河南省郑州市惠济第一初级中学2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷

河南省郑州市惠济第一初级中学2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列汉字中，可看成是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．足球运动员射门一次，球射进球门 B．随意翻开一本书，这页的页码是奇数 C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180° 4．（3分）下列式子不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣x+1）（﹣x﹣1） C．（y+1）（﹣y﹣1） D．（m﹣1）（﹣1﹣m） 5．（3分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（　　） A．15° B．85° C．95° D．115° 7．（3分）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，测得MB的长是20米，BC的长是30米，则A，B两点间的距离为（　　） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 8．（3分）如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图3中的（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 9．（3分）如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为（　　） A．124° B．102° C．92° D．88° 10．（3分）如图1，在长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，对角线AC＝5cm，动点P从点C出发，沿C﹣A﹣D﹣C运动．设点P的运动路程为x（cm）、△BCP的面积为y（cm2）．若y与x的对应关系如图2所示，则图2中a﹣b＝（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）用科学记数法表示0.0000061为　 　 ． 12．（3分）如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段　 　 ． 13．（3分）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板拼成的正方形（如图所示）做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，则小球最终停留在阴影区域上的概率是 　 　 ． 14．（3分）小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的函数关系式为 　 　 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝70°，点M为AC的中点，点P为BC上一个动点，以MP为对称轴将△MPC折叠得到△MPN，点N为点C的对应点，且点N始终在BC的下方，当AB与△MPN的一条边平行时，∠MPN的度数为　 　 ． 三、解答题（共8题，共75分） 16．（12分）计算： （1）（﹣x2）5÷x+2x6•x3； （2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2； （3）2a2（3a2﹣5b）； （4）（5x+2y）（3x﹣2y）． 17．（8分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣．y＝1． 18．（9分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 19．（9分）一个不透明的袋中有红、黄、白三种颜色球共50个，它们除了颜色外其他都相同，其中黄球个数比白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个红球的概率是． （1）求袋中白球的个数． （2）求从袋中摸出一个球是黄球的概率． （3）取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 20．（9分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图： ①作线段AB的对称轴，分别交BC，AB于点D，E；②连接AD． （要求：1．在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法：2．铅笔完成作图后，用黑色水笔描黑，以保证阅卷扫描清晰．） （2）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为 　 　 ； （3）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数． 21．（9分）被誉为“天下第一名刹”的嵩山少林寺是佛教禅宗的发源地，也是享誉世界的少林武术发源地，更是嵩山文化主要代表地之一．周末上午，小明和爸爸妈妈去少林寺游玩，他们的游玩攻略如图1所示，早上9：00从景区入口进山，坐景区观光车匀速到达塔林，在塔林参观历代高僧的墓塔，游玩一段时间后匀速步行到常住院参观少林寺的主体建筑和佛教文化……游玩过程中他们离入口的路程s（米）与所用时间t（分）的关系如图2所示（图象不完整）． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）入口到塔林的路程为　 　 米，小明在塔林游玩了　 　 分钟； （2）图2中点M表示的实际意义是　 　 ； （3）观光车的速度为　 　 米/分钟；小明从塔林到常住院的步行速度为　 　 米/分钟； （4）常住院与武术馆之间的距离为1200米，小明按原速度（塔林到常住院的步行速度）步行到武术馆后，准备在武术馆观看少林武术表演30分钟，武术馆与出口之间的距离为1600米，小明准备乘坐观光车到景区出口，观光车的速度与来时速度相同，若观光车随时可坐无需等待，他们上午11：00可以到达景区出口吗？ 22．（9分）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积． 方法1：　 　 ； 方法2：　 　 ； （2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系：　 　 ； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知a+b＝6，a2+b2＝20，求ab的值； ②已知（2024﹣a）2+（a﹣2025）2＝7，求（2024﹣a）（a﹣2025）的值． 