精品解析：2025年广东省深圳市福田区5校联考九年级中考一模数学试题

深圳市2024—2025学年初三年级 数学试卷（1月） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡 指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题（共24分） 1. 濮阳为中华上古文明的重要发祥地，地下文物丰富，“中华第一龙”就出土自中国颛顼的老家濮阳．这些珍贵的文物记载着华夏民族的伟大历史．下列四件文物中，不考虑纹路，仅考虑外观，主视图与左视图不一致的是（） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成六等份）停在红色区域中的概率是（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 5. 如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　） A. 6个 B. 8个 C. 9个 D. 12个 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. 等腰三角形 D. 8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 9. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 10. 一个不透明的袋子中装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量反复实验发现，摸到黄球的频率约为0.3，由此推测这个袋中红球的个数为________． 11. 如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为3m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为m，则树的高度为______m． 12. 如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为_________． 13. 如图，已知为等边三角形，边长为，点分别是过上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（共61分） 14. 阅读下面的定义新法则，计算下列问题 对于实数，我们定义的意义为，当时，，当时，，当时， 例如：， （1）求的值 （2）求的值 15. 某校为了解学生的体育锻炼情况，围绕“你最喜欢的一项体育活动”进行随机抽样调查，从而得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的两个统计图． 请结合统计图，解答下列问题： （1）该校对 　 　名学生进行了抽样调查：在扇形统计图中，“羽毛球”所对应的圆心角的度数为 　 　度； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有2400名学生，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少人． 16. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克． （1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是多少千克（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利224元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？ 17. 某通讯公司新开发甲、乙两种手机话费套餐，每月通话费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示． （1）写出点A表示的实际意义； （2）观察图像可知，若每月通话费用不足100分钟，则选择 种套餐划算； （3）李明预计每月通话时间为300分钟，分别求出两种套餐所需的通话费用． 18. 实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求： （1），a的值． （2）当速度时该物体运动时间t． 19. 阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点O的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2的点到原点O的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表示的点到原点O的距离是2个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： （1）填空：数轴上表示3的点和表示的点之间的距离为______； （2）若，求所表示的有理数． （3）设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 20. 如图1，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，作射线．点P从点A出发沿向点D运动，将矩形沿折叠，点A落在点G处．设点P运动的路径长为x． （1）①______； ②当时，与全等吗？请说明理由； （2）当线段的长最小时，求的值？ （3）③若点G落在射线上，求x值； ④请直接写出点G到射线的距离（用含x的式子表示）______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 深圳市2024—2025学年初三年级 数学试卷（1月） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡 指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答单项选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 一、单选题（共24分） 1. 濮阳为中华上古文明的重要发祥地，地下文物丰富，“中华第一龙”就出土自中国颛顼的老家濮阳．这些珍贵的文物记载着华夏民族的伟大历史．下列四件文物中，不考虑纹路，仅考虑外观，主视图与左视图不一致的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，解题的关键在于能够熟练掌握概率计算公式．根据三视图的概念求解即可． 【详解】解：A、物体的主视图与左视图相同，故选项不符合题意； B、选项物体的主视图与左视图不相同，故选项符合题意； C、物体的主视图与左视图相同，故选项不符合题意； D、物体的主视图与左视图相同，故选项不符合题意； 故选：B． 2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：由原方程移项，得， 等式的两边同时加上，得， 配方，得． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 3. 如图，自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成六等份）停在红色区域中的概率是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】确定红色区域在转盘中所占的比例，这个比例即为停在红色区域中的概率． 【详解】解：红色区域在转盘中占2份，即， 停在红色区域的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查用图形面积表示概率，掌握相应的面积与总面积之比是所求事件的概率是解题关键． 4. 如图，△ABC≌△ADE，∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝30°，则∠EAC的度数为（　　） A. 40° B. 35° C. 30° D. 25° 【答案】A 【解析】 【分析】由三角形内角和定理和全等三角形性质可得∠DAE=70°，再由∠DAC＝30°可得∠EAC=40°． 