5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值及实际应用问题（课件PPT）-【金榜题名】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册高中同步学案（人教版）

第五章 一元函数的导数及其应用 5．3　导数在研究函数中的应用 5．3．2　函数的极值与最大(小)值 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 第2课时 函数的最大(小)值及实际应用问题 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 目录 contents Part 01 Part 02 课时作业（二十） Part 03 课前预习 课堂互动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 前 预 习 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 一条连续不断 极值 最大的一个 最小的一个 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 函数 导数 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课 堂 互 动 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 课时作业 (二十) 点击进入word 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 谢谢观看 数学 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 返回导航 学习目标 素养要求 1．理解函数的最值的概念． 2．了解函数的最值与极值的区别与联系． 3．会用导数求在给定区间上函数的最值． 4．能利用导数解决简单的实际问题． 1．通过函数最大(小)值存在性的学习，培养直观想象的核心素养． 2．借助函数最值的求解问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 3．借助实际问题的求解，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． [自主梳理] 知识点一　函数的最大(小)值 下图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． [问题3]　函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值一定是其极值吗？ 答：不一定，也可能是区间端点的函数值． 答：比较极值与区间端点处的函数值，最大(小)的是最大(小)值． [问题4]　怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？ [问题1]　观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值． 答：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值． [问题2]　结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值和最小值？若存在，分别为多少？ 答：存在．f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)． ►知识填空 1．函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是_____________的曲线，那么它必有最大值与最小值． 2．函数最值的求法 求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的____； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中__________是最大值，__________是最小值． 知识点二　实际应用问题 ►知识填空 用导数解决优化问题的基本思路 eq \a\vs4\al([点睛]) (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域． (2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．　　 [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值不一定是函数的极大值．(　　) (2)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值一定在区间端点处取得．(　　) (3)有极值的函数一定有最值，有最值的函数不一定有极值．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．函数f(x)＝2x＋sin x在区间[0，π]上的(　　) A．最小值为0，最大值为π＋1 B．最小值为0，最大值为2π C．最小值为π＋1，最大值为2π D．最小值为0，最大值为2 解析：选B　f′(x)＝2＋cos x>0，所以f(x)在区间[0，π]上单调递增，因此f(x)的最小值为f(0)＝0，最大值为f(π)＝2π． 3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．7万件　　　　　 B．9万件 C．11万件 D．13万件 解析：选B　设y＝f(x)， 即f(x)＝－eq \f(1,3)x3＋81x－234． 故f′(x)＝－x2＋81．令f′(x)＝0， 即－x2＋81＝0， 解得x＝9或x＝－9(舍去)． 当0<x<9时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增； 当x>9时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减． 因此，当x＝9时，y＝f(x)取最大值． 故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件． 4．函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2－3x＋6在[－4，4]上的最大值为______，最小值为______． 解析：f′(x)＝x2－2x－3，令f′(x)>0，得x<－1或x>3，令f′(x)<0，得－1<x<3，故f(x)在(－∞，－1)，(3，＋∞)上单调递增，在(－1，3)上单调递减，故f(x)的极大值为f(－1)＝eq \f(23,3)，极小值为f(3)＝－3，又f(－4)＝－eq \f(58,3)，f(4)＝－eq \f(2,3)，故f(x)的最大值为f(－1)＝eq \f(23,3)，最小值为f(－4)＝－eq \f(58,3)． 答案：eq \f(23,3)　－eq \f(58,3) 题型一　求函数的最值 [例 1]　求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2，3]； (2)f(x)＝eq \f(1,2)x＋sin x，x∈[0，2π]． 解：(1)因为f(x)＝2x3－12x， 所以f′(x)＝6x2－12 ＝6(x＋eq \r(2))(x－eq \r(2))，令f′(x)＝0， 解得x＝－eq \r(2)或x＝eq \r(2)． 因为f(－2)＝8，f(3)＝18， f(eq \r(2))＝－8eq \r(2)，f(－eq \r(2))＝8eq \r(2)； 所以当x＝eq \r(2)时，f(x)取得最小值－8eq \r(2)； 当x＝3时，f(x)取得最大值18． (2)f′(x)＝eq \f(1,2)＋cos x，令f′(x)＝0， 又x∈[0，2π]， 解得x＝eq \f(2,3)π或x＝eq \f(4,3)π． 计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π))＝eq \f(π,3)＋eq \f(\r(3),2)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π))＝eq \f(2,3)π－eq \f(\r(3),2)． 所以当x＝0时，f(x)有最小值，f(0)＝0； 当x＝2π时，f(x)有最大值，f(2π)＝π． 利用导数求函数最值的方法 (1)若函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，在区间(a，b)内只有一个导数值为0的点，且在这一点处取得极值，则该点一定是函数的最值点．　　 (2)求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数值为0的点，无须判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值． 求函数f(x)＝ln(1＋x)－eq \f(1,4)x2在区间[0，2]上的最值． 解：f′(x)＝eq \f(1,1＋x)－eq \f(1,2)x， 令f′(x)＝0，即eq \f(1,1＋x)－eq \f(1,2)x＝0， 得x＝－2或x＝1． 又∵x＋1＞0，即x＞－1，∴x＝－2舍去． ∵f(0)＝0，f(1)＝ln 2－eq \f(1,4)， f(2)＝ln 3－1， ∴该函数在区间[0，2]上的最大值为ln 2－eq \f(1,4)，最小值为0． 题型二　含参数的最值问题 [例 2]　已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x，求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值． 解：f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)， 令f′(x)＝0，得x1＝－eq \f(a,3)，x2＝a． ①当a>0时，f(x)在区间[0，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(a)＝－a3． ②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0． ③当a<0时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,3)))上单调递减，在区间eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，＋∞))上单调递增， 所以f(x)min＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)))＝eq \f(5,27)a3． 