精品解析：山东省济南市济阳区2024-2025学年七年级下学期数学期末试卷

七年级数学试卷 本试卷共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 下列各组3个数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. C. ，， D. 5，12，13 7. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 8. 小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（　　） A. 小明吃早餐用了25min B. 小明读报用了30min C. 食堂到图书馆的距离为0.8km D. 小明从图书馆回家的速度为0.8km/min 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 根据尺规作图可用判定，得 B. C. D. 的最小值是的长 10. 如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 如果一个角是，那么这个角的补角是_______度． 12. 李梅在如图所示的的网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个小正方形上的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 13. 在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是______米． 14. 如果的乘积中不含的一次项，那么________． 15. 如图，在中，．点P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与交于点M．当时，若的面积是240，则重叠部分的面积为______． 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）（用乘法公式计算）； （4）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 完成下面的证明，括号内填依据 已知：如图，点在上，交于，交于，，，． 求证：． 证明：∵，∴， 又∵，∴， ∴____________∥____________，（________________） ∵， ∴____________∥____________，（________________） ∴____________∥____________，（_________________） 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． （1）请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； （2）在直线l上画出点P，使得的周长最小； （3）直接写出四边形的面积为 ． 20. 如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 21. 图1为2路公交车运行线路图（单位：米），小亮从家出发匀速步行到达车站A，等待了几分钟后坐上2路公交车，到达图书馆．若公交车全程速度保持不变，小亮离家的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题． （1）小亮家离车站A的距离为______米，在车站等了______分钟； （2）小亮的步行速度为______米/分；公交车的行驶速度为______米/分； （3）小亮下车后，这辆公交车继续行驶至终点站，休整30分钟，原路返回．若小亮想搭上同一辆公交车回家，求小亮最多在图书馆学习多长时间．（图书馆到图书馆站和各站点上下车时间均忽略不计） 22. 如图，点C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴=（①______）， =（②______）， ∴（③______） ∴…… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴④______，⑤______， ∴ ∴…… （1）阅读上述材料并填空； （2）继续完成小明与小丽的说理． 24. 有一张长方形纸片，点E是边上的一定点，点F是边上一动点，连接，将沿折叠得到；点G是边上一动点，连接，将沿折叠得到． （1）如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①当，时，______，______； ②若，求的度数． （2）如图2，当点落在直线上时，______，______； （3）如图3，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 25. （1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试卷 本试卷共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号等填写在答题卡和试卷的指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产芯片，等于，数据可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 3. 下列式子运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 如图，直线，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形的外角等于其不相邻的两个内角之和成为解题的关键． 由平行线的性质可得，然后再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选C． 5. 等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类思想的应用，熟练掌握性质和定理．当为顶角时，答案就是本身；当为底角时，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：当为顶角时，答案就是本身； 当为底角时，另一个底角为，顶角为， 故顶角为或． 故选：D． 6. 下列各组3个数是勾股数的是（ ） A. 4，5，6 B. C. ，， D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴最大角不是， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形， 但边长不是整数，不是勾股数， 故B不符合题意； ∵， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； ∵， ∴最大角是， ∴能构成直角三角形，且各边都是整数，是勾股数， 故D符合题意； 故选：D． 7. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，先求出总球数，再分别求出概率，即可得解． 【详解】解：由题意可得：总球数为， ∴摸出白球的概率为， 摸出红球的概率为， 摸出绿球的概率为， 摸出黑球的概率为， 故选：C． 8. 小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（　　） A. 小明吃早餐用了25min B. 小明读报用了30min C. 