5.3.2 第4课时 利用导数解决生活中的优化问题-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步课件PPT（人教A版2019）

第4课时　利用导数解决生活中的优化问题 第五章 一元函数的导数及其应用 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 课堂 互动学案 01 02 课时 素养提升 03 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课前 预习学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课堂 互动学案 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 下一页 上一页 返回导航 第五章 一元函数的导数及其应用 数学·选择性必修第二册 课程标准 素养解读 1.理解实际生活中的最优化问题． 2．会利用导数解决实际生活中的最优化问题. 在利用导数解决生活中优化问题的过程中提升数学建模、逻辑推理、数学运算的核心素养. [知识梳理] [知识点一]　优化问题　 生活中经常遇到求　利润最大　、　用料最省　、　效率最高　等问题，这些问题通常称为优化问题． [知识点二]　用导数解决优化问题的基本思路　 　解决生活中优化问题应注意什么？ [提示]　(1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等． 平面几何中的最值问题 [例1]　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm. (1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [解]　设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm. 由已知得a＝eq \r(2)x，h＝eq \f(60－2x,\r(2))＝eq \r(2)(30－x)，0＜x＜30. (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，所以当x＝15时，S取得最大值． (2)V＝a2h＝2eq \r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq \r(2)x(20－x)． 由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20. 当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时eq \f(h,a)＝eq \f(1,2)，即包装盒的高与底面边长的比值为eq \f(1,2). 关于平面图形中的最值问题 平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导，求出极值，从而求得最值． [变式训练] 1．如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2，短半轴长为1，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记|CD|＝2x，梯形的面积为S. (1)求面积S以x为自变量的函数解析式，并写出其定义域． (2)求面积S的最大值． 解：(1)依题意，以AB的中点O为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则点C(x, y)满足方程x2＋eq \f(y2,4)＝1，且x＞0，y＞0， 所以y＝2eq \r(1－x2)(0＜x＜1)． 所以S＝eq \f(1,2)×(2x＋2)×2eq \r(1－x2) ＝2(x＋1)eq \r(1－x2)(0＜x＜1)． (2)令f(x)＝S2＝4(x＋1)2(1－x2)(0＜x＜1)， 则f′(x)＝8(x＋1)2(1－2x)． 令f′(x)＝0，解得x＝eq \f(1,2)或x＝－1(舍去)． 当0＜x＜eq \f(1,2)时，f′(x)＞0，f(x)为增函数； 当eq \f(1,2)＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)为减函数． 所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))是f(x)在区间(0,1)上的极大值，也是最大值，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \f(27,4)，此时S＝eq \f(3\r(3),2). 故当x＝eq \f(1,2)时，S取得最大值eq \f(3\r(3),2). 用料最省、成本(费用)最低问题 [例2]　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq \f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值． [思路点拨]　(1)由C(0)＝8可求k的值从而求出f(x)的表达式．(2)求函数式f(x)的最小值． [解]　(1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq \f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq \f(40,3x＋5).而建造费用为C1(x)＝6x. 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq \f(40,3x＋5)＋6x＝eq \f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)． (2)f′(x)＝6－eq \f(2 400,3x＋52)， 令f′(x)＝0，即eq \f(2 400,3x＋52)＝6，解得x＝5或x＝－eq \f(25,3)(舍去)． 当0＜x＜5时，f′(x)＜0，当5＜x＜10时，f′(x)＞0， 故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋eq \f(800,15＋5)＝70.即当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元． 1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答． 2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． [变式训练] 2．一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？ 解：设轮船速度为x(x＞0)千米/时的燃料费用为Q元，则Q＝kx3，由6＝k×103，可得k＝eq \f(3,500).所以Q＝eq \f(3,500)x3. 所以总费用y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,500)x3＋96))·eq \f(1,x)＝eq \f(3,500)x2＋eq \f(96,x). y′＝eq \f(6x,500)－eq \f(96,x2)，令y′＝0，得x＝20. 所以当x∈(0,20)时，y′＜0，此时函数单调递减，当x∈(20，＋∞)时，y′＞0，此时函数单调递增． 所以当x＝20时，y取得最小值． 所以此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小． 利润最大、效率最高问题 [例3]　某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝eq \f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． [思路点拨]　(1)根据x＝5时，y＝11求a的值． (2)把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值． [解]　(1)因为x＝5时，y＝11， 所以eq \f(a,2)＋10＝11，a＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量y＝eq \f(2,x－3)＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)＝(x－3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6，从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (3,4) 4 (4,6) f′(x) ＋ 0 － f(x) ↗ 极大值42 ↘ 由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． [母题探究] 某商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克，1＜x≤12)满足：当1＜x≤4时，y＝a(x－3)2＋eq \f(b,x－1)(a，b为常数)；当4＜x≤12时，y＝eq \f(2 800,x)－100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． (1)求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式； (2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大．(eq \r(7)≈2.65) [解]　(1)由题意，得x＝2时y＝800，∴a＋b＝800， 又∵x＝3时y＝150，∴b＝300，可得a＝500. ∴y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(500x－32＋\f(300,x－1)，1＜x≤4，,\f(2 800,x)－100，4＜x≤12.)) (2)由题意，得 f(x)＝y(x－1)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(500x－32x－1＋300，1＜x≤4，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 800,x)－100))x－1，4＜x≤12.)) 当1＜x≤4时，f(x)＝500(x－3)2(x－1)＋300＝500x3－3 500x2＋7 500x－4 200， f′(x)＝500(3x－5)(x－3)， 由f′(x)＞0，得x＜eq \f(5,3)或x＞3； 由f′(x)＜0，得eq \f(5,3)＜x＜3， ∴f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))，(3,4)上递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，3))上递减． ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)))＝eq \f(1 600,27)＋300＜f(4)＝1 800， ∴当x＝4时有最大值，f(4)＝1 800 当4＜x≤12时，f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2 800,x)－100))(x－1) ＝2 900－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100x＋\f(2 800,x)))≤2 900－400eq \r(7)≈1 840， 当且仅当100x＝eq \f(2 800,x)，即x＝2eq \r(7)≈5.3时取等号， ∴x＝5.3时有最大值1 840.∵1 800＜1 840， ∴当x＝5.3时f(x)有最大值1 840，即当销售价格为5.3元时，店铺所获利润最大． 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值． 解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利． [变式训练] 3．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2件，若记商品在一个星期的获利为f(x)， 则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2) ＝(21－x)(432＋kx2)． 又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6， 所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]． (2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．令f′(x)＝0，得x＝2或x＝12. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 递减 极小值 递增 极大值 递减 故当x＝12时，f(x)取得极大值． 因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664， 所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大． [当堂达标] 1．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形面积之和的最小值是(　　) A.eq \f(3\r(3),2) cm2　　　　　 B．4 cm2 C．3eq \r(2) cm2 D．2eq \r(3) cm2 解析：D　[设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm(0＜x＜12)．则S(x)＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12－x,3)))2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2,9)－\f(8x,3)＋16))，所以S′(x)＝eq \f(\r(3),4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3))).令S′(x)＝0，得x＝6，当x∈(0,6)时，S′(x)＜0；当x∈(6,12)时，S′(x)＞0.所以当x＝6时，S(x)最小．所以S(x)min＝S(6)＝2eq \r(3) cm2.] 2．若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x>0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 解析：y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)， 当0<x<3时，y′>0；当x>3时，y′<0. 故当x＝3时，该商品的年利润最大． 答案：3 3．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝eq \f(1,3)x3－eq \f(39,2)x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________． 解析：由题设知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，故函数y＝eq \f(1,3)x3－eq \f(39,2)x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40. 答案：40 4．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为x m，则长为2x m， 高为h＝eq \f(18－12x,4)＝(4.5－3x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2))).故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x) ＝9x2－6x3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2))). 从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)． 令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1， 当0＜x＜1时，V′(x)＞0；当1＜x＜eq \f(3,2)时，V′(x)＜0， 故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值． 从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)，此时长方体的长为2 m，高为1.5 m．故当长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3. $$