23．（10分）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿长方形的边AB﹣BC﹣CD﹣DA返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒． （1）当t＝8时，求CP的长； （2）连接CP，DP，当△CDP中有任意两边相等时，求t的值； （3）Q为AD边上的一点，且AQ＝6cm，直接写出当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等． 河南省郑州市惠济第一初级中学2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C D C C D C C 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．（3分）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列汉字中，可看成是轴对称图形的为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．（3分）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．足球运动员射门一次，球射进球门 B．随意翻开一本书，这页的页码是奇数 C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180° 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】解：A、足球运动员射门一次，球射进球门，是随机事件； B、随意翻开一本书，这页的页码是奇数，是随机事件； C、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件； D、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件； 故选：D． 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（3分）下列式子不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣x+1）（﹣x﹣1） C．（y+1）（﹣y﹣1） D．（m﹣1）（﹣1﹣m） 【分析】根据平方差公式的特点逐个判断即可． 【解答】解：A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； B．（﹣x+1）（﹣x﹣1）＝（﹣x）2﹣12，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； C．（y+1）（﹣y﹣1）＝﹣（y+1）（y+1）＝﹣（y+1）2，不能用平方差公式进行计算，故本选项符合题意； D．（m﹣1）（﹣1﹣m）＝（﹣1）2﹣m2，能用平方差公式进行计算，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，能熟记平方差公式是解此题的关键，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 5．（3分）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，设三角形第三边长是x，由此得到3＜x＜7，即可得到答案． 【解答】解：设三角形第三边长是x， 由三角形三边关系定理得：5﹣2＜x＜5+2， ∴3＜x＜7， ∴三角形第三边长可以是4． 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三边关系定理． 6．（3分）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝85°，则∠2＝（　　） A．15° B．85° C．95° D．115° 【分析】根据两直线平行，内错角相等，和邻补角关系计算即可． 【解答】解：如图，根据生活意义，得到a， ∴∠3＝∠1＝85°； ∵∠3+∠2＝180°， ∴∠3＝95°． 故选：C． 【点评】本题考查了两直线平行，内错角相等，和邻补角关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 7．（3分）如图，为了测量B点到河对岸的目标A之间的距离，在与B点同侧的河岸上选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝65°，∠MCB＝30°，测得MB的长是20米，BC的长是30米，则A，B两点间的距离为（　　） A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【分析】根据“ASA”定理可证明△ABC≌△MBC，那么AB＝BM＝20米． 【解答】解：∵∠ABC＝65°，∠ACB＝30°，∠CBM＝65°，∠MCB＝30°， ∴∠ABC＝∠CBM，∠ACB＝∠MCB＝30°， 在△ABC和△MBC中， ， ∴△ABC≌△MBC（ASA）， ∴AB＝BM＝20（米）， 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的应用．根据“ASA”定理证得△ABC≌△MBC是解决本题的关键． 8．（3分）如图1，有一张长、宽分别为9和4的长方形纸片，将它对折两次后得到如图2所示的图形，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形可以是图3中的（　　） A．①② B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】 【解答】解：如图，剪纸后可以的图3中的四个图形． 故选：D． 【点评】本题考查作图﹣剪纸问题，解题的关键是学会动手操作解决剪纸问题． 9．（3分）如图，在△ABC，AB＝AC，D为BC上的一点，∠BAD＝28°，在AD的右侧作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE、DE，DE交AC于点O，若CE∥AB，则∠DOC的度数为（　　） A．124° B．102° C．92° D．88° 【分析】根据已知条件证明△DAB≌△EAC，可得∠B＝∠ACE，再根据CE∥AB，可得∠B+∠ACB+∠ACE＝180°，然后证明△ABC是等边三角形，△ADE是等边三角形，进而根据三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠DAC＝∠BAC﹣∠DAC， ∴∠DAB＝∠EAC， 在△DAB和△EAC中， ， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠B＝∠ACE， ∵CE∥AB， ∴∠B+∠BCE＝180°， ∴∠B+∠ACB+∠ACE＝180°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB＝∠ACE＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠DAE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∵∠BAD＝28°， ∴∠OAD＝60°﹣28°＝32°， ∴∠DOC＝∠OAD+∠ADE＝32°+60°＝92°． 