食堂到图书馆的距离为0.8km D. 小明从图书馆回家的速度为0.8km/min 【答案】B 【解析】 【详解】分析：根据函数图象判断即可． 详解：小明吃早餐用了（25-8）=17min，A错误； 小明读报用了（58-28）=30min，B正确； 食堂到图书馆的距离为（0.8-0.6）=0.2km，C错误； 小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min，D错误； 故选B． 点睛：本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键． 9. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连接，则下列结论错误的是（ ） A. 根据尺规作图可用判定，得 B. C. D. 的最小值是的长 【答案】A 【解析】 【分析】根据角的平分线的基本作图，圆的性质，垂线段最短，角的平分线性质定理判断解答即可． 本题考查了角的平分线基本作图，三角形全等的判定和性质，圆的性质，垂线段最短，角的平分线性质定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A. 根据尺规作图可用判定，得，错误，符合题意； B. ，同圆的半径相等，正确，不符合题意； C. ，根据得，正确，不符合题意； D. 的最小值是，根据角的平分线性质定理，得点D到的距离等于， 根据垂线段最短，得的最小值是的长，正确，不符合题意； 故选：A． 10. 如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边AB上有一定点P，M、N分别是AC和BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是（　　） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称的性质作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP，得到△PMN，由此解答. 【详解】解：过点P作PD⊥AC于点E，PG⊥BC于点F，连接DG交AC、BC于点M、N，连接MP、NP， ∵PD⊥AC，PG⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝90°， ∴∠C+∠EPF＝180°， ∵∠C＝50°， ∵∠D+∠G+∠EPF＝180°， ∴∠D+∠G＝50°， 由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM， ∴∠GPN+∠DPM＝50°， ∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°， 故选：D． 【点睛】此题考查最短路径问题，根据题意首先作出对称点，连接对称点得到符合题意的三角形，再根据轴对称的性质解答，正确掌握最短路径问题的解答思路是解题的关键. 二、填空题：本题共5个小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 如果一个角是，那么这个角的补角是_______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个角的补角度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可． 【详解】解：∵一个角是， ∴这个角的补角是， 故答案为：． 12. 李梅在如图所示的的网格纸板上玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个小正方形上的机会都相等），则飞镖落在阴影区域的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，用长方形的面积减去空白部分的面积，求出阴影部分的面积，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：阴影部分的面积是：， ∴飞镖落在阴影区域的概率是， 故答案为：． 13. 在一次研学活动中，小宣同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距8米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是______米． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 该河的宽度为15米． 故答案为：15． 14. 如果的乘积中不含的一次项，那么________． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可．本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算 【详解】解： 依题意，， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：3． 15. 如图，在中，．点P是边上一点，连接，将沿对折，点B落在点处，与交于点M．当时，若的面积是240，则重叠部分的面积为______． 【答案】144 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；延长交于F，则易得；由折叠的性质可证明，则可得，；利用面积相等可分别求出的长，从而求得的面积． 【详解】解：如图，延长交于F， ∵， ∴； ∵，， ∴； 由折叠的性质知：； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ． 故答案为：144， 三、解答题：本题共10个小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）； （3）（用乘法公式计算）； （4）． 【答案】（1）0 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘除法； （3）先变形，然后根据平方差公式计算即可； （4）根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，求代数式的值，掌握整式乘除法的运算法则是解题的关键；分别运用完全平方公式、平方差公式及单项式乘多项式展开，再合并同类项，再计算除法，最后代入求值即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 18. 完成下面的证明，括号内填依据 已知：如图，点在上，交于，交于，，，． 求证：． 证明：∵，∴， 又∵，∴， ∴____________∥____________，（________________） ∵， ∴____________∥____________，（________________） ∴____________∥____________，（_________________） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；平行于同一直线的两直线平行 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先证明，进而可证明，则，进一步证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，（内错角相等，两直线平行） ∵， ∴，（同旁内角互补，两直线平行） ∴．（平行于同一直线的两直线平行） 19. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． （1）请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； （2）在直线l上画出点P，使得的周长最小； （3）直接写出四边形的面积为 ． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）24 【解析】 【分析】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （3）利用梯形的面积公式计算即可； 【小问1详解】 如图，直线和 即为所求； ， 【小问2详解】 如图，连接，交直线l于点P，连接 此时，为最小值， 最小， 即的周长最小，则点P即为所求； ， 【小问3详解】 四边形的面积为： ． 20. 如图，长寿某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形），经测量，在四边形中，，，，，． （1）是直角三角形吗？为什么？ （2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析 （2）元． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用、三角形的面积公式．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． （1）先在中，利用勾股定理可求，在中，易求，再利用勾股定理的逆定理可知是直角三角形，且； （2）分别利用三角形的面积公式求出，即是四边形的面积，再乘以80，即可求总花费． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： 如图，在中，，，， ∴ 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，； 【小问2详解】 ∵，， ∴， 费用（元）． 答：铺满这块空地共需花费元． 21. 图1为2路公交车运行线路图（单位：米），小亮从家出发匀速步行到达车站A，等待了几分钟后坐上2路公交车，到达图书馆．若公交车全程速度保持不变，小亮离家的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示．请结合图象解答下列问题． （1）小亮家离车站A的距离为______米，在车站等了______分钟； （2）小亮的步行速度为______米/分；公交车的行驶速度为______米/分； （3）小亮下车后，这辆公交车继续行驶至终点站，休整30分钟，原路返回．若小亮想搭上同一辆公交车回家，求小亮最多在图书馆学习多长时间．（图书馆到图书馆站和各站点上下车时间均忽略不计） 【答案】（1）600，3 （2）60，600 （3）最多在图书馆学习90分钟 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确理解题意，读懂函数图象是解题的关键． （1）由图1和图2函数图象即可求解； （2）由图1和图2函数图象即可求解； （3）先求得公交车从图书馆站到终点站用时，根据题意列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：由图1可得小亮家离车站A的距离为600米，在车站等了分钟， 故答案为：600，3 【小问2详解】 解：小亮的步行速度为米/分； 公交车的行驶速度为米/分； 故答案为：60；600； 【小问3详解】 解：公交车从图书馆站到终点站用时分， 则同一辆公交车到达图书馆站需要时间分， 答：小亮最多在图书馆学习90分钟． 22. 如图，点C是的角平分线上一点，，，垂足分别为E，F．过点C作，交于点D，在射线上取一点B，使． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）4 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到； （2）证明，得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 当，时，试说明． 小明做如下尝试： ∵，， ∴=（①______）， =（②______）， ∴（③______） ∴…… 小丽做如下尝试： ∵，， ∴④______，⑤______， ∴ ∴…… （1）阅读上述材料并填空； （2）继续完成小明与小丽的说理． 【答案】（1）①；②；③；④5；⑤3；⑥ （2） 小明的证明： ∵，， ∴，， ∴； 即， ∴； 小丽的证明： ∵，， ∴，， ∴， 即， ∴， 整理得：． 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方、积的乘方，灵活运用幂的运算法则是解题的关键； （1）根据根据小明与小丽的尝试，利用幂的运算性质即可完成； （2）根据两人的尝试继续完成即可． 【小问1详解】 解：小明的尝试： ∵，， ∴，， ∴； 小丽的尝试： ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：①；②；③；④5；⑤3；⑥； 【小问2详解】 略 24. 有一张长方形纸片，点E是边上的一定点，点F是边上一动点，连接，将沿折叠得到；点G是边上一动点，连接，将沿折叠得到． （1）如图1，当折叠得到的与没有重叠部分时． ①当，时，______，______； ②若，求的度数． （2）如图2，当点落在直线上时，______，______； （3）如图3，当折叠得到的与有重叠部分时，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①；；② （2）；0 （3）， 理由如下： 设，， 则， ∴， ∵， 即， ∴， 即． 【解析】 【分析】本题考查了图形的翻折，角度的和差，由翻折前后角度不变且相等结合等量代换，利用平角为求解角度是解决本题的关键． （1）①根据平角为即可求解，再根据三角形翻折可得角度相等，即可求解； ②根据三角形翻折可得，，再由平角为，整体求解的度数，即可求解； （2）根据点落在直线，以及图形翻折可得，且这四个角相加为求解即可； （3）根据图形翻折可得，，设出未知数x和y，由平角表示出角的关系即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∴， 故答案为：；； ②∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∵， ∴， 即， 则有， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵由翻折得到，由由翻折得到， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ， 故答案为：；0； 【小问3详解】 略 25. （1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①；②或18 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①证明，则； ②过点E作交的延长线于点F，由①得，有；由面积关系得，设；分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段反向延长线上时；证明，则，从而利用建立关于x的方程，即可求解． 【详解】（1） 略 （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $