精品解析：山东省济宁市邹城市2024-2025学年 七年级下学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第二学期期末检测七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分，其中选择题30分，非选择题90分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 以下调查最适宜采用全面调查的是（ ） A. 调查被污染水域的有毒物质含量 B. 调查某批次汽车的碰撞安全性能 C. 调查某款运动鞋的鞋底耐磨情况 D. 调查全班同学平均每天体育锻炼的时长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别．对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 【详解】解：A、调查被污染水域的有毒物质含量，适合抽样调查，故本选项不符合题意； B、调查某批次汽车的碰撞安全性能，适合抽样调查，故本选项不符合题意； C、调查某款运动鞋的鞋底耐磨情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意； D、调查全班同学平均每天体育锻炼的时长，适合全面调查，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 是5的算术平方根 B. 0的平方根和立方根都是0 C. 的平方根是±3 D. 是的一个平方根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平方根与算术平方根的概念，需逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：是5的算术平方根， 算术平方根是非负数，且满足，故A正确； 选项B：0的平方根和立方根都是0， 平方根和立方根的定义中，0的平方根和立方根均为0，故B正确； 选项C：的平方根是， ，而3的平方根应为，而非，的平方是9，属于的平方根混淆错误，故C错误； 选项D：是的一个平方根， ，9的平方根为，因此是9的一个平方根，故D正确； 故选C． 3. 如图，在三角形中，，，，垂足为点D，则的长可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂线段最短．根据垂线段最短，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即：； ∴的长可能是4； 故选：A． 4. 若点A是平面直角坐标系中第二象限内一点，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据第二象限点的坐标符号特征及点到坐标轴的距离定义，确定点的坐标． 【详解】解：∵第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 则到轴的距离为3，即纵坐标绝对值为3，故纵坐标为3（正数）， 到轴的距离为2，即横坐标绝对值为2，故横坐标为（负数）， 结合上述条件，点的坐标为， 故选：B． 5. 将一个长方形纸条按如图所示的方式折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．由平行线的性质可得，由折叠可得，结合平角计算即可． 【详解】解：由题意可知，如图，四边形是长方形， ∴， ∴， 根据折叠性质，可得， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查不等式的性质，逐一分析各选项是否符合不等式的基本性质，寻找是否存在反例． 【详解】选项A：若，两边同时加2得，由此得，即，A为真命题； 选项B：若，当a、b均为负数时，例如，此时，但，故不成立，B为假命题； 选项C：若，当时，两边除以c得；但当时，需变号得例如，此时，但，故C为假命题； 选项D：若，当时，两边乘c得；但当时，需变号得，例如，此时，但，故D为假命题； 故选A． 7. 将一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．其中确定不等组解集的方法为：“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小是无解”．在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，不含等号取空心圆圈．先分别求出两个不等式的解集，再在数轴上表示，确定公共部分即可． 详解】解：解不等式组， 由得：， 由得： 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示其解集为： 故选：C． 8. 若是二元一次方程组的解，则的值为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 【详解】解：把代入二元一次方程组， 得，解得：， 则， 故选：A． 9. 我国古代的《孙子算经》中有一个“二人持钱”问题，原文为：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文为：现有甲、乙两人各自带着一些钱，若甲拿到乙所带钱数的一半，则甲的总钱数为50文；若乙拿到甲所带钱数的三分之二，则乙的总钱数也是50文，求甲、乙两人最初各自带的钱数．要解决这个问题，若设甲原有x文钱，乙原有y文钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据“若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱”，即可得出关于x、y，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由题意可得： 故选：C． 10. “冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题．截至2023年，通过计算机验证，“冰雹猜想”对于小于的所有正整数都成立，其内容为：对于任意的正整数n，若n为奇数，则下一步计算；若n为偶数，则下一步计算．重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2025次运算，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，图形与坐标．通过运算找到输出结果的循环规律是解题的关键． 