故选：C． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△DAB≌△EAC． 10．（3分）如图1，在长方形ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，对角线AC＝5cm，动点P从点C出发，沿C﹣A﹣D﹣C运动．设点P的运动路程为x（cm）、△BCP的面积为y（cm2）．若y与x的对应关系如图2所示，则图2中a﹣b＝（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D．4 【分析】根据点P运动到点A及点D处时的运动路程与运动时间的关系，判断出所求坐标即可解答． 【解答】解：当点P在CA上运动且到达点A处时，y＝BC•AB＝×3×4＝6， ∴a＝6， 当点P运动到点D处时，点P的运动路程为AC+AD＝9， ∴2b+3＝9， ∴b＝3， ∴a﹣b＝3， 故选：C． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，能从图象中得到有用的条件，并判断动点位置进行计算是本题的解题关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）用科学记数法表示0.0000061为　6.1×10﹣6　 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：0.0000061＝6.1×10﹣6． 故答案为：6.1×10﹣6． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（3分）如图△ABC≌△EFD，请写出一组图中平行的线段　AB∥FE，答案不唯一　 ． 【分析】根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△EFD， ∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF， ∴AB∥EF，AC∥DE， 故答案为：AB∥FE，答案不唯一． 【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出对应角相等解答． 13．（3分）七巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”．小明利用七巧板拼成的正方形（如图所示）做“滚小球游戏”，小球可以在拼成的正方形上自由地滚动，并随机地停留在某块板上，则小球最终停留在阴影区域上的概率是 　　 ． 【分析】设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：如图，设大正方形的边长为2，则GE＝1，E到DC的距离d＝， 阴影区域的面积为：1×＝， 大正方形的面积是：22＝4， 所以小球最终停留在阴影区域上的概率是． 故答案为：． 【点评】本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键． 14．（3分）小红种了一株树苗，开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，x月后这株树苗的高度为h厘米，则h与x的函数关系式为 　h＝3x+80　 ． 【分析】由开始时树苗高为80厘米，栽种后树苗每个月平均长高约3厘米，可知树苗高度为80加上3x． 【解答】解：根据题意得：h＝3x+80， 故答案为：h＝3x+80． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝70°，点M为AC的中点，点P为BC上一个动点，以MP为对称轴将△MPC折叠得到△MPN，点N为点C的对应点，且点N始终在BC的下方，当AB与△MPN的一条边平行时，∠MPN的度数为　95°或120°　 ． 【分析】根据题意分AB∥PN，AB∥MN，AB∥MP，三种情况讨论，画出示意图，利用平行线的性质求解即可． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°， 如图1，当AB∥PN时， 则∠BPN＝∠B＝60°， ∴∠CPN＝180°﹣∠BPN＝120°， ∵以MP为对称轴将△MPC折叠得到△MPN，点N为点C的对应点， ∴∠MPC＝∠MPN， ∴； 如图2，当AB∥MN时， 则∠CMN＝∠A＝70°， ∵以MP为对称轴将△MPC折叠得到△MPN，点N为点C的对应点， ∴∠C＝∠N＝50°，， ∴∠MPN＝180°﹣∠N﹣∠NMP＝95°＞90°（点N在BC下方，符合题意）； 如图3，当AB∥MP时， 则∠MPC＝∠B＝60°， 由折叠的性质得∠MPN＝∠MPC＝60°＜90°（点N在BC上方，不符合题意）， 综上所述，∠MPN的度数为95°或120°． 故答案为：95°或120°． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质． 三、解答题（共8题，共75分） 16．（12分）计算： （1）（﹣x2）5÷x+2x6•x3； （2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2； （3）2a2（3a2﹣5b）； （4）（5x+2y）（3x﹣2y）． 【分析】（1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，再计算同底数幂的除法，最后计算加法即可； （2）先计算积的乘方，再计算除法即可； （3）直接计算单项式乘以多项式即可； （4）直接计算多项式乘以多项式即可． 【解答】解：（1）原式＝（﹣x10）÷x+2x9 ＝﹣x9+2x9 ＝x9； （2）（9x2y3﹣27x3y2）÷（3xy）2 ＝（9x2y3﹣27x3y2）÷9x2y2 ＝y﹣3x； （3）2a2（3a2﹣5b）＝6a4﹣10a2b； （4）原式＝15x2﹣10xy+6xy﹣4y2 ＝15x2﹣4xy﹣4y2． 【点评】本题考查了整式的混合运算．熟练掌握运算法则是关键． 17．（8分）先化简，再求值：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y），其中x＝﹣．y＝1． 【分析】先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法，再合并同类项，最后代入计算即可． 