精品解析：广东省揭阳市惠来县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 

2024－2025学年广东省揭阳市惠来县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则取值范围是（ ） A B. C. D. 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A B. C. D. 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 5 7. 如图，，要使四边形成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（ ） A. B. C. D. 8. 酷爱思考的可培同学在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（ ） A. 正八边形和正方形 B. 正五边形和正八边形 C. 正六边形和正三角形 D. 正三角形和正方形 9. 如图，在中，对角线，相交于点，，，，则对角线的长是（ ） A. B. C. 12 D. 14 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不是 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 12. 已知一个正边形的每个内角都为，则_____． 13. 如图，数轴上表示关于的不等式组的解集是______． 14. 如图，在中，垂直平分．若的周长为，，则_________ ． 15. 如图，平行四边形纸片中，，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，则下列结论正确的是___________________． ①；②；③；④ 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）解不等式组： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在网格上，平移，并将一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． （1）请你作出平移后的图形； （2）线段与的关系是：______ 19. 如图，在中，． （1）过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，求的长． 20. 王老师准备购买A、B两种型号的圆珠笔．已知A型圆珠笔单价是B型圆珠笔单价的1.5倍．用60元钱单独购买B型圆珠笔可比单独购买A型圆珠笔多买5支． （1）求A、B两种型号圆珠笔单价各是多少； （2）王老师想购买A、B两种型号的圆珠笔共计15支，要求A、B两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过80元．求A型圆珠笔最多可购买多少支？ 21. 在中，E是的中点，相交于点F，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点O，若，则的长为_____________． 22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，连接，过点O作交直线于点F，求证：； （3）若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 23. 【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 （1）如图1，在对补四边形中，，则_____； （2）如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； （3）如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年广东省揭阳市惠来县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若分式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解不等式等知识点，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为零是解决此题的关键．根据分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：分式有意义， ， ，   故选：A ． 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，设，根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】解： 设， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为； 故选：C． 4. 若，则下列不等式正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质，两边同时加上或者减去相同数，或者两边同时乘以相同正数，不等号不变，不等式两边同时乘以相同负数，不等号要发生改变逐项进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ， ， 故B不符合题意； ， ， 故C不符合题意； ， ， 故D符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式基本性质，掌握不等式基本性质是解题关键． 5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）进行判定是解题的关键．根据因式分解的概念，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意； B、符合因式分解定义，符合题意； C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意； 故选：B． 6. 已知，，则的值为（ ） A. B. 6 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题因式分解、考查代数式求值，由，进行整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，，要使四边形成为平行四边形，还需要补充下列条件中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 直接利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形或者两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可． 【详解】∵在四边形中，，要使四边形是平行四边形， 还需添加一个条件是：或． 故选C． 8. 酷爱思考的可培同学在学习了平面镶嵌的知识后，决定为家里新装修的房子选择一些不同样式的瓷砖来铺设地板，在以下正多边形组合中，不能铺满地面的是（ ） A. 正八边形和正方形 B. 正五边形和正八边形 C. 正六边形和正三角形 D. 正三角形和正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了镶嵌， 先分别求出每种正多边形的一个内角，再根据内角和能否拼成可判断答案． 【详解】解：由正八边形的内角为，正方形的内角是， 可得， 所以正八边形和正方形能铺满地面， 则A不符合题意； 由正八边形的内角为，正五边形的内角是， 可得内角为，不能拼成， 所以正八边形和正五边形不能铺满地面， 则B符合题意； 由正六边形的内角为，正三角形的内角是， 可得， 所以正六边形和正三角形能铺满地面， 则C不符合题意； 由正三角形的内角为，正方形的内角是， 可得， 所以正三角形和正方形能铺满地面， 则D不符合题意． 故选：B． 9. 如图，在中，对角线，相交于点，，，，则对角线的长是（ ） A. B. C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得的值，再根据平行四边形的性质可得，，进而可根据勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 以上都不是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先解分式方程，再根据分式方程无解得出两种情况：当时，方程无解；当时，方程的解为，根据分式方程的分母为得出，此时分式方程无解；分别求出的值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得 整理，得， 当时，方程无解，此时； 当时，方程的解为， 关于的分式方程无解， ，即， ， 解得； 综上，的值为或， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题关键． 先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 已知一个正边形的每个内角都为，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要查了正多边形的内角和外角和问题．求出正边形的每个外角，即可求解． 【详解】解：∵正边形的每个内角都为， ∴它的每个外角都为， ∴． 故答案为：6 13. 如图，数轴上表示关于不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右＜向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：由图示可看出，从-1出发向右画出的折线且表示-1的点是空心圆，表示x>-1；从3出发向左画出的折线且表示3的点是实心圆，表示x≤3，不等式组的解集是指它们的公共部分． 所以这个不等式组的解集是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 14. 如图，在中，垂直平分．若的周长为，，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分，所以，因为的周长为，所以，则，即可作答． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，平行四边形纸片中，，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，则下列结论正确的是___________________． ①；②；③；④ 【答案】②④ 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解． 【详解】解：∵将平行四边形纸片折叠，使点与点重合 ∴根据翻折的性质可知， ∴，， ∴在和中， ∴， ∴ ∴（故②正确） ∴（故③错误） ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴（故④正确） ∵折痕与对角线没有重合， ∴对角线和不垂直 ∴不是菱形 ∴ ∴ ∴（故①错误）． 故答案是：②④ 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等知识点，体现了逻辑推理的核心素养． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握它们的解法是解题的关键． （1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）分别解不等式①、②，然后找出其公共部分即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘以， 得． ． 检验：当时，， 所以是原方程的解； （2）解： 解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以原不等式组的解集是． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先将的分子、分母分解因式，再约分化简，再计算减法，最后代入计算即可得出答案 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 18. 如图，在网格上，平移，并将的一个顶点A平移到点D处，其中点E和点B对应，点F与点C对应． （1）请你作出平移后的图形； （2）线段与的关系是：______ 【答案】（1）见解析； （2）平行且相等 【解析】 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （1）利用点A与点D的位置确定平移的方向与距离，利用此平移规律画出B、C点的对应点E、F即可； （2）根据平移的性质进行判断． 【小问1详解】 解：如图，△DEF为所作； 【小问2详解】 解：线段与的关系是平行且相等． 故答案为：平行且相等． 19. 如图，在中，． （1）过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质和角所对的直角边等于斜边的一半： （1）根据角平分线的作法，画出图形即可； （2）作于H，只要证明，根据角所对的直角边等于斜边的一半求得即可解决问题． 【小问1详解】 解：的平分线如图所示． 【小问2详解】 作于H， ∵平分， ∴， ， ∴， ∴． 20. 王老师准备购买A、B两种型号的圆珠笔．已知A型圆珠笔单价是B型圆珠笔单价的1.5倍．用60元钱单独购买B型圆珠笔可比单独购买A型圆珠笔多买5支． （1）求A、B两种型号的圆珠笔单价各是多少； （2）王老师想购买A、B两种型号的圆珠笔共计15支，要求A、B两种型号的圆珠笔都要购买且总费用不超过80元．求A型圆珠笔最多可购买多少支？ 【答案】（1）A型圆珠笔单价为6元/支，B型圆珠笔单价为4元/支 （2）A型圆珠笔最多可购买10支 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用． （1）设B型圆珠笔单价为x元/支，则A型圆珠笔单价为1.5x元/支，根据题意列出关于x的分式方程求解即可得出答案． （2）设A型圆珠笔购买a支，则B型圆珠笔可购买支，根据题意列出关于a的一元一次不等式，求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设B型圆珠笔单价为x元/支，则A型圆珠笔单价为1.5x元/支， 根据题意可得： 解得： 经检验：是原方程的解． 则 答：A型圆珠笔单价为6元/支，B型圆珠笔单价为4元/支． 【小问2详解】 解：设A型圆珠笔购买a支，则B型圆珠笔可购买支 根据题意可得： 解得： 答：A型圆珠笔最多可购买10支． 21. 在中，E是的中点，相交于点F，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接交于点O，若，则的长为_____________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得是的中位线，推出，结合即可求证； （2）由题意得，，，故可求出，，结合即可求解； 【小问1详解】 证明：∵E是的中点， ∴是的中位线， ∴， 即：， ∵， ∴四边形为平行四边形 【小问2详解】 解：∵是的中位线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为： 22. 如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到，直线交直线于点E． （1）求直线的函数表达式； （2）如图2，连接，过点O作交直线于点F，求证：； （3）若点P是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出结论，进而判断出得出，即可得出点C，D坐标，用待定系数法即可得出结论； （2）证明，即可得出是等腰直角三角形，即可得出结论； （3）分三种情况讨论，结合全等三角形的性质，一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、点B， 当时，，当，则， ∴， ∴， ∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 证明：由（1）得：， ∴， ∵，将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 和中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴等腰直角三角形， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 如图，当，此时轴，， ∴， 此时点P的坐标为； 如图，当，此时，， ∵将绕坐标原点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 当点Q在点D的右侧时，， ∴点Q的坐标为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得：， ∴点P的坐标为； 当点Q在点D的右侧时，， 同理可得直线为， ∴， ∴同理可得：点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，难度较大，判断出是解本题的关键． 23. 【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 （1）如图1，在对补四边形中，，则_____； （2）如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； （3）如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）①见解析；②，见解析 【解析】 【分析】（1）根据“对补四边形”的定义可得，再求解即可； （2）如图，连接，利用勾股定理，证明，再利用勾股定理可得答案； （3）①过点作于，作于．证明，再证明，即可得到答案；②求解，证明，可得．结合，可得，再进一步解答即可． 【小问1详解】 解：在对补四边形中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵四边形为对补四边形， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①过点作于，作于． 平分， ， ， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ． ②，理由见解析： 平分， ， ， ， ． ， ， ， 在中，， ∴，， ． ． 【点睛】本题考查的是新定义，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $