 2．体会导数与单调性、最大(小)值的关系. 1.在求函数最值的过程中达成逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．在研究导数、单调性、最值的关系中提升数学抽象和逻辑推理的核心素养. [情境引入] 我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是说，如果x0是函数y＝f(x)的极大(小)值点，那么在x＝x0附近找不到比f (x0)更大(小)的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，为此我们这节课就来学习函数的最值问题． [知识梳理] [知识点一]　函数f(x)在区间[a，b]上的最值　 1．取得最值的条件：在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 　连续不断　的曲线． 2．结论：函数y＝f(x)必有最大值和最小值，函数的最值在　极值点　或　区间端点　取得． 　函数的极值与最值的区别是什么？ [提示]　函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值． [知识点二]　求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上最值的步骤　 1．求函数y＝f(x)在(a，b)内的　极值　. 2．将函数y＝f(x)的　各极值　与端点处的函数值　f(a)，f(b)　进行比较，其中最大的一个是　最大值　，最小的一个是　最小值　. [预习自测] 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)闭区间上的连续函数一定有最值．(　　) (2)开区间上的单调连续函数无最值．(　　) (3)极值只能在区间内取得，最值则可以在区间端点处取得．(　　) (4)函数的最大值一定是极大值，函数的最小值也一定是极小值．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．函数f(x)＝2x－cos x在(－∞，＋∞)上(　　) A．无最值　　　　　 B．有极值 C．有最大值 D．有最小值 解析：A　[因为f′(x)＝2＋sin x＞0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．] 3．函数y＝eq \f(x,ex)在[0,2]上的最大值为________． 解析：∵y′＝eq \f(ex·x′－ex′x,ex2)＝eq \f(1－x,ex)， 令y′＝0，得x＝1∈[0,2]． ∴f(1)＝eq \f(1,e)，f(0)＝0，f(2)＝eq \f(2,e2). ∴f(x)max＝f(1)＝eq \f(1,e). 答案：eq \f(1,e) 求函数在闭区间上的最值 [例1]　求下列函数的最值： (1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数． [解]　(1)∵f(x)＝x3－3x2－9x＋5，x∈[－2,4]， ∴f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)． 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表： x －2 (－2，－1) －1 (－1,3) 3 (3,4) 4 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 3  极大值10  极小值－22  －15 由表格可以看出：函数y＝f(x)的最大值为f(－1)＝10，最小值为f(3)＝－22. (2)f′(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,ex)))′－(ex)′＝－eq \f(1,ex)－ex＝－eq \f(1＋e2x,ex). 当x∈[0，a]时，f′(x)＜0恒成立，即f(x)在[0，a]上是减函数． 故当x＝a时，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea； 当x＝0时，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0. 导数法求函数最值要注意的问题 (1)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出在(a，b)内使导数为0的点，同时还要找出导数不存在的点． (2)比较三类点处的函数值：导数不存在的点，导数为0的点及区间端点的函数值，其中最大者便是f(x)在[a，b]上的最大值，最小者便是f(x)在[a，b]上的最小值． [变式训练] 1．(1)函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最小值为(　　) A．72　　 B．36 C．12　　　 D．0 解析：D　[因为y＝x4－4x＋3，所以y′＝4x3－4，令y′＝0，解得x＝1.当x＜1时，y′＜0，函数单调递减；当x＞1时，y′＞0，函数单调递增，所以函数y＝x4－4x＋3在x＝1处取得极小值0.也是最小值．] (2)函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 解析：B　[f′(x)＝eq \f(1,x)－1，令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，当x∈(1，e)时，f′(x)＜0，∴当x＝1时，f(x)有极大值，也是最大值，最大值为f(1)＝－1.] 含参数的函数最值 [例2]　a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值． [解]　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a)． 若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0. 若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±eq \r(a). ∵x∈[0,1]，则只考虑x＝eq \r(a)的情况． (1)若0＜eq \r(a)＜1，即0＜a＜1， 则当x＝eq \r(a)时，f(x)有最大值f(eq \r(a))＝2aeq \r(a).(如下表所示) x 0 (0，eq \r(a)) eq \r(a) (eq \r(a)，1) 1 f′(x) ＋ 0 － f(x) 0 ↗ 2aeq \r(a) ↘ 3a－1 (2)若eq \r(a)≥1，即a≥1时，则当0≤x≤1时，f′(x)≥0，函数f(x)在[0,1]上单调递增，当x＝1时，f(x)有最大值 f(1)＝3a－1. 综上可知，当a≤0，x＝0时，f(x)有最大值0； 当0＜a＜1，x＝eq \r(a)时，f(x)有最大值2aeq \r(a)； 当a≥1，x＝1时，f(x)有最大值3a－1. 