综上所述，当a>0时，f(x)min＝－a3； 当a＝0时，f(x)min＝0； 当a<0时，f(x)min＝eq \f(5,27)a3． (1)求解函数在固定区间上的最值的注意点： ①对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． ②研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． ③比较极值与端点函数值的大小，确定最值． (2)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决含参数的函数最值问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解．　　 1．如果函数f(x)＝x3－eq \f(3,2)x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]的最小值是______． 解析：f′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1． 当－1<x<0时，f′(x)>0，则f(x)为增函数； 当0<x<1时，f′(x)<0，则f(x)为减函数． ∴当x＝0时，f(x)取得最大值为a， ∴a＝2，∴f(－1)＝－1－eq \f(3,2)＋2＝－eq \f(1,2)， f(1)＝1－eq \f(3,2)＋2＝eq \f(3,2)． ∴在x∈ [－1，1]上， f(x)的最小值为－eq \f(1,2)． 答案：－eq \f(1,2) 2．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值． 解：f′(x)＝3x2－2ax． 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq \f(2a,3)． ①当eq \f(2a,3)≤0，即a≤0时， f(x)在区间[0，2]上单调递增， 从而f(x)max＝f(2)＝8－4a． ②当eq \f(2a,3)≥2，即a≥3时，f(x)在区间[0，2]上单调递减， 从而f(x)max＝f(0)＝0． ③当0＜eq \f(2a,3)＜2，即0＜a＜3时，f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上单调递减，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，2))上单调递增， 从而f(x)max＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8－4a（0＜a≤2），,0（2＜a＜3），)) 综上所述，f(x)max＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8－4a（a≤2），,0（a＞2）.)) 题型三　与最值有关的恒成立问题 [例 3]　设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)． (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0，2)恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)， ∴当x＝－t时，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1． 即h(t)＝－t3＋t－1． (2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m， 由g′(t)＝－3t2＋3＝0，得t＝1或t＝－1(不合题意，舍去)． 当t变化时，g′(t)，g(t)的变化情况如下表： t (0，1) 1 (1，2) g′(t) ＋ 0 － g(t)  1－m  ∴g(t)在区间(0，2)内有最大值，g(1)＝1－m． h(t)<－2t＋m在区间(0，2)内恒成立等价于g(t)<0在区间(0，2)内恒成立，即等价于1－m<0，∴m>1， ∴m的取值范围为(1，＋∞)． 不等式恒成立问题的转化技巧 (1)a≥f(x)(或a≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)max(或a≤f(x)min)； (2)a≥f(x)(或a≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)min(或a≤f(x)max)； (3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)min≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))； (4)f(x)≥g(x)恒有解⇔F(x)max≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))．　　 已知函数f(x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f(x)的导数． (1)证明：f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点； (2)若x∈[0，π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围． 解析：(1)设g(x)＝f′(x)，则g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x． 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，g′(x)>0； 当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，g′(x)<0， 所以g(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))单调递减． 又g(0)＝0，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>0，g(π)＝－2，故g(x)在区间(0，π)存在唯一零点． 所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点． (2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0． 由(1)知，f′(x)在区间(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0； 当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(0，x0)单调递增，在区间(x0，π)单调递减． 又f(0)＝0，f(π)＝0， 所以，当x∈[0，π]时，f(x)≥0． 又当a≤0，x∈[0，π]时，ax≤0， 故f(x)≥ax． 因此a的取值范围是(－∞，0]． 题型四　导数在实际问题中的应用 [例 4]　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 解：(1)因为x＝5时，y＝11， 所以eq \f(a,2)＋10＝11，a＝2． (2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝eq \f(2,x－3)＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10（x－6）2))＝2＋10(x－3)(x－6)2，其中3<x<6， 从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)， 于是，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3，4) 4 (4，6) f′(x) ＋ 0 － f(x)  极大值42  由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内极大值点，也是最大值点， 所以，当x＝4时，函数f(x)取最大值，且最大值等于42． 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 1．经济生活中优化问题的解法 经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动． 2．关于利润问题常用的两个等量关系 (1)利润＝收入－成本． (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．　　 已知某型号手机总成本C万元是月产量Q万件的函数，且C＝10Q2＋200Q＋1 000，1≤Q≤30．将Q看成能取区间[1，30]内的每一个值，求月产量Q为多少时，才能使每件产品的平均成本最低？最低平均成本为多少？ 解：记平均成本为f(Q)元， 则f(Q)＝eq \f(C,Q)＝eq \f(10Q2＋200Q＋1 000,Q)＝10Q＋eq \f(1 000,Q)＋200． 因为1<Q<30时，有f′(Q)＝10－eq \f(1 000,Q2)， 令f′(Q)>0，解得Q>10． 因此可知f(Q)在[1，10]上递减，在[10，30]上递增， 从而f(Q)在Q＝10时取得极小值，而且在此时取得最小值f(10)＝10×10＋eq \f(1 000,10)＋200＝400． 即当月产量为10万件时，每件产品的平均成本最低，最低为400元． [课堂小结] 1．求函数在闭区间上的最值，只需要比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值． 2．已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论． 3．“恒成立”问题可转化为函数最值问题． $$