安徽省宿城第一初级中学2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

安徽省宿州市埇桥区宿城一中2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是符合题目要求的。 1．（3分）下列计算结果正确的是（　　） A．3a2﹣2a＝a B．（2a3b）3＝6a9b3 C．﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab﹣2a D．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2 2．（3分）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，球形冠状病毒的直径是0.00000012米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（　　） A．1.2×10﹣7米 B．1.2×10﹣8米 C．12×10﹣8米 D．12×10﹣7米 3．（3分）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 4．（3分）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（　　） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 5．（3分）如图，A、B为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点O，测得OA＝16米，OB＝12米，A、B间的距离可能是（　　） A．25米 B．30米 C．35米 D．40米 6．（3分）如图，已知∠B＝∠D，AC＝AE，欲证△ABC≌△ADE，需补充的条件是（　　） A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．∠DAC＝∠CAD 7．（3分）等腰三角形的周长是23cm，一边长为11cm，则它的腰长为（　　）cm． A．6 B．11 C．11或6 D．无法确定 8．（3分）圆圆出门散步，从家出发走了20min到达高家900m的广场，看到大家正在跳舞，也加入了其中，度过了愉快的20min后，再用15min回到家中．下面图象能表示圆圆离家距离y（m）与外出时间x（min）之间关系的是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 10．（3分）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5为（　　） A．205﹣1 B．205 C．195+1 D．195 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）若关于x的二次三项式x2﹣kx+36是完全平方式，则k的值是 　 　 ． 12．（4分）已知x+y﹣2＝0，则4x•22y的值是 　 　 ． 13．（4分）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD，BE为折痕，∠ABE＝34°，则∠CBD＝ 　 　 度． 14．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝9cm，如果△ABD的周长为39cm，则△ABC的周长是 　 　 cm． 15．（4分）如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，且BD＝CD，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E． （1）∠ABC的度数为 　 　 ． （2）若E为CD的中点，ME＝1，则NE＝　 　 ． 三、解答题（本大题共8小题，共70分） 16．（4分）计算：9÷|﹣3|﹣16×（﹣2）﹣2﹣（﹣1）2025． 17．（6分）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2﹣（x2﹣5y2）]÷（﹣2x），其中x，y满足x﹣y＝﹣2． 18．（8分）如图，在边长为单位1的正方形网格中有△ABC，点A，B，C都在格点上． （1）在图中画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1； （2）在直线MN上画出点P，使得AP+BP最小； （3）求△ABC的面积． 19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E，F分别在BC，CD上，EF⊥CD． （1）判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由． （2）若∠A＝100°，BD平分∠ABC，求∠ADC的度数． 20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AB上一点，连接ED并延长至点F，使DF＝ED，连接CF．求证：∠AED+∠F＝180°． 21．（10分）一个不透明的口袋中装有8个白球和12个红球，每个球除颜色外都相同． （1）求从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率； （2）从口袋中取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值． 22．（10分）一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题： （1）开始时，汽车的油量a＝　 　 升； （2）在行驶了　 　 小时汽车加油，加了　 　 升，写出加油前Q与t之间的关系式　 　 ； （3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？ 23．