精品解析： 湖南省株洲市渌口区龙凤中学多校期末联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

湖南省株洲市渌口区朱亭镇中学多校期末联考2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 满分120分，时量共120分钟 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项字母填到表格对应的题号中） 1. 如果当时，分式的值为0，那么可以是（ ） A. B. C. D. 2 解分式方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 3. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（ ） A. B. C. 10 D. 15 4. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 5. 函数和在同一平面直角坐标系中大致图象可能是（ ） A B. C. D. 6. 据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ） A. 6，14 B. 22.5，14 C. 22.5，23 D. 22，23 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（ ）（不包含直角三角形全等） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。请将答案填在答题卡的答案卡上） 11. 声音在空气中传播的速度与气温（）之间的关系式为．当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为______． 12. 将的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______． 13. 如果关于的方程无实数根，那么的值为_____． 14. 若一组数据1，2，3，7，x的平均数是3，则这组数据的众数是___________． 15. 在显微镜下测得一个病毒的直径为，该数据用科学记数法表示为_________m． 16. 如图，反比例函数图象上有点A，轴交y轴于点B，点D，C在x轴上，平行四边形的面积为4，则反比例函数的表达式为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为_____． 18. 如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是______． 三、解答题（本大题有8个小题，第19~25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 20. 已知，求代数式的值． 21. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造米的道路比乙队改造同样长的道路少用天. （1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天的改造费用万元，乙队工作一天的改造费用为万元，如需改造的道路全长为米，改造总费用不超过万元，至少安排甲队工作多少天？ 22. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点． （1）求k，a，m，n值； （2）反比例函数图象上有两点，，试比较与的大小． 23. 山西某中学王老师为了选拔一名优秀的学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了6次测验，两位同学的测验成绩如表所示： （参考公式） 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均成绩 中位数 众数 方差 甲 83 85 90 80 85 87 85 a 85 b 乙 86 86 83 84 85 86 c 85.5 d 根据表中提供的数据，解答下列问题： （1）a的值为______，d的值为______． （2）求b和c的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定． （3）根据以上信息，你认王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由． 24. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 25. 如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG． （1）求证：四边形CEFG是菱形； （2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积． 26. 如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC． （1）如图1，求C点坐标； （2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，PA与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明； （3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省株洲市渌口区朱亭镇中学多校期末联考2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 满分120分，时量共120分钟 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效． 2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证分别在试题卷和答题卡上填写清楚． 3．答题完成后，请将试题卷、答题卡、草稿纸放在桌子上，由监考老师统一收回． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项字母填到表格对应的题号中） 1. 如果当时，分式的值为0，那么可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键． 直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案． 【详解】解：A．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； B．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意； C．当时，分式的值为0，故本选项符合题意； D．当时，分式没有意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 解分式方程，去分母得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握将分式方程转化成整式方程求解是解题的关键． 首先将方程右边的分母转化为与左边相同的分母形式，确定最简公分母为，然后两边同乘最简公分母，去分母得到整式方程． 【详解】解： 变形得． 方程两边同乘，得 ， 故选：A． 3. 小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（ ） A. B. C. 10 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，如图1中，连接，，交点为．在图2中，理由勾股定理求出，在图1中，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：如图1中，连接，，交点为， 在图2中，∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， 在图1中，∵，， ∴是等边三角形， ∴ ∵菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（ ） A. 75° B. 60° C. 55° D. 45° 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 5. 函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以判断各个选项中的函数图象是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数和一次函数 ∴当时，函数在第一、三象限，一次函数经过一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确； 当时，函数在第二、四象限，一次函数经过一、二、三象限，故选项C错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 6. 