直线与圆，圆与圆位置关系 讲义-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

直线与圆 圆与圆位置关系 ( 知识精讲 )知识点一　直线与圆的位置关系 1．直线与圆有三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 3．圆的切线及切线方程 (1)自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2)求过圆上的一点的圆的切线方程： ①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. ②重要结论： a.经过圆上一点P的切线方程为. b.经过圆上一点P的切线方程为. c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 4．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 知识点二　圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 3．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 4．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. ( 典型习题 ) 1、直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解：由题意得：已知圆的方程可化为，即圆心的坐标为，半径为 圆心到直线的距离为 当时，即 ，则整理可知：，根据二次函数的性质，，故不等式恒成立，直线与圆相交； 当时，即 ，不等式无解； 故直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交；故选：A. 2、已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由圆心到直线的距离大于半径即可求解. 【解答过程】由，得， ∵直线与圆相离， ∴解得． ∴实数m的取值范围是，故选:D． 3、过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【解题思路】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，分析可得点M在圆上，求出直线MC的斜率，即可得切线的斜率k，由直线的点斜式方程分析可得答案． 【解答过程】解：根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C， 圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3）， 又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上， 则，则切线的斜率k＝1， 则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0； 故选：C． 4．（多选）若直线被圆截得的弦长为，则可能的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【解析】因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为，即，解得或. 故选：AD. 5．圆C：被直线截得的最短弦长为（ ） A． B． C． D． 【解析】直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，所以最短弦长为，故选：B． 6．一条直线经过点，且与：相交所得弦长为，则此直线的方程是（ ） A． B． C． D．或 【解析】化圆为标准方程，可得圆心坐标为，半径为2． 所求直线与圆相交所得弦长为，半径为2，弦心距为． 当直线斜率不存在时，直线方程为，显然适合题意 当直线的斜率存在时，设直线方程为．即． 弦心距，解得．即直线方程为： 综上：所求直线方程为或．故选：D． 7．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数是（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解析】由圆可化为， 可得圆心坐标为，半径为，由圆可化为， 可得圆心坐标为，半径为，则圆心距为， 又由，所以， 可得圆与圆相交，所以两圆公共切线的条数为2条. 故选：B. 8、已知圆和，则两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【解答过程】由题意，知圆的圆心，半径. 圆的方程可化为，则其圆心，半径. 因为两圆的圆心距，故两圆外切. 故选：C. 9、已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数r等于（    ） A．7 B．3 C．3或7 D．5 【解答过程】， 因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以圆与圆相内切或外切， 所以或，所以或，故选：． 10、下列方程中，圆与圆的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【解答过程】根据题意可知，， 如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P， 由几何关系可知，，，， 所以，，，，l的斜率为， 则l的方程为，即， 根据对称可得出另一条公切线方程为.故选：B． 11．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ） A．2 B． C．2 D．1 【解析】由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为. 又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为. 故选：C. 12．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由圆，圆， 得圆与圆的公共弦所在直线方程为，求得定点， 又在直线上，，即. ∴，∴的取值范围是.故选：A. 13、已知圆O：，直线l：与两坐标轴交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ） A． B． C． D． 解：∵直线l：，即， ∴直线恒过定点，又圆O：， ∴由圆的性质可知直线时，直线l被圆O截得的弦长最小， 此时，，即， 由直线l：，令，可得， 即，令，可得，即，∴.故选：C. 14、已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 解：设AB中点为C，则OC⊥AB，∵， ∴，∴，∵， ∴，∵直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，∴，∴4＞，∴4＞，∵k＞0，∴. 故选：C． 15、直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是 解析：将曲线x＝变为x2＋y2＝1(x≥0)．画出直线y＝x＋b 与曲线x＝，如图．当直线y＝x＋b与曲线x2＋y2＝1相切时， 满足＝1，则|b|＝. 观察图像 可得当b＝－或－1<b≤1时，直线y＝x＋b 与曲线x＝有且仅有一个公共点． 16．若直线l过点且被圆所截得的弦长是8，则l的方程为________. 【解析】当直线l不存在斜率时，直线l过点，所以直线l的方程为：， 把代入圆的方程中，得，因为，所以符合题意； 当直线l存在斜率时，设为，因为直线l过点， 所以直线l的方程为：， 因为的半径为5，直线l被圆所截得的弦长是8， 所以圆心到直线l 的距离为：， 即，所以， 故答案为：或 17、直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最小值为________． 解：过点O作OC⊥AB于C，因为△AOB为等腰直角三角形，所以C为弦AB的中点，又|OA|＝|OB|＝1，根据勾股定理得|AB|＝，∴|OC|＝|AB|＝. ∴圆心到直线的距离为＝， 即2a2＋b2＝2，即a2＝－b2＋1≥0. ∴－≤b≤. 则点P(a，b)与点(0,1)之间距离 d＝＝ ＝. 设f(b)＝b2－2b＋2＝(b－2)2， 此函数为对称轴为x＝2的开口向上的抛物线，∴当－≤b≤<2时，函数为减函数． ∵f()＝3－2，∴d的最小值为＝＝－1 18．已知圆：，点是直线：上的动点，若点，，直线，与圆的另一个交点分别为，. （1）若点，求直线的方程； （2）求证：直线与轴交于一个定点，并求定点坐标. 【解析】（1）直线方程为，由解得， 直线的方程，由解得， 所以，所以直线的方程为，即. （2）证明：设，则直线的方程为，直线的方程为. 由得，同理. 所以直线的斜率， 直线的方程为，即. 直线过定点. 19、已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)． (1)若l1与圆相切，求l1的方程； (2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N， 求证：AM·AN为定值． 解析：(1)①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意． ②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0. 由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解之得k＝. 所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0. (2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0， 由得N.又直线CM与l1垂直， 由得M. 所以AM·AN＝|yM－0| ·|yN－0| ＝＝6为定值． ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线与圆 圆与圆位置关系 ( 知识精讲 )知识点一　直线与圆的位置关系 1．直线与圆有三种位置关系 位置关系 交点个数 相交 有两个公共点 相切 只有一个公共点 相离 没有公共点 2．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 3．圆的切线及切线方程 (1)自一点引圆的切线的条数： ①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线； ②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点； ③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. (2)求过圆上的一点的圆的切线方程： ①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. ②重要结论： a.经过圆上一点P的切线方程为. b.经过圆上一点P的切线方程为. c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为 . 4．圆的弦长问题 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式. 知识点二　圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种，分别为相离、外切、相交、内切、内含． 2．圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2| (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 3．两圆的公切线 (1)两圆公切线的定义 两圆的公切线是指与两圆相切的直线，可分为外公切线和内公切线. (2)两圆的公切线位置的5种情况 ①外离时，有4条公切线，分别是2条外公切线，2条内公切线； ②外切时，有3条公切线，分别是2条外公切线，1条内公切线； ③相交时，有2条公切线，都是外公切线； ④内切时，有1条公切线； ⑤内含时，无公切线. 判断两圆公切线的条数,实质就是判断两圆的位置关系。 (3)求两圆公切线方程的方法 求两圆的公切线方程时，首先要判断两圆的位置关系，从而确定公切线的条数，然后利用待定系数法， 设公切线的方程为y=kx+b，最后根据相切的条件，得到关于k,b的方程组，求出k,b的值即可.要注意公切线的斜率可能不存在. 4．两圆的公共弦问题 (1)求两圆公共弦所在的直线的方程的常用方法 两圆相交时，有一条公共弦，如图所示. 设圆:，① 圆:，② ①-②，得，③ 若圆与圆相交，则③为两圆公共弦所在的直线的方程.若为圆与圆的交点，则点 满足且，所以.即点适合直线方程，故在③所对应的直线上，③表示过两圆与交点的直线，即公共弦所在的直线的方程. (2)求两圆公共弦长的方法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，由勾股 定理求出公共弦长. ( 典型习题 ) 1、直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 2、已知直线与圆相离，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3、过点作圆的切线，则的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 4．（多选）若直线被圆截得的弦长为，则可能的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 5．圆C：被直线截得的最短弦长为（ ） A． B． C． D． 6．一条直线经过点，且与：相交所得弦长为，则此直线的方程是（ ） A． B． C． D．或 7．已知圆，圆，则两圆的公切线的条数是（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 8、已知圆和，则两圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 9、已知圆与圆，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数r等于（    ） A．7 B．3 C．3或7 D．5 10、下列方程中，圆与圆的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 11．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ） A．2 B． C．2 D．1 12．已知圆与圆的公共弦所在直线恒过点，且点在直线上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13、已知圆O：，直线l：与两坐标轴交点分别为M，N，当直线l被圆O截得的弦长最小时，（ ） A． B． C． D． 14、已知直线x+y﹣k＝0（k＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A、B，O是坐标原点，且有，那么k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 15、直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则b的取值范围是 16．若直线l过点且被圆所截得的弦长是8，则l的方程为________. 17、直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间距离的最小值为________． 18．已知圆：，点是直线：上的动点，若点，，直线，与圆的另一个交点分别为，. （1）若点，求直线的方程； （2）求证：直线与轴交于一个定点，并求定点坐标. 19、已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)． (1)若l1与圆相切，求l1的方程； (2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N， 求证：AM·AN为定值． ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$