（12分）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC；△DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝30°），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，易证△ABM≌△BCN，若AM＝2，CN＝7，则MN＝　 　 ； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE＝5，BE＝1，连接CE，则△ACE的面积为 　 　 ． 安徽省宿州市埇桥区宿城一中2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A． D C A C C A C D 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项是符合题目要求的。 1．（3分）下列计算结果正确的是（　　） A．3a2﹣2a＝a B．（2a3b）3＝6a9b3 C．﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab﹣2a D．（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2 【分析】根据这些知识逐项判断即可． 【解答】解：A、3a2，﹣2a非同类项，不能合并，计算错误，不符合题意； B、（2a3b）3＝8a9b3，计算错误，不符合题意； C、﹣2（ab﹣a）＝﹣2ab+2a，计算错误，不符合题意； D、（﹣a+b）（a+b）＝b2﹣a2，计算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了去括号与添括号，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键． 2．（3分）冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，球形冠状病毒的直径是0.00000012米，则这种冠状病毒的直径用科学记数法表示为（　　） A．1.2×10﹣7米 B．1.2×10﹣8米 C．12×10﹣8米 D．12×10﹣7米 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7． 故选：A． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【分析】利用三角形稳定性解答． 【解答】解：跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势，可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定性，这里所运用的几何知识是三角形的稳定性， 故选：D． 【点评】本题主要考查三角形稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 4．（3分）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（　　） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【分析】用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到抽到该球的概率为0.20，再分别计算出抽到四种颜色的球的概率即可得到答案． 【解答】解：观察统计图可知：该球的频率稳定在0.20左右，所以抽到该球的概率为0.20， ∵抽到白球的概率为＝0.4， 抽到红球的概率为＝0.3， 抽到黄球的概率为＝0.2， 抽到黑球的概率为＝0.1， ∴该种球的颜色最有可能是黄球． 故选：C． 【点评】本题考查l利用频率估计概率，理解频率、概率的意义和相互关系是正确解答的关键． 5．（3分）如图，A、B为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点O，测得OA＝16米，OB＝12米，A、B间的距离可能是（　　） A．25米 B．30米 C．35米 D．40米 【分析】直接根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：∵OA＝16米，OB＝12米， ∴16﹣12＜AB＜16+12，即4＜AB＜28， ∴25米符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 6．（3分）如图，已知∠B＝∠D，AC＝AE，欲证△ABC≌△ADE，需补充的条件是（　　） A．AB＝AD B．BC＝DE C．∠1＝∠2 D．∠DAC＝∠CAD 【分析】根据全等三角形的判定方法对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案． 【解答】解：对于选项A，当AB＝AD时， 又∵∠B＝∠D，AC＝AE， ∴此时不能判定△ABC和△ADE全等， ∴补充条件A不能判定△ABC和△ADE全等， 故选项A不符合题意； 对于选项B，当BC＝DE时， 又∵∠B＝∠D，AC＝AE， ∴此时不能判定△ABC和△ADE全等， ∴补充条件B不能判定△ABC和△ADE全等， 故选项B不符合题意； 对于选项C，当∠1＝∠2时， ∴∠1+∠ADC＝∠2+∠ADC， 即∠BAC＝∠DAE， 又∵∠B＝∠D，AC＝AE， ∴可依据“AAS”判定△ABC≌△ADE， ∴补充条件C可以判定△ABC和△ADE全等， 故选项C符合题意； 对于选项D，当∠DAC＝∠CAD时，不能得出∠BAC＝∠DAE， ∴此时不能判定△ABC和△ADE全等， ∴补充条件D不能判定△ABC和△ADE全等， 故选项D不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL（判定直角三角形全等）．特别要注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 7．（3分）等腰三角形的周长是23cm，一边长为11cm，则它的腰长为（　　）cm． A．6 B．11 C．11或6 D．无法确定 【分析】分两种情况：①底边长为11cm；②腰长为11cm；再进一步解答即可． 【解答】解：∵等腰三角形的周长是23cm，一条边长为11cm， ∴分两种情况：①底边长为11cm；②腰长为11cm；则： 当底边长为11cm时，设腰长为x cm，得11+2x＝23， 解得x＝6，符合题意，故腰长为6cm； 当腰长为11cm时，底边长为23﹣11﹣11＝1（cm），符合题意； 综上：腰长为6cm或11cm， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查等腰三角形性质，三角形三边关系，熟记等腰三角形性质，分类讨论是解决问题的关键． 8．（3分）圆圆出门散步，从家出发走了20min到达高家900m的广场，看到大家正在跳舞，也加入了其中，度过了愉快的20min后，再用15min回到家中．下面图象能表示圆圆离家距离y（m）与外出时间x（min）之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，结合选项逐项判断即可得到答案． 【解答】解：根据题意圆圆出门散步，从家出发走了20min到达高家900m的广场，随着时间增加，圆圆离家距离y（m）在增加； 圆圆看到大家跳舞看了20min，圆圆离家距离y（m）在不变； 圆圆再用15min回到家中，圆圆离家距离y（m）在减小； 综上所述，能表示圆圆离家距离y（m）与外出时间x（min）之间关系的图象是： 故选：A． 【点评】本题考查图象法表示实际问题的变量关系，掌握数形结合是解决问题的关键． 9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交AB，AC于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D．若△ACD的面积为6，则△ABD的面积是（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 【分析】过点D作DG⊥AB于点G，根据题意得∠DAC＝∠GAC，利用角的平分线性质，三角形面积性质解答即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，△ACD的面积为6，如图，过点D作DG⊥AB于点G， 根据题意，得AD平分∠BAC，DG＝DC，BD＝2DG＝2DC， ∴∠DAC＝∠GAD， ∴， ∵△ACD的面积为6， ∴S△ABD＝2S△ACD＝12， 故选：C． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 10．（3分）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1、B1C1、C1A1至点A2、B2、C2，使得A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1＝2C1A1，顺次连接A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为S2；…；按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积S5为（　　） A．205﹣1 B．205 C．195+1 D．195 【分析】根据高的比等于面积比推理出△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，则△A1B1B的面积是△A1BC面积的3倍…，以此类推，得出△A2B2C2的面积． 【解答】解：连接A1C，根据A1B＝2AB，得到：AB：A1A＝1：3， 因而若过点B，A1作△ABC与△AA1C的AC边上的高，则高线的比是1：3， 因而面积的比是1：3，则△A1BC的面积是△ABC的面积的2倍， 设△ABC的面积是a，则△A1BC的面积是2a， 同理可以得到△A1B1C的面积是△A1BC面积的2倍，是4a， 则△A1B1B的面积是6a， 同理△B1C1C和△A1C1A的面积都是6a， △A1B1C1的面积是19a， 即△A1B1C1的面积是△ABC的面积的19倍， 同理△A2B2C2的面积是△A1B1C1的面积的19倍， 即△A1B1C1的面积是19，△A2B2C2的面积192， 依此类推，△A5B5C5的面积是S5＝195． 故选：D． 【点评】考查了三角形的面积．正确判断相邻的两个三角形面积之间的关系是解决本题的关键，本题的难度较大． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．（4分）若关于x的二次三项式x2﹣kx+36是完全平方式，则k的值是 　±12　 ． 【分析】由于（x±6）2＝x2±12x+36，且x2﹣kx+36是完全平方式，使关于x的一次项系数相同即可得出答案． 【解答】解：∵（x±6）2＝x2±12x+36且关于x的二次三项式x2﹣kx+36是完全平方式， ∴k＝±12． 故答案为：±12． 【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特征是解题的关键． 12．（4分）已知x+y﹣2＝0，则4x•22y的值是 　16　 ． 【分析】根据同底数幂的乘法法则及幂的乘方法则解答即可． 【解答】解：由条件可知x+y＝2， ∴原式＝22x•22y＝22x+2y＝24＝16． 故答案为：16． 【点评】本题考查了同底数幂的乘法及幂的乘方逆用．熟练掌握该知识点是关键． 13．（4分）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD，BE为折痕，∠ABE＝34°，则∠CBD＝ 　56　 度． 【分析】根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′，再根据平角的度数是180°，∠ABE＝34°，继而即可求出答案． 