【详解】解：横坐标2的运算过程如下： 初始值2（偶数），第1次运算得1；第2次运算1（奇数），得4；第3次运算4（偶数），得2； 可知该计算以1，4，2循环， 则2025次运算中，的余数为0， ∴横坐标2的运算结果为2， 纵坐标5的运算过程： 同理可知，前5次运算依次得16→8→4→2→1； 第6次运算1（奇数），得4，可知该计算以4，2，1循环； 后续运算次数为次，的余数为1，对应循环第1步结果4， ∴纵坐标5的运算结果为4， 综上，最终坐标为， 故选：B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______4（填＞，＜或＝） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查实数的估值，根据即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：＞ 12. 若点在x轴的正半轴上，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标和解一元一次不等式等知识，根据点在x轴的正半轴上得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵点在x轴的正半轴上， ∴且， 解得，且， ∴ 故答案为： 13. 如图，已知，要判定，则可以补充的一个条件为_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质即可解答． 【详解】解：可以补充条件：，理由如下： 延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 14. 若不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据，并熟记确定不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”．分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解得出关于a的不等式，解之即可． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 某学校租车接送6名教师和164名学生参加校外活动，现有大巴和中巴两种车型可以租用，已知除司机外，每辆大巴的载客量为35人，每辆中巴的载客量为15人，若要求每辆车上至少有一名教师，且租用车辆恰好坐满，则租车方案为______． 【答案】租用4辆大巴，2辆中巴 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程解决实际问题．设租用x辆大巴，y辆中巴，根据“租用车辆恰好坐满”列出方程，结合x，y均为非负整数，且得到方程的解，即可解答． 【详解】解：设租用x辆大巴，y辆中巴，根据题意，得 ， 化简得， ∵x，y均为非负整数，且， ∴， ∴租用4辆大巴，2辆中巴． 故答案为：租用4辆大巴，2辆中巴 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）128 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据去括号法则，绝对值进行计算，再计算加减即可； （2）先分别求出平方根，立方根，再计算平方，立方，最后计算加减即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，一元一次不等式组，掌握方程组与不等式组的解法是解题的关键． （1）运用代入消元法求解即可； （2）先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组无解． 18. 某地教育部门为了解“双减”政策落实情况，对某学校学生平均每天完成作业的时长数据t（分钟）进行抽样调查． 【收集与整理】将抽样调查的数据进行整理，分成A，B，C，D四组，A组：，B组：，C组：，D组：． 【描述与分析】根据抽样调查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是 人； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角是 度； （4）已知该学校共有1000人，请根据以上调查结果，估计该学校平均每天完成作业时长不少于90分钟的学生人数是多少？ 【答案】（1）40 （2）见解析 （3）108 （4）125人 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图是解题的关键． （1）将B组的人数除以其百分比，即可解答； （2）将抽查的人数减去A，B，D组的人数，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图； （3）将乘以C组的比例，即可解答； （4）将全校1000人乘以样本中平均每天完成作业时长不少于90分钟的学生比例，即可解答． 【小问1详解】 解：（人）， ∴这次抽样调查的人数是40人． 故答案为：40 【小问2详解】 解：C组人数为：（人）， 补全频数分布直方图为： 【小问3详解】 解：， ∴C组所在扇形的圆心角是． 故答案为：120． 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该学校平均每天完成作业时长不少于90分钟的学生有125人． 19. 如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线． （1）若，，求证：； （2）若比大，比大，请结合二元一次方程组求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义、平角的定义及二元一次方程组的应用，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据角平分线的定义得出，利用平角的定义求出，再次利用平角定义求出即可得结论； （2）设，，得出，，利用角平分线的定义及平角定义列二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得答案． 【小问1详解】 证明：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设，， ∵比大，比大， ∴，，， ∴， 解得：， ∴． 20. 某同学设计了如图所示的程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于20”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于20，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若程序操作进行一次就停止了，求输入的x的取值范围是多少？ （2）若程序操作进行了两次才停止，求输入的x的取值范围是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意、正确列出不等式和不等式组是解题的关键 ． （1）根据第一次停止列一元一次不等式求解即可； （2）根据题意可知第一次不停止、第二次停止列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：设输入的为x， 则， 解得：， 所以如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的x的取值范围是． 【小问2详解】 解：设输入的为y， 则， 解得：， 所以如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的x的取值范围是． 21. 随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元． （1）求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元； （2）若该市计划再安装甲、乙两种型号的充电桩共50个，且总成本不超过54万元，求最多能安装多少个甲型充电桩． 【答案】（1）每个甲型充电桩的安装成本万元，每个乙型充电桩安装成本1万元 （2）最多能安装20个甲型充电桩 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程组和不等式求解即可． （1）设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元，根据“安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元”列出方程组求解即可； （2）设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩个，根据“总成本不超过54万元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每个甲型充电桩的安装成本x万元，每个乙型充电桩安装成本y万元， ， 解得：， 答：每个甲型充电桩的安装成本万元，每个乙型充电桩安装成本1万元． 【小问2详解】 解：设安装甲型充电桩m个，则安装乙型充电桩个， ， 解得：， 答：最多能安装20个甲型充电桩． 22. 将一副三角板的两个直角顶点重合，记为点O，然后让两个三角板直角所对的边和平行，已知，，，，求此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角的度数． （1）某位同学探究时摆放出如图所示的图形，请帮他求出此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角的度数； （2）除了（1）中的情况之外，某位同学摆放出如图所示的另一种情况，请帮他求出此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定及性质，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）过点O作，则，根据平行线的性质即可求解； （2）过点O作，则，根据平行线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：过点O作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：过点O作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 23. 【探究】点是平面直角坐标系中任意一点，将点A向左平移t个单位长度得到点，将点A向右平移t个单位长度得到点，根据线段中点的定义可知，点A是线段的中点． （1）点坐标为 ，点的坐标为 ，点与点的横坐标之和为 ； 【归纳】 （2）若平行于x轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的横坐标为，则用含有，和b的式子表示线段的中点坐标为 ； （3）请利用类似的方法探究并归纳：若平行于y轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的纵坐标为，则用含有，和c的式子表示线段的中点坐标为 ； 【应用】 （4）已知点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为，点Q的坐标为，且线段和线段的中点重合，求m和n的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3）；（4）， 【解析】 【分析】本题考查坐标系中点的平移的坐标变化，坐标轴平行线上的点的坐标变化，列代数式，二元一次方程解决实际问题，根据题意的方法进行探究归纳是解题的关键． （1）根据点平移时的坐标变化求解即可； （2）由轴得到线段的中点的纵坐标为b．设点向右平移t个单位长度，点向左平移t个单位长度均得到线段的中点，则，求得，即可表示出中点的横坐标，进而即可解答； （3）同（2）思路即可求解； （4）根据探究归纳的结论，表示出线段和线段的中点的坐标，根据线段和线段的中点重合列出方程组，求解即可． 【详解】解：（1）根据平移可得，点坐标为，点的坐标为， 点与点的横坐标之和为． 故答案为：；； （2）由题意可得，，， ∵轴， ∴线段的中点的纵坐标为b， 设点向右平移t个单位长度，点向左平移t个单位长度均得到线段的中点， ∴， ∴， ∴中点的横坐标为， ∴线段的中点的坐标为． 故答案为： （3）由题意可得，，， ∵轴， ∴线段的中点的横坐标为c， 设点向上平移t个单位长度，点向下平移t个单位长度均得到线段的中点， ∴， ∴， ∴中点的纵坐标为， ∴线段的中点的坐标为． 故答案为： （4）∵，， ∴线段的中点坐标为，即； ∵，， ∴线段的中点坐标为，即， ∵线段和线段的中点重合， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期期末检测七年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分，其中选择题30分，非选择题90分；考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡的相应位置． 3．