【解答】解：（2x+3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y） ＝4x2+12xy+9y2﹣4x2+y2 ＝12xy+10y2， 当x＝﹣，y＝1时， 原式＝12×（﹣）×1+10×12 ＝﹣6+10 ＝4． 【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算顺序和运算法则． 18．（9分）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF． （1）求证：AC∥DF； （2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数． 【分析】（1）由AB∥DE得∠B＝∠DEF，根据BE＝CF得BC＝EF，可证明△ABC≌△DEF（SAS），根据全等三角形的性质和平行线的性质即可证得结论； （2）由全等三角形的性质得到∠DEF＝65°，∠ACB＝35°，根据三角形内角和定理即可求出∠EOC． 【解答】证明：（1）∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BE+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠F， ∴AC∥DF； （2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F， ∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°， 在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°， ∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°． 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，根据判定三角形全等的方法证得△ABC≌△DEF是解决问题的关键． 19．（9分）一个不透明的袋中有红、黄、白三种颜色球共50个，它们除了颜色外其他都相同，其中黄球个数比白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个红球的概率是． （1）求袋中白球的个数． （2）求从袋中摸出一个球是黄球的概率． （3）取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【分析】（1）总个数乘以红球的概率求出红球个数，据此得出黄、白球的总个数，设袋中白球的个数为x个，根据黄球个数比白球个数的2倍少5个及球的总个数列出关于x的方程，解之即可； （2）用黄球的个数除以球的总个数即可； （3）用红球的个数除以袋中剩余球的总个数即可． 【解答】解：（1）袋中红球的个数为50×＝10（个）， 则袋中黄、白球的总个数为50﹣10＝40（个）， 设袋中白球的个数为x个， 则x+2x﹣5＝40， 解得x＝15， ∴袋中白球有15个； （2）由（1）知，袋中黄球的个数为25个， 所以从袋中摸出一个球是黄球的概率为＝； （3）取走2个白球和3个黄球后，红球有10个，球的总个数为45个， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为＝． 【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 20．（9分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图： ①作线段AB的对称轴，分别交BC，AB于点D，E；②连接AD． （要求：1．在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法：2．铅笔完成作图后，用黑色水笔描黑，以保证阅卷扫描清晰．） （2）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为 　12cm　 ； （3）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数． 【分析】（1）作AB的垂直平分线即可； （2）利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，再利用等线段代换得到△ACD的周长＝AC+BC； （3）设∠CAD＝x，∠BAD＝2x，由DA＝DB得到∠DAB＝∠B＝2x，再根据三角形内角和定理得到2x+3x＝90°，然后求出x，从而得到∠B的度数． 【解答】解：（1）如图， （2）∵A点与B点关于DE对称， ∴DE垂直平分AB， ∴DA＝DB， ∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝5+7＝12（cm）； 故答案为：12cm； （3）∵∠CAD：∠BAD＝1：2， ∴设∠CAD＝x，∠BAD＝2x， ∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠B＝2x， ∵∠C＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°， 即2x+3x＝90°， 解得x＝18°， ∴∠B＝2x＝36°． 【点评】本题主要考查求轴对称图形的对称轴及线段的垂直平分线的性质，掌握轴对称图形的对称轴是对应点连线的垂直平分线是解答本题的关键． 21．（9分）被誉为“天下第一名刹”的嵩山少林寺是佛教禅宗的发源地，也是享誉世界的少林武术发源地，更是嵩山文化主要代表地之一．周末上午，小明和爸爸妈妈去少林寺游玩，他们的游玩攻略如图1所示，早上9：00从景区入口进山，坐景区观光车匀速到达塔林，在塔林参观历代高僧的墓塔，游玩一段时间后匀速步行到常住院参观少林寺的主体建筑和佛教文化……游玩过程中他们离入口的路程s（米）与所用时间t（分）的关系如图2所示（图象不完整）． 请根据以上信息，回答下列问题： （1）入口到塔林的路程为　4000　 米，小明在塔林游玩了　30　 分钟； （2）图2中点M表示的实际意义是　所用时间为50分时，离入口的路程为5000米，此时，刚好到达常住院　 ； （3）观光车的速度为　400　 米/分钟；小明从塔林到常住院的步行速度为　100　 米/分钟； （4）常住院与武术馆之间的距离为1200米，小明按原速度（塔林到常住院的步行速度）步行到武术馆后，准备在武术馆观看少林武术表演30分钟，武术馆与出口之间的距离为1600米，小明准备乘坐观光车到景区出口，观光车的速度与来时速度相同，若观光车随时可坐无需等待，他们上午11：00可以到达景区出口吗？ 【分析】（1）根据函数图象，确定答案即可； （2）结合函数图象确定答案即可； （3）根据“速度＝路程÷时间”求解即可； （4）首先计算小明按原速度步行到武术馆所用时间、从武术馆乘坐观光车到景区出口所用时间，进而计算小明在景区游玩总时间，即可确定他们到达景区出口的时间，确定答案． 【解答】解：（1）入口到塔林的路程为4000米，小明在塔林游玩了40﹣10＝30（分钟）． 故答案为：4000，30； （2）点M表示的实际意义是所用时间为50分时，离入口的路程为5000米，此时，刚好到达常住院． 故答案为：所用时间为50分时，离入口的路程为5000米，此时，刚好到达常住院； （3）观光车的速度为（米/分钟）， 小明从塔林到常住院的步行速度为（米/分钟）． 故答案为：400；100； （4）小明按原速度步行到武术馆，用时（分钟）， 从武术馆乘坐观光车到景区出口，用时（分钟）， ∴总时间为：70+12+30+4＝116（分钟）， 又因为他们早晨9：00到达景区入口，116分钟＝1小时56分钟， 故到达景区出口时间为9+1小时56分钟＝10：56，即他们上午11：00可以到达景区出口． 【点评】本题主要考查了函数的应用，通过函数图象获得所需信息是解题关键． 22．（9分）数学活动课上，老师准备了若干个如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张可拼成如图2所示的大正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2大正方形的面积． 方法1：　（a+b）2　 ； 方法2：　a2+2ab+b2　 ； （2）观察图2，请你写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系：　（a+b）2＝a2+b2+2ab　 ； （3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题： ①已知a+b＝6，a2+b2＝20，求ab的值； ②已知（2024﹣a）2+（a﹣2025）2＝7，求（2024﹣a）（a﹣2025）的值． 【分析】（1）方法1：根据正方形的面积＝边长的平方进行计算，即可解答； 方法2：根据正方形的面积＝两个正方形的面积+两个长方形的面积进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论，即可解答； （3）①利用（2）的结论进行计算，即可解答；②设2024﹣a＝m，a﹣2025＝n，则m+n＝﹣1，m2+n2＝7，然后利用（2）的结论进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2； 故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2； （2）代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系：（a+b）2＝a2+b2+2ab， 故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab； （3）①∵a+b＝6，a2+b2＝20， ∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）， ＝62﹣20， ＝16， ∴ab＝8； ②设2024﹣a＝m，a﹣2025＝n， ∴m+n＝﹣1， ∵（2024﹣a）2+（a﹣2025）2＝7， ∴m2+n2＝7， ∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）， ＝（﹣1）2﹣7， ＝1﹣7， ＝﹣6， ∴ab＝﹣3， ∴（2024﹣a）（a﹣2025）＝﹣3． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，完全平方公式的几何背景，准确熟练地进行计算是解题的关键． 23．（10分）如图，长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿长方形的边AB﹣BC﹣CD﹣DA返回到点A停止，设点P运动的时间为t秒． （1）当t＝8时，求CP的长； （2）连接CP，DP，当△CDP中有任意两边相等时，求t的值； （3）Q为AD边上的一点，且AQ＝6cm，直接写出当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与△DCQ全等． 【分析】（1）根据题中条件求出CP的长即可求解； （2）分三种情况讨论：①当点P在AB上时，②当点P在BC上时，③当点P在AD上时； （3）连接CQ，要使一个三角形与△DCQ全等，则另一条直角边必须等于DQ，分类讨论即可． 【解答】解：（1）∵长方形ABCD 中，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴CD＝AB＝6cm，AD＝BC＝8cm， 动∵点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿长方形的边AB﹣BC﹣CD﹣DA返回到点A停止， 当t＝8时，则AB+BC＝16＜2×8＝16＜AB+BC+CD＝20， ∴此时，点P在CD上， ∴CP＝16﹣AB﹣BC＝2cm； （2）当点P在AB上时，△CDP是等腰三角形，如图1， ∵CP＞BC＞CD，DP＞AD＞CD， ∴CP＝DP， 根据题意得：AD＝BC，∠A＝∠D＝90°， 在Rt△DAP和Rt△CBP中， ， ∴Rt△DAP≌Rt△CBP（HL）， ∴， ∴（秒）； 当点P在BC上时，△CDP是等腰三角形，如图2， ∵∠C＝90°， ∴CD＝CP＝6cm， ∴BP＝CB﹣CD＝2cm， ∴（秒）； 当点P在AD上时，△CDP是等腰三角形．如图3， ∵∠D＝90°， ∴DP＝CD＝6cm， ∴（秒）， 综上所述，或4或13时，△CDP是等腰三角形，即△CDP中有任意两边相等； （3）t的值为4或6或11或13时，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与△DCQ全等时．理由如下： 根据题意，如图，连接CQ， ∵AB＝CD＝6cm，AQ＝6cm， ∴DQ＝AD﹣AQ＝2cm， ∴要使一个三角形与△DCQ全等，则以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形的直角边长分别为2cm，6cm， 如图4，当Rt△BAP≌Rt△DCQ时， 此时BP＝DQ＝2cm， ∴（秒）； 如图5，当Rt△CDP≌Rt△DCQ时， 此时CP＝DQ＝2cm，则BP＝BC﹣CP＝6cm， ∴（秒）； 如图6，当Rt△ABP≌Rt△DCQ时， 此时AP＝DQ＝2cm， ∴（秒）； 当点P，Q重合时，Rt△DCP≌Rt△DCQ， 此时，（秒）； 综上所述，t的值为4或6或11或13时，以长方形的两个顶点及点 P 为顶点的三角形与△DCQ全等时． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了动点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的定义，灵活运用分类讨论思想是解题关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$