【解答】解：根据翻折的性质可知，∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′， 又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′＝180°， ∴∠ABE+∠DBC＝90°， 又∵∠ABE＝34°， ∴∠DBC＝56°． 故答案为：56． 【点评】此题考查了角的计算、翻折变换，根据翻折变换的性质得出∠ABE＝∠A′BE，∠DBC＝∠DBC′是解题的关键． 14．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝9cm，如果△ABD的周长为39cm，则△ABC的周长是 　57　 cm． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC和AC＝2AE＝18cm，根据三角形的周长公式计算即可求解． 【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴DA＝DC，AC＝2AE＝18cm， ∵△ABD的周长＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝39cm， ∴AB+BC+AC＝18+39＝57（cm）， 即△ABC的周长为57cm， 故答案为：57． 【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质的熟练掌握． 15．（4分）如图，在△ABC中，过点C作CD⊥AB于点D，且BD＝CD，过点B作BM⊥AC于点M，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N，CD与BM交于点E． （1）∠ABC的度数为 　45°　 ． （2）若E为CD的中点，ME＝1，则NE＝　3　 ． 【分析】（1）根据CD⊥AB，BD＝CD得出三角形BCD为等腰直角三角形，即可得出； （2）证明△DBN≌△DCM，得出DM＝DN，过点D作DF⊥MN于点F，ND⊥MD，点E是CD的中点，证明△DEF≌△CEM，得出ME，最后根据NE＝NF+EF＝MF+EF即可得出． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB，且BD＝CD， ∴∠ABC＝45°． 故答案为：45°； （2）∵CD⊥AB，DN⊥MD， ∴∠BDC＝∠NDM＝90°， ∴∠BDN＝∠CDM， ∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD， 在△DBN和△DCM中， ， ∴△DBN≌△DCM（ASA）． ∴DM＝DN． 如图，过点D作DF⊥MN于点F，又ND⊥MD， ∴， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△DEF和C M中， ， ∴△DEF≌△CEM（AAS）， ∴ME＝EF＝1． ∵DM＝DN， ∴NF＝MF， ∴NE＝NF+EF＝MF+EF＝2+1＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共8小题，共70分） 16．（4分）计算：9÷|﹣3|﹣16×（﹣2）﹣2﹣（﹣1）2025． 【分析】根据绝对值、负整数指数幂、乘方的运算法则化简，再利用有理数的运算法则计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝3﹣4+1 ＝0． 【点评】本题考查了负整数指数幂、有理数的乘方，熟练掌握负整数指数幂的运算法则是解题的关键． 17．（6分）先化简，再求值：[（x+2y）（x﹣2y）﹣（2x﹣y）2﹣（x2﹣5y2）]÷（﹣2x），其中x，y满足x﹣y＝﹣2． 【分析】先根据平方差公式、完全平方公式、去括号法则、合并同类项法则和多项式除以单项式法则进行化简，然后把化简结果写成含有x﹣y的形式，整体代入进行计算即可． 【解答】解：原式＝[x2﹣4y2﹣（4x2﹣4xy+y2）﹣（x2﹣5y2）]÷（﹣2x） ＝（x2﹣4y2﹣4x2+4xy﹣y2﹣x2+5y2）÷（﹣2x） ＝（﹣4x2+4xy）÷（﹣2x） ＝2x﹣2y， 当x﹣y＝﹣2时， 原式＝2（x﹣y） ＝2×（﹣2） ＝﹣4． 【点评】本题主要考查了整式的混合运算与化简求值，解题关键是熟练掌握平方差公式、完全平方公式、去括号法则、合并同类项法则和多项式除以单项式法则． 18．（8分）如图，在边长为单位1的正方形网格中有△ABC，点A，B，C都在格点上． （1）在图中画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1； （2）在直线MN上画出点P，使得AP+BP最小； （3）求△ABC的面积． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）连接BA1交直线MN于点P，连接PA，点P即为所求； （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【解答】解：（1）如图△A1B1C1；即为所求； （2）如图，点P即为所求； （3）△ABC的面积＝3×3﹣×2×3﹣×1×3﹣×1×2＝3.5． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 19．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥CD，点E，F分别在BC，CD上，EF⊥CD． （1）判断∠1与∠2的大小关系，并说明理由． （2）若∠A＝100°，BD平分∠ABC，求∠ADC的度数． 【分析】（1）由AD∥BC得到∠1＝∠DBC，由BD⊥CD，EF⊥CD得到BD∥EF，从而∠2＝∠DBC，进而即可解答； （2）由AD∥BC求得∠ABC＝180°﹣∠A＝80°，根据BD平分∠ABC得到，从而∠1＝∠DBC＝40°，进而即可解答． 