答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案标号，答案不能答在试卷上． 4．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答．答作图题时，要先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求） 1. 以下调查最适宜采用全面调查的是（ ） A. 调查被污染水域的有毒物质含量 B. 调查某批次汽车的碰撞安全性能 C. 调查某款运动鞋鞋底耐磨情况 D. 调查全班同学平均每天体育锻炼的时长 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 是5的算术平方根 B. 0的平方根和立方根都是0 C. 的平方根是±3 D. 是的一个平方根 3. 如图，在三角形中，，，，垂足为点D，则的长可能是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 4. 若点A是平面直角坐标系中第二象限内一点，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将一个长方形纸条按如图所示的方式折叠，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，那么 C. 如果，那么 D. 如果，那么 7. 将一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若是二元一次方程组的解，则的值为（ ） A. 9 B. C. D. 9. 我国古代的《孙子算经》中有一个“二人持钱”问题，原文为：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文为：现有甲、乙两人各自带着一些钱，若甲拿到乙所带钱数的一半，则甲的总钱数为50文；若乙拿到甲所带钱数的三分之二，则乙的总钱数也是50文，求甲、乙两人最初各自带的钱数．要解决这个问题，若设甲原有x文钱，乙原有y文钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. “冰雹猜想”是一个至今未被完全解决的数学问题．截至2023年，通过计算机验证，“冰雹猜想”对于小于的所有正整数都成立，其内容为：对于任意的正整数n，若n为奇数，则下一步计算；若n为偶数，则下一步计算．重复以上操作，这组数字最终会进入循环．在平面直角坐标系中，将点中的横坐标和纵坐标分别按照“冰雹猜想”的要求进行2025次运算，得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：______4（填＞，＜或＝） 12. 若点在x轴正半轴上，则a的值为______． 13. 如图，已知，要判定，则可以补充的一个条件为_____． 14. 若不等式组有且只有三个整数解，则a的取值范围是______． 15. 某学校租车接送6名教师和164名学生参加校外活动，现有大巴和中巴两种车型可以租用，已知除司机外，每辆大巴的载客量为35人，每辆中巴的载客量为15人，若要求每辆车上至少有一名教师，且租用车辆恰好坐满，则租车方案为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 某地教育部门为了解“双减”政策落实情况，对某学校学生平均每天完成作业的时长数据t（分钟）进行抽样调查． 【收集与整理】将抽样调查的数据进行整理，分成A，B，C，D四组，A组：，B组：，C组：，D组：． 【描述与分析】根据抽样调查的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是 人； （2）请补全频数分布直方图； （3）在扇形统计图中，C组所在扇形的圆心角是 度； （4）已知该学校共有1000人，请根据以上调查结果，估计该学校平均每天完成作业时长不少于90分钟的学生人数是多少？ 19. 如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线． （1）若，，求证：； （2）若比大，比大，请结合二元一次方程组求的度数． 20. 某同学设计了如图所示程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于20”为一次程序操作，如果结果得到的数小于或等于20，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若程序操作进行一次就停止了，求输入x的取值范围是多少？ （2）若程序操作进行了两次才停止，求输入的x的取值范围是多少？ 21. 随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．据最新资讯，目前该市有甲、乙两种型号的公共充电桩．已知安装3个甲型充电桩和2个乙型充电桩共需成本万元；安装2个甲型充电桩和3个乙型充电桩共需成本万元． （1）求每个甲型充电桩和乙型充电桩的安装成本分别是多少万元； （2）若该市计划再安装甲、乙两种型号的充电桩共50个，且总成本不超过54万元，求最多能安装多少个甲型充电桩． 22. 将一副三角板的两个直角顶点重合，记为点O，然后让两个三角板直角所对的边和平行，已知，，，，求此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角的度数． （1）某位同学探究时摆放出如图所示的图形，请帮他求出此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角的度数； （2）除了（1）中的情况之外，某位同学摆放出如图所示的另一种情况，请帮他求出此时不同三角板的直角边所形成的最小夹角的度数． 23. 【探究】点是平面直角坐标系中任意一点，将点A向左平移t个单位长度得到点，将点A向右平移t个单位长度得到点，根据线段中点的定义可知，点A是线段的中点． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ，点与点的横坐标之和为 ； 归纳】 （2）若平行于x轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的横坐标为，则用含有，和b的式子表示线段的中点坐标为 ； （3）请利用类似的方法探究并归纳：若平行于y轴的线段的一个端点的坐标为，另一个端点的纵坐标为，则用含有，和c的式子表示线段的中点坐标为 ； 【应用】 （4）已知点M的坐标为，点N的坐标为，点P的坐标为，点Q的坐标为，且线段和线段的中点重合，求m和n的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$