由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解． [变式训练] 2．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值． 解：f′(x)＝3x2－2ax. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq \f(2a,3). ①当eq \f(2a,3)≤0，即a≤0时，f(x)在[0,2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a； ②当eq \f(2a,3)≥2，即a≥3时，f(x)在[0,2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0； ③当0＜eq \f(2a,3)＜2，即0＜a＜3时，f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上单调递减， 在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，2))上单调递增，从而f(x)max＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8－4a0＜a≤2，,02＜a＜3.)) 综上所述，f(x)max＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(8－4aa≤2，,0a＞2.)) 已知函数的最值求参数 [例3]　已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值． [解]　由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾． 求导得f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)， 令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)当a＞0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2 f′(x) ＋ 0 － f(x) －7a＋b ↗ b ↘ －16a＋b 由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3. 又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3＜f(－1)， ∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2. (2)当a＜0时，同理可得，当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29.又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29＞f(－1)， ∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2. 综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用． [变式训练] 3．若函数f(x)＝eq \f(x,x2＋a)(a＞0)在[1，＋∞)上的最大值为eq \f(\r(3),3)，则a的值为________． 解析：f′(x)＝eq \f(x2＋a－2x2,x2＋a2)＝eq \f(a－x2,x2＋a2)，当x＞eq \r(a)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当－eq \r(a)＜x＜eq \r(a)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x＝eq \r(a)时，f(x)＝eq \f(\r(a),2a)＝eq \f(\r(3),3)，eq \r(a)＝eq \f(\r(3),2)＜1，不合题意．∴f(x)max＝f(1)＝eq \f(1,1＋a)＝eq \f(\r(3),3)，a＝eq \r(3)－1. 答案：eq \r(3)－1 [当堂达标] 1．下列结论正确的是(　　) A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值 B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值 C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得 D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值 解析：D　[函数f(x)在[a，b]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a，b]上一定存在最大值和最小值．] 2．函数f(x)＝2x3－6x2－18x－7在[1,4]上的最小值为(　　) A．－64 B．－51 C．－56　 D．－61 解析：D　[f′(x)＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3，f(3)＝－61，f(1)＝－29，f(4)＝－47.所以所求的最小值为－61.] 3．已知函数f(x)＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为eq \f(15,4)，则a＝________. 解析：当a≤－1时，最大值为4，不合题意；当－1＜a＜2时，f(x)在[a,2]上是减函数，此时f(a)最大，所以－a2－2a＋3＝eq \f(15,4)，解得a＝－eq \f(1,2)或a＝－eq \f(3,2)(舍去)． 答案：－eq \f(1,2) 4．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)． (1)求导数f′(x)； (2)若f′(－1)＝0，求f(x)在[－2,2]上的最大值和最小值． 解：(1)由原式，得f(x)＝x3－ax2－4x＋4a， ∴f′(x)＝3x2－2ax－4. (2)由f′(－1)＝0，得a＝eq \f(1,2)， 此时有f(x)＝(x2－4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))， f′(x)＝3x2－x－4. 由f′(x)＝0，得x＝eq \f(4,3)或x＝－1. 又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))＝－eq \f(50,27)，f(－1)＝eq \f(9,2)，f(－2)＝0， f(2)＝0， ∴f(x)在[－2,2]上的最大值为eq \f(9,2)，最小值为－eq \f(50,27). $$