【解答】解：（1）∠1＝∠2，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠1＝∠DBC， ∵BD⊥CD，EF⊥CD， ∴BD∥EF， ∴∠2＝∠DBC， ∴∠1＝∠2； （2）∵AD∥BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠1＝∠DBC＝40°， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠1+∠BDC＝40°+90°＝130°． 【点评】本题考查平行线的判定及性质，掌握垂直的定义是解题的关键． 20．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AB上一点，连接ED并延长至点F，使DF＝ED，连接CF．求证：∠AED+∠F＝180°． 【分析】根据等腰三角形的性质求出BD＝CD，利用SAS证明△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质求出∠B＝∠DCF，再根据平行线的判定与性质求证即可． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（SAS）， ∴∠B＝∠DCF， ∴AB∥CF， ∴∠AED+∠F＝180°． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 21．（10分）一个不透明的口袋中装有8个白球和12个红球，每个球除颜色外都相同． （1）求从口袋中随机摸出一个球是红球这一事件的概率； （2）从口袋中取走x个红球后，再放入x个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，求x的值． 【分析】（1）根据概率公式计算概率即可； （2）根据口袋中有（8+x）个白球和（12﹣x）个红球，共有20个球，再根据概率公式列方程即可解答． 【解答】解：（1）口袋中装有8个白球和12个红球，共有20个球， ∴从口袋中随机摸出一个球是红球的概率是＝； （2）由题意，口袋中有（8+x）个白球和（12﹣x）个红球，共有20个球， ∴从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是， 解得x＝8． 【点评】本题考查了用概率公式计算概率，解题关键是熟练运用概率公式计算． 22．（10分）一辆汽车油箱内有油a升，从某地出发，每行驶1小时耗油6升，若设剩余油量为Q升，行驶时间为t/小时，根据以上信息回答下列问题： （1）开始时，汽车的油量a＝　42　 升； （2）在行驶了　5　 小时汽车加油，加了　24　 升，写出加油前Q与t之间的关系式　Q＝﹣6t+42（0≤t≤5）　 ； （3）当这辆汽车行驶了9小时，剩余油量多少升？ 【分析】（1）观察函数图象，即可得出结论； （2）察函数图象即可得加油时的时间和加油数量，再根据加油前油箱剩余油量＝42﹣每小时耗油量×行驶时间，即可得出结论，再用待定系数法求出函数解析式； （3）根据题意列式计算即可解答． 【解答】解：（1）开始时，汽车的油量a＝42升； 故答案为：42． （2）在5小时汽车加油，加了：36﹣12＝24（升）， 机动车每小时的耗油量为（42﹣12）÷5＝6（升）， ∴加油前油箱剩余油量Q与行驶时间t的函数关系为Q＝kt+b，（0≤t≤5）， 把（0，42）和（5，12）代入得：， 解得：， 函数关系式为：Q＝﹣6t+42（0≤t≤5）． 故答案为：5；24；Q＝﹣6t+42（0≤t≤5）． （3）36﹣6×（9﹣5）＝12（升）， 答：这辆汽车行驶9小时，剩余油量12升． 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象找出结论；（2）根据数量关系，列出函数关系式． 23．（12分）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC；△DEF中，∠DEF＝90°，∠EDF＝30°），并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点B摆放在线段DF上时，过点A作AM⊥DF，垂足为点M，过点C作CN⊥DF，垂足为点N，易证△ABM≌△BCN，若AM＝2，CN＝7，则MN＝　9　 ； 【类比】（2）如图2，将两个三角板叠放在一起，当顶点B在线段DE上且顶点A在线段EF上时，过点C作CP⊥DE，垂足为点P，猜想AE，PE，CP的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图3，将两个三角板叠放在一起，当顶点A在线段DE上且顶点B在线段EF上时，若AE＝5，BE＝1，连接CE，则△ACE的面积为 　10　 ． 【分析】（1）由△ABM≌△BNC得AM＝BN，CN＝BM，进而得出结果； （2）由“AAS”可证△CPB≌△BEA，从而得出AE＝BP，CP＝BE，进一步得出结论； （3）由（2）得：CG＝BE＝1，进而求得△BCE，△ABC和△ABE的面积，进而得出结果． 【解答】解：（1）∵△ABM≌△BCN， ∴AM＝BN，CN＝BM， ∴MN＝BN+BM＝AM+CN＝2+7＝9， 故答案为：9； （2）PE＝CP﹣AE，理由如下： ∵∠ABC＝90°． ∴∠ABE+∠CBE＝90°， ∵CP⊥BE， ∴∠CPB＝90°， ∴∠BCP+∠CBP＝90°， ∴∠ABE＝∠BCP， ∵∠AEB＝90°， ∴∠AEB＝∠CPB＝90°， 在△ABE和△BCP中， ， ∴△ABE≌△BCP（AAS）， ∴AE＝BP，BE＝CP， ∵BE＝BP+PE， ∴PE＝BE﹣BP＝PC﹣AE； ∴PE＝CP﹣AE； （3）解：如图，过点C作CG⊥直线EF于G， 作CG⊥EF，交FE的延长线于G， 由（2）得：CG＝BE＝1， ∴S△BCE＝BE•CG＝， ∵∠AEB＝90°，AE＝5，BE＝1， ∴BC2＝AB2＝52+12＝26 ∴S△ABC＝AB2＝13， ∵S△ABE＝AE•BE＝×5×1＝， ∴S△ACE＝S△ABC﹣S△ABE﹣S△BCE＝10， 故答案为：10． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$