【详解】解：∵∠B＝80°，∠C＝30°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=70°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE=∠BAC=70°， ∴∠EAC=∠DAE-∠DAC=70°-30°=40°， 故选A． 【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握全等三角形的性质和三角形内角和定理是解题关键． 5. 如图，若，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 【详解】解：，， ，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D错误； 故选：A． 6. 在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　） A 6个 B. 8个 C. 9个 D. 12个 【答案】C 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据题意列出方程即可求出答案即可解决． 【详解】解：设有x个队参赛， 根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36， 解得：x＝9或x＝﹣8（舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，找到题意中蕴含的等量关系. 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，过点C作交的延长线于点E，下列结论不一定正确的是( ) A. B. C. 是等腰三角形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形形的性质可得，，通过证明四边形是平线四边形，可得，得出，是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 8. 已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 由点，关于y轴对称，可排除选项B、C，再根据，，可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，从而排除选项D． 【详解】由点，在同一个函数图象上，可知图象关于y轴对称，故选项B、C不符合题意；由，，可知在y轴的右侧，y随x的减小而减小，故选项D不符合题意，选项A符合题意； 故选：A． 二、填空题（共15分） 9. 设，是一元二次方程的两个根，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解． 【详解】根据题意得：αβ=﹣1． 故答案为﹣1 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=． 10. 一个不透明的袋子中装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，通过大量反复实验发现，摸到黄球的频率约为0.3，由此推测这个袋中红球的个数为________． 【答案】14 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设盒子中有红球x个， 由题意可得： ， 解得：x=14， 经检验，x=14是分式方程的解． 故答案为：14个． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系． 11. 如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为3m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为m，则树的高度为______m． 【答案】 【解析】 【分析】设地面影长对应的树高为，根据同时同地物高与影长成正比列出比例式求出，然后加上墙上的影长即为树的高度． 【详解】解：设地面影长对应的树高为， 由题意得，， 解得， 墙上的影子长为， 树的高度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用投影求物高．熟练掌握同时同地物高与影长成正比是解题的关键． 12. 如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为_________． 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据，两点在反比例函数的图象上．求出反比例函数解析式、点的坐标，根据点、、的坐标，分别求出直线、的解析式，根据坐标与图形，分析当时、当时，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的情况，得出答案即可． 【详解】解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， ∵当时，，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， ∵，当时，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， 综上所述，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为和， 故答案为：和． 13. 如图，已知为等边三角形，边长为，点分别是过上的动点，点从点开始沿射线方向运动，同时点从点开始沿射线方向运动，点运动速度始终是点运动速度的倍，以为边向右侧作等边三角形．点是边的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，连接，，证明，推出，证明为等边三角形，再证明平分，得出点的轨迹，进一步求得的最小值． 【详解】解：∵点运动速度始终是点运动速度的倍， ∴设，则，， 如图，在上截取，连接，，  则，， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴ 作射线，如图所示， 在中，，，， 取的中点，连接， 则， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， 即：点在的角平分线上运动， 如图所示，作于，此时，最小， ∵ 是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 故答案：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，解决问题的关键是构造全等，找到的运动轨迹． 三、解答题（共61分） 14. 阅读下面的定义新法则，计算下列问题 对于实数，我们定义的意义为，当时，，当时，，当时， 例如：， （1）求的值 （2）求的值 【答案】（1）2023 （2）0 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算． （1）根据当时，求解即可． （2）根据当时，求解即可． 【小问1详解】 解：∵当时， ∴ 【小问2详解】 ∵当时， ∴ 15. 某校为了解学生的体育锻炼情况，围绕“你最喜欢的一项体育活动”进行随机抽样调查，从而得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的两个统计图． 请结合统计图，解答下列问题： （1）该校对 　 　名学生进行了抽样调查：在扇形统计图中，“羽毛球”所对应的圆心角的度数为 　 　度； （2）补全条形统计图； （3）若该校共有2400名学生，请你估计全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为多少人． 【答案】（1）40，18；（2）见解析；（3）300． 【解析】 【分析】（1）根据：喜欢某项的百分比，先计算抽样人数，再计算喜欢羽毛球的人数占的百分比，最后计算出圆心角的度数； （2）先计算出喜欢篮球的学生数，再补全条形统计图； （3）先计算喜欢跳绳所占的百分比，再求出喜欢跳绳的人数． 