据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下： 鞋号 20 21 22 23 24 频数 1 8 6 14 1 则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（ ） A. 6，14 B. 22.5，14 C. 22.5，23 D. 22，23 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现最多的数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【详解】解：根据图表可知：23出现次数最多，则众数为23； 共有30双鞋， 中位数是地15、16个数的平均数， 中位数是． 故答案为：C． 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，由已知可得，再代入分式计算即可，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴原式， 故选：． 8. 从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出点的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线上的坐标的个数，根据随机事件概率的计算方法，即可得到答案． 【详解】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同数，点的坐标共有6种情况：，，，，，，并且它们出现的可能性相等． 点坐标在双曲线上有2种情况: ，． 所以，这个事件的概率为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率，关键是掌握随机事件概率的计算方法：如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 9. 若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握一次函数的图象和反比例函数的图象特征是解题关键． 根据一次函数的图象与反比例函数的图象特征逐项判断即可得． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者一致，但不满足，故此项错误，不符题意； B、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者不一致，且不满足，，故此项错误，不符题意； C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者一致，且满足，则此项正确，符合题意； D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者不一致，则此项错误，不符题意； 故选：C． 10. 如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（ ）（不包含直角三角形全等） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质，根据已知及全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案． 【详解】解：四边形为矩形，其矩形对角线相等且相互平分， ，，，，， 又，，， ∴，，， ∴故图中的全等三角形（不包含直角三角形全等）共有4对． 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。请将答案填在答题卡的答案卡上） 11. 声音在空气中传播速度与气温（）之间的关系式为．当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为______． 【答案】1695 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用．先求出当时声音在空气中传播的速度，根据路程等于速度乘以时间即可求出答案． 【详解】解：当时， ∴（米）． 答：此人与燃放烟花所在地距离是1695米． 故答案为：1695． 12. 将的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换．直接根据“上加下减”的原则进行解答． 【详解】解：将函数的图象向下平移1个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是：． 故答案为：． 13. 如果关于的方程无实数根，那么的值为_____． 【答案】6或14 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题、实数，熟练掌握分式方程的解法步骤是解题的关键．对方程去分母化为整式方程，再解整式方程得到，根据关于的方程无实数根可知或，得到关于的方程，求解方程即可得出答案． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 关于的方程无实数根， 或， 或， 解得：或， 的值为6或14． 故答案为：6或14． 14. 若一组数据1，2，3，7，x的平均数是3，则这组数据的众数是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平均数和众数，熟知一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数是解题关键． 根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可． 【详解】解：∵一组数据1，2，3，7，x的平均数是3， ∴， 解得， 则这组数据的众数即出现最多的数为2． 故答案为：2． 15. 在显微镜下测得一个病毒的直径为，该数据用科学记数法表示为_________m． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】用科学记数法表示为：， 故答案为：． 16. 如图，反比例函数图象上有点A，轴交y轴于点B，点D，C在x轴上，平行四边形的面积为4，则反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的几何意义，设反比例函数表达式为，设，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】设反比例函数表达式为，设 ∵反比例函数图象上有点A， ∴ ∵轴，平行四边形的面积为4， ∴ ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限 ∴ ∴反比例函数表达式． 故答案为：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解两直线交点的含义是解题的关键． 根据两直线交点得到对应二元一次方程组的解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为： ． 18. 如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． 如图所示，作D关于直线的对称点，连接，，先证明得到，则，从而推出当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，作D关于直线的对称点，连接，， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 在中，． 故答案为：． 三、解答题（本大题有8个小题，第19~25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E． （1）若，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）的周长是8 （2）的度数是 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， 又， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 已知，求代数式的值． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握的基本性质，是解题的关键．先将分式化简为，然后再根据，求出结果即可． 【详解】解： ． ∵， ∴． ∴原式 21. 市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造米的道路比乙队改造同样长的道路少用天. （1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天的改造费用万元，乙队工作一天的改造费用为万元，如需改造的道路全长为米，改造总费用不超过万元，至少安排甲队工作多少天？ 【答案】（1）乙工程队每天能改造道路的长度为米，甲工程队每天能改造道路的长度为米.（2）至少安排甲队工作天 【解析】 【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作 天，根据总费用=甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间，结合改造总费用不超过220万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米. 