广东省深圳高级中学集团2024-2025学年下学期九年级第一次模拟考数学试卷

广东省深圳高级中学集团2024-2025学年第二学期初三第一次模拟考数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的） 1． 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法，如标注为“1502”的电阻，第四位数字“2”为10的幂指数，对应的阻值（单位：Ω）为150×102=15000，则标注为“1502”的电阻阻值用科学记数法表示为（　　） A．150×102 B．15×103 C．1.5×104 D．1.5×105 3．下列式子运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小聪想了解该图案的面积是多少，他采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此他估计此不规则图案的面积大约为（　　） A．6m2 B．5 m2 C．4m2 D．3m2 5．如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知∠ABO=60°，OC=OD，AB//CD，则 ∠BOD的大小为（　　） A．150° B．140° C．130° D．120° 6．为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：，，） A． B． C． D． 7．一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元?设每件商品降价χ元，由题意可列方程（　　） A．（60-x）（20+4x）=1400 B．（40-x）（20+4x） =1400 C．（60 -x）（20+2x）=1400 D．（40-x）（20+0.5x）=1400 8．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→B→C的路径运动，过点P作PQ⊥AC，垂足为Q.设点P运动的路程为x，PB与PO的差为y，）与x的函数图象如图2所示，点M，N是线段DE，EF与x轴的交点，则图2中点M对应的点P位置到点N对应的点P位置所经历的时长为（　　） A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9． 因式分解：ax2-a=　 　. 10．关于x的一元二次方程x2一2x=m有两个不相等实数根，则m的值可能是　 　.（只需写出一个即可） 11．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　． 12．如图，已知矩形ABCD的一边AD落在y轴的正半轴，它的顶点B与对角线BD的中点E均在反比例函数的图象上，则矩形ABCD的面积为　 　. 13． 在菱形ABCD中，，将沿BE翻折至，BF，CF的延长线分别交AD于H，G两点，若，则的值为　 　. 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14．计算：． 15．先化简：，再从-3， 0， 3中选取一个适当的数代入求值. 16．小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表． 甲、乙两种品牌吉他得分表 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95 乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97 甲、乙两种吉他得分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 甲 87.9 90 乙 87.3 97 （1）________，________； （2）从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）； （3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由． 17．根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套． 素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 18．在矩形ABCD中，连接AC. （1）如图1，请用尺规在边AD上求作一点P，连接PC，使PD+PC=AD；（不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，已知点P在边AD上，且PD+PC=AD，连接PB，交AC于点O，若AB=6，AD=8，求 AQ 的长. 19．综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）.为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门。经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观。 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）.由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢? （1）【分析问题】 ①二次函数y=ax2+bx+c的图象经过（2，m）和（5，m），此抛物线的对称轴为直线　 　. ②如图2，已知二次函数，经过点（0，6）， 且与的图象均经过（2，0）和（5，0），则a2的取值范围是　 　. （2）【解决问题】 以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以O，M为端点的拱门表示原拱门，EF表示大树，当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离h的取值范围. 20．综合与探究 在正方形ABCD中，AB=4，点E是AB边上的动点，连接CE. （1）【探索发现】如图1，过点D作DF⊥CE，求证：△CFD∽△EBC； （2）【类比探究】如图2，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，当△CFD是等腰三角形时，求此时AE的长度与△CFD的面积； （3）【拓展延伸】如图3，过点B作BF⊥CE于点F，连接DF，将△CFD沿CE翻折得到△CFG，FG交BC于点H，请直接写出线段CH的最小值. 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】A 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】a(x-1)(x+1) 10．【答案】0（比-1大即可，） 11．【答案】 12．【答案】8 13．【答案】 14．【答案】解： ． 15．【答案】解：原式= = 因为 ，，所以 ，，所以 x 只能为 0，当 时，原式 16．【答案】（1）， （2）甲 （3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好． 17．【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得： 解得 答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元． 任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一：， 解得， 由题意得， ∴， ∴ 方案二：， 解得， ∴方案二不符题意，舍去． 答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条． 18．【答案】（1）解：如图，即为所作； 【方法一】 【方法二】 （2）解：解：如图，∵PD+PC=AD，又 PD+PA=AD， ∴PA=AC， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，CD=AB=6， ∵AD=8， ∴AC=10， 设 PA=AC=x， ∴PD=8-x， ∴x2=(8-x)2+62， 解得 x=， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴△APQ∽△CBQ， ∴ ∴ 又 AQ+CQ=AC=10 ∴AQ= 19．【答案】（1）x=； （2）解：如图所示，将点 F分别向左右两侧平移 3 个单位得到点 B、C， 将 BC向上平移 2+8=10 个单位，矩形 ABCD即为大树生长空间. 由题意得，OM=3，MF=10，BF=CF=3 ， ∴B（10，0），D（16，10）； 设新拱门抛物线解析式为 y= ax2 + bx， ∴抛物线顶点坐标为， ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得b1 = 2，b2 = 0 （不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为 y= ax2 + 2x， 将 B(10，0)代入得， 0 =102 a+10× 2 ，解得 a= -， =5， ∵原拱门拱顶距地面为 4 米， ∴ 4 < h≤ 5， 将 D(16，10)代入得，10 =162 a+16× 2 ，解得 a= -， ∴， 将(25，0)代入得， 0 = 252 a+ 25× 2 ，解得 a= - ， ∴， ∴ ， 综上所述，h的取值范围是 4 < h≤ 5 或 20．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠DCB=90°，∠DCF+∠BCE=90° ∵DF⊥CE， ∴∠DFC=90°，∠CDF+∠DCF=90°， ∴∠BCE=∠CDF ∴△CFD∽△EBC （2）解：如图，作 DH⊥ CD于点 H， 可证△CDH≌△BCF， 可得 CD=BC> CF， 所以当△CFD为等腰三角形时， 只有以下两种可能： 1 当 CF=DF时，作 FH⊥CD于点 H，如图所示， 设 DF= CF= a， ∵ FH⊥CD，CF=DF， ∴DH=CH， FH= ∵BF⊥CE， ∴∠FCB+∠CBF=90°， ∵∠DCF+∠FCB=90°， ∴∠CBF=∠DCF， ∴△CFH∽△BCF 即 解得， a= 2， ∴CF= DF= 2，△CDF为等腰直角三角形， ∴此时点 A、F、C三点共线， ∴AE=0， ②当 DF=DC时，作 DH⊥CE于点 H，如右图所示， 设CH= a， ∵DF=DC， DH⊥ CE， ∴ FH= CH= a， ∵BF⊥CE，CD=BC=4， ∴△CDH≌△BCF， ∴BF=CH=a， 在 RtΔCFB中，CF2+ BF 2 = BC2 ， 即 (2a)2+ a2 = 42， 解得 a= ∴ DH= CF= 2a= ∵△CFB∽△CBE， 即 解得 BE=2， ∴AE=AB-BE=2 （3）解： ∵∠BFC=90°， ∴点F在以BC的中点M为圆心的圆上，延长DF交CB的延长线于点N， 设∠MFG=α，∠MFC=∠MCF=β， ∴∠GFC=∠DFC=α+β=∠FNC+∠MCF， ∴∠FNC=α， ∴∠FNC=∠MFG， ∵∠FMH=∠NMF， ∴△MFH∽△MNF， ∴， MH=， 若CH最小，即MH最小，则MN最大， 当MN最大时，DN与圆M相切，即MF⊥DN， 设BN=x， ∴sinα=， 解得x= 或x=-4（舍） ， ∴MH=，CH=， 故CH最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$