【详解】解：（1）因为抽样中喜欢足球的学生有12名，占， 所以共抽样调查的学生数为：（名． 喜欢羽毛球的2名，占抽样的：． 其对应的圆心角为：． 故答案为：40，18． （2）喜欢篮球的占， 所以喜欢篮球的学生共有：（名． 补全的条形图： （3）样本中有5名喜欢跳绳，占抽样的， 所以该校喜欢跳绳的学生有（名． 答：全校学生中最喜欢跳绳活动的人数约为300名． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图等知识点，会读图并能从图中获取有用信息是解决本题的关键． 16. 西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克． （1）若将这种西瓜每千克的售价降低x元，则每天的销售量是多少千克（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利224元且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？ 【答案】（1）千克 （2）每千克的售价降低0.3元 【解析】 【分析】（1）根据这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克列出式子即可； （2）设每千克的售价降低x元，根据利润=（售价进价）×数量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，每天的销售量为千克 【小问2详解】 解：设每千克的售价降低x元， 由题意得， 整理得：， ∴， 解得或， ∵要使销售量较大， ∴， ∴每千克的售价降低0.3元 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． 17. 某通讯公司新开发甲、乙两种手机话费套餐，每月通话费用（元）与通话时间（分钟）之间的关系如图所示． （1）写出点A表示的实际意义； （2）观察图像可知，若每月通话费用不足100分钟，则选择 种套餐划算； （3）李明预计每月的通话时间为300分钟，分别求出两种套餐所需的通话费用． 【答案】（1）通话时间为100分钟，甲、乙两种套餐的通话费用都是40元 （2）甲 （3）甲种套餐的费用元，乙种套餐的费用元． 【解析】 【分析】（1）结合图像，即可得到答案； （2）结合图像，当时间时，甲种话费套餐在乙种手机话费的下方，即可得到答案； （3）分别求出两种套餐的费用，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意， 点A表示的实际意义是：通话时间为100分钟，甲、乙两种套餐的通话费用都是40元． 【小问2详解】 解：根据图像可知， 当时间时，甲种话费套餐在乙种手机话费的下方， ∴若每月通话费用不足100分钟，则选择甲种套餐划算； 故答案为：甲； 【小问3详解】 解：根据题意， 甲种套餐的费用：元． 乙种套餐的费用：元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用函数的性质和数形结合的思想解答． 18. 实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求： （1），a的值． （2）当速度时该物体的运动时间t． 【答案】（1） （2）72 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次方程，准确计算是解题的关键． （1）由题意得关于，a的二元一次不等式，求解即可； （2）将代入公式，计算即可． 【小问1详解】 ∵时，速度；当时，速度， ∴， 解得； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 解得． 19. 阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点O的距离，叫做这个有理数的绝对值．例如：，它表示数轴上有理数2的点到原点O的距离；另外观察数轴，容易发现有理数2表示的点到原点O的距离是2个单位长度，所以（如图1）．同样的，数轴上表示和表示的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示；观察数轴，容易发现表示的点到表示2的点的距离是5个单位长度，从而得到：（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： （1）填空：数轴上表示3的点和表示的点之间的距离为______； （2）若，求所表示的有理数． （3）设点在数轴上表示的有理数是，借助数轴解答下列问题： ①代数式有最小值吗？有最大值吗？若有，请求出相应的最值． ②若，求的值． 【答案】（1）8 （2）1或5 （3）①5②或 【解析】 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，绝对值的意义，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，是解题的关键： （1）直接根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）求出数轴上与3距离为2的点表示的数即可； （3）①根据绝对值的意义，得到表示数轴上数到数和数的距离之和，进而得到当在和4之间时，距离和最小为到4的距离，计算即可； ②分在的左侧和在的右侧，两种情况进行求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：8； 【小问2详解】 解：所表示的有理数为或； 【小问3详解】 ①因为表示数轴上数到数和数的距离之和， 所以当在和4之间时最小为：； 数表示点在数表示的点的左侧或数表示的点的右侧时，数表示的点到数和数表示的点的距离和大于5， 所以有最小值5； ②当在的左侧时，，解得：； 当在右侧时，，解得：； 综上：或． 20. 如图1，在矩形中，，，点E在上，，点F在上，，作射线．点P从点A出发沿向点D运动，将矩形沿折叠，点A落在点G处．设点P运动的路径长为x． （1）①______； ②当时，与全等吗？请说明理由； （2）当线段的长最小时，求的值？ （3）③若点G落在射线上，求x的值； ④请直接写出点G到射线的距离（用含x的式子表示）______． 【答案】（1）①3，4，5；②当时，与不全等； （2）； （3）③；④． 【解析】 【分析】（1）①利用勾股定理求解即可；②分别求出两个三角形的边长即可下结论； （2）当点G落在线段上时，的长最小，证明出，得出，根据即可求解； （3）③求出，可得出故是钝角，当点G和点F重合时，如图2，此时点P在边AD上，利用勾股定理建立等式，求解即可；④记与交点为N，则于点N，求出，作于点H，则由，．延长交射线于点M，则，，在点H下方截取，作于点K，则，即点G到距离． 【小问1详解】 解：①， 故答案为；5； ②当时，与不全等， 理由：∵矩形中，是直角， ∴当时，， 即：的三边长从小到大分别是3，5，， 而三边长从小到大分别是3，4，5， 故与不全等； 【小问2详解】 解：如图1，当点G落在线段上时，的长最小， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即：， 又∵，， ∴； 【小问3详解】 解：③∵，， ∴， 又∵， ∴故是钝角， 当点G和点F重合时，如图2，此时点P在边AD上，， 作于点Q，则，， ∴， ∵， ∴， 解得； ④． 如图3，记与交点为N，则于点N， ∵， ∴， ∴， 作于点H，则由，， 解得：， ∴． 延长交射线于点M，则，， 在点H下方截取， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，即点G到距离等于点I到的距离． 作于点K，则，即点G到距离等于． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的折叠问题，三角形全等及性质，三角形相似，点到线的距距离，解直角三角形等知识点，解题的关键是作出适当的辅助线来进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$