根据题意得： 解得, 检验：当时， 原分式方程的解是, . 答：乙工程队每天能改造道路的长度为米，甲工程队每天能改造道路的长度为米. （2）设安排甲队工作天，则安排乙队工作天， 根据题意得： 解得 答：至少安排甲队工作天. 【点睛】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点． （1）求k，a，m，n的值； （2）反比例函数图象上有两点，，试比较与的大小． 【答案】（1） （2）当或时，，当时， 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题、反比例函数的图象和性质等知识，正确求出函数解析式是关键． （1）利用借助已知点的坐标利用待定系数法解答即可； （2）根据的取值范围，利用反比例函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：把点代入得：， 把代入得：， 把代入得： ， 解得， ． 【小问2详解】 由题意可知，，且反比例函数在每一象限上随增大而减小． ①当时，点在第一象限反比例函数图象上，故； ②当时，即，点在第三象限反比例函数图象上，故； ③当，且时，即，点分别在第三象限，第一象限反比例函数图象上，故． 综上所述，当或时，，当时，． 23. 山西某中学王老师为了选拔一名优秀的学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了6次测验，两位同学的测验成绩如表所示： （参考公式） 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均成绩 中位数 众数 方差 甲 83 85 90 80 85 87 85 a 85 b 乙 86 86 83 84 85 86 c 85.5 d 根据表中提供的数据，解答下列问题： （1）a的值为______，d的值为______． （2）求b和c的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定． （3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由． 【答案】（1）85，86 （2），；乙的成绩更稳定 （3）选择乙同学．理由：甲乙同学成绩的平均数相同，且乙同学成绩的中位数更大，方差更小，成绩更稳定． 【解析】 【分析】（1）将甲的成绩按照从低到高的顺序排列，求出a值，根据众数的定义求出d的值． （2）根据平均数的定义求出c值，再利用题中所给的方差公式求b值，再对比两位同学的平均数、中位数、众数及方差确定成绩稳定的人． （3）平均数相同的情况下，应选择中位数较大且成绩稳定的同学参赛． 【小问1详解】 甲同学成绩从低到高排序为：80，83，85，85，87，90； 则中位数； 观察乙同学的成绩，出现次数最多的成绩为86，故众数． 【小问2详解】 根据平均数的定义，； 根据题中所给的方差公式， ． 由于甲乙同学成绩的平均数相同，而甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差， 故乙的成绩更稳定． 【小问3详解】 选择乙同学． 理由：甲乙同学成绩的平均数相同，且乙同学成绩的中位数更大，方差更小，成绩更稳定． 【点睛】本题考查平均数、中位数、众数、方差的求解，解决本题的关键是熟知各指标的求解方法． 24. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形； （2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠C，AD＝CB，根据全等三角形的性质和平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，求得AD＝DF，根据勾股定理的逆定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD＝CB， 在△DAE和△BCF中 ∴△DAE≌△BCF（SAS）， ∴DE＝BF， ∵AB＝CD，AE＝CF， ∴AB-AE＝CD-CF， 即DF＝BE， ∵DE＝BF，BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠DFA＝∠BAF， ∵AF平分∠DAB， ∴∠DAF＝∠BAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， ∵四边形DEBF是平行四边形， ∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4， ∴AD＝5， ∵AE＝3，DE＝4， ∴AE2+DE2＝AD2， ∴∠AED＝90°， ∵DE∥BF， ∴∠ABF＝∠AED＝90°， ∴AF＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理及逆定理，能综合运用知识点进行推理是解题的关键． 25. 如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG． （1）求证：四边形CEFG是菱形； （2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积． 【答案】（1）见解析 （2）四边形CEFG的面积为． 【解析】 【分析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立； （2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得EF和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积． 【小问1详解】 证明：由题意可得， △BCE≌△BFE， ∴∠BEC=∠BEF，FE=CE， ∵FG∥CE， ∴∠FGE=∠CEB， ∴∠FGE=∠FEG， ∴FG=FE， ∴FG=EC， ∴四边形CEFG是平行四边形， 又∵CE=FE， ∴四边形CEFG菱形； 【小问2详解】 解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF， ∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10， ∴AF=8， ∴DF=2， 设EF=x，则CE=x，DE=6-x， ∵∠FDE=90°， ∴22+（6-x）2=x2， 解得，x=， ∴CE=， ∴四边形CEFG的面积是：CE•DF=×2=． 【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 26. 如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC． （1）如图1，求C点坐标； （2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，PA与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明； （3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标． 【答案】（1）（1，﹣4） （2）相等和垂直，见解析 （3）135°；（1，0） 【解析】 【分析】（1）作CH⊥y轴于H，证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C点坐标； （2）证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的性质得到PA=CQ，再证明CQOH，即可证垂直； （3）根据C、P，Q三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP，得到P点坐标． 【小问1详解】 解：作CH⊥y轴于H， 则∠BCH+∠CBH=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠ABO+∠CBH=90°， ∴∠ABO=∠BCH， 在△ABO和△BCH中，， ∴△ABO≌△BCH， ∴BH=OA=3，CH=OB=1， ∴OH=OB+BH=4， ∴C点坐标为（1，-4）； 【小问2详解】 解：相等和垂直， ∵∠PBQ=∠ABC=90°， ∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC， 在△PBA和△QBC中，， ∴△PBA≌△QBC， ∴PA=CQ， ∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC， ∴∠OAB=∠BCH=∠QCB， ∴CQOH， ∵CH⊥OA， ∴PA⊥CQ； 【小问3详解】 解：∵△BPQ是等腰直角三角形， ∴∠BQP=45°， 当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°， 由（2）可知，△PBA≌△QBC， ∴∠BPA=∠BQC=135°， ∴∠OPB=45°， ∴OP=OB=1， ∴P点坐标为（1，0）． 【点睛】本题考查的是坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$