3.1.2 第2课时 椭圆的标准方程及性质的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦椭圆标准方程及性质的应用，系统梳理点与椭圆位置关系、直线与椭圆位置关系判定（联立方程、判别式）、弦长与中点弦问题（点差法、根与系数关系）及综合应用，构建从基础判定到复杂问题解决的递进式学习支架。 该资料以问题驱动（如类比直线与圆位置关系引入新知），通过例题、母题探究及分层作业，培养逻辑推理（位置关系判定推理）、数学运算（弦长公式应用）核心素养，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第2课时　椭圆的标准方程及性质的应用 学习任务 核心素养 1．进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，会判断直线与椭圆的位置关系．(重点) 2．能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题．(难点) 1．通过对直线与椭圆位置关系的判断，培养逻辑推理核心素养． 2．通过对弦长、中点弦问题及椭圆综合问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养． 大家知道，直线与圆有三种位置关系，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，则 d＞R时⇔直线与圆相离； d＝R时⇔直线与圆相切； d＜R时⇔直线与圆相交． 那么直线与椭圆有几种位置关系呢？ 可以用上述方法来判定直线与椭圆的位置关系吗？ 知识点1　点与椭圆的位置关系 点P(x0，y0)与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系： 点P在椭圆上＝1； 点P在椭圆内部<1； 点P在椭圆外部>1． 1．若点A(a，1)在椭圆＝1的内部，则a的取值范围是________． (－)　[∵点A在椭圆内部，∴＜1， ∴a2＜2，∴－＜a＜．] 知识点2　直线与椭圆的位置关系 直线y＝kx＋m与椭圆＝1(a>b>0)的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＝1的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 B　[直线方程y＝kx－k＋1可化为y－1＝k(x－1)，知直线过定点(1，1)，∵＜1， ∴点(1，1)在椭圆内，故直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．] 3．直线x＋2y＝m与椭圆＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(　　) A．2 B．± C．±2 D．±2 C　[由消去y并整理得 2x2－2mx＋m2－4＝0． 由Δ＝4m2－8(m2－4)＝0，得m2＝8．∴m＝±2．] 类型1　直线与椭圆的位置关系 【例1】　已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＝1．试问： 当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个公共点？ (2)有且只有一个公共点？ (3)没有公共点？ [解]　直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组消去y， 得9x2＋8mx＋2m2－4＝0．　① 方程①的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144． (1)当Δ＞0，即－3＜m＜3时，方程①有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程①有两个相同的实数解，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)当Δ＜0，即m＜－3或m＞3时，方程①没有实数解，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点． 　如何判断直线与椭圆的位置关系？ [提示]　判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切； Δ<0⇔直线与椭圆相离． [跟进训练] 1．若直线y＝kx＋1(k∈R)与椭圆＝1恒有公共点，求实数m的取值范围． [解]　因为y＝kx＋1(k∈R)恒过点(0，1)，则点(0，1)在椭圆＝1内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，所以1，即m≥1． 当m＝5时，＝1不是椭圆，它是以原点为圆心，半径为的圆．因此，m的取值范围为[1，5)∪(5，＋∞)． 类型2　弦长和中点弦问题 【例2】　过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分． (1)求此弦所在的直线方程； (2)求此弦长． 求过点M的弦所在直线的方程，其关键是求出直线的斜率，如何求直线的斜率？ [提示]　联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解或用点差法求解． [解]　(1)法一：设所求直线方程为y－1＝k(x－2)．代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0． 又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是方程的两个根，于是x1＋x2＝． 又M为AB的中点，∴＝＝2， 解得k＝－． 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0． 法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． 又M(2，1)为AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2． 又A，B两点在椭圆上，则＝＝16． 两式相减得＝0． 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0． ∴＝－＝－， 即kAB＝－． 又直线AB过点M(2，1)， 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0． (2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得x2－4x＝0， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝0， ∴|AB|＝· ＝·＝2． [母题探究] 1．(变条件，变结论)本例中把条件改为“点M(2，1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率． [解]　由题意，设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)， 直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2． 由＝1和＝1， 得＝－， ∴k＝＝． 又x＋2y－4＝0的斜率为－，∴＝． ∴椭圆的离心率为e＝＝＝＝． 2．(变条件，变结论)把本例条件中“使弦被M点平分”去掉，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程． [解]　设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y． ∴＝－， 从而kAB＝＝． 又kAB＝kPM＝， ∴＝． 整理得x2＋4y2－2x－4y＝0． 故中点P的轨迹方程为x2＋4y2－2x－4y＝0．(椭圆内的部分) 　1．弦中点问题的解决方法 (1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤 ①设点——设出弦的两端点坐标； ②代入——代入圆锥曲线方程； ③作差——两式相减，再用平方差公式把上式展开； ④整理——转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． (2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在运用根与系数的关系时，要注意运用条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 2．弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有 |AB|＝ ＝ ＝· ＝ ＝·(k为直线斜率)． 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况． 类型3　与椭圆有关的综合问题 【例3】　椭圆E：＝1(a＞b＞0)经过点A(－2，0)，且离心率为． (1)求椭圆E的方程； (2)过点P(4，0)任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM＋∠PQN＝180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． [解]　(1)由条件可知，椭圆的焦点在x轴上，且a＝2，又e＝＝，得c＝． 由a2－b2＝c2，得b2＝a2－c2＝2． 所以所求椭圆的方程为＝1． (2)假设存在点Q(m，0)， 使得∠PQM＋∠PQN＝180°， 则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2． 等价于k1＋k2＝0． 依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y＝k(x－4)． 联立 得(2k2＋1)x2－16k2x＋32k2－4＝0． 因为直线l与椭圆C有两个交点，所以Δ＞0． 即(－16k2)2－4(2k2＋1)(32k2－4)＞0， 解得k2＜． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， y1＝k(x1－4)，y2＝k(x2－4)， 令k1＋k2＝＝0， 则(x1－m)y2＋(x2－m)y1＝0， 当k≠0时，2x1x2－(m＋4)(x1＋x2)＋8m＝0， 化简得＝0， 所以m＝1． 当k＝0时，也成立． 所以存在点Q(1，0)， 使得∠PQM＋∠PQN＝180°． 　综合问题涉及的问题及解决方法 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答中涉及椭圆的几何性质及其应用、直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力．此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系是解答的关键． [跟进训练] 2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(－，0)和F2(，0)，且椭圆过点． (1)求椭圆的方程； (2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由． [解]　(1)由题意设椭圆的方程为＝1(a>b>0)， 由c＝，a2＝b2＋c2，代入方程＝1， 又∵椭圆过点， 得＝1，解得b2＝1，∴a2＝4． 椭圆的方程为＋y2＝1． (2)设直线MN的方程为x＝ky－， 联立直线MN和椭圆的方程可得 得(k2＋4)y2－ky－＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，又A(－2，0)， y1y2＝－，y1＋y2＝， 则·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2) ＝(k2＋1)y1y2＋k(y1＋y2)＋＝0， 即可得∠MAN＝． ∴∠MAN的大小是定值． 1．若点P(a，1)在椭圆＝1的外部，则a的取值范围为(　　) A． B． C． D． B　[由题意知>1，即a2>，解得a>或a<－．] 2．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为a．又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d＝＝a， 解得a＝b， ∴＝， ∴e＝＝＝＝＝．故选A．] 3．设椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交椭圆于M，N两点，若△MNF2的内切圆的面积为π，则＝________． 4　[如图，已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，a＝2，过焦点F1的直线交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，△MNF2的内切圆的面积为π． ∴△MNF2的内切圆半径r＝1． ∴△MNF2的面积S＝×1×(|MN|＋|MF2|＋|NF2|)＝2a＝4．] 4．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________． 　[由 消去y并化简得x2＋2x－6＝0． 设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6． ∴弦长|MN|＝|x1－x2| ＝＝ ＝．] 5．设椭圆C：＝1(a＞b＞0)过点(0，4)，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标． [解]　(1)将(0，4)代入C的方程，得＝1， ∴b＝4． 由e＝＝，得＝， 即1－＝，∴a＝5， ∴椭圆C的方程为＝1． (2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)． 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，得＝1，即x2－3x－8＝0， 则x1＋x2＝3，∴＝＝(x1＋x2－6)＝－，即所截线段的中点的坐标为． 回顾本节知识，自我完成以下问题： 1．解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，你可以说出其解题步骤吗？ [提示]　(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1＋x2，x1·x2或y1＋y2，y1·y2，进而求解． 2．解决椭圆的中点弦问题有哪些方法？ [提示]　(1)方程组法：通过解直线方程与椭圆方程构成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式求解． (2)点差法：设直线与椭圆的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点(x0，y0)和斜率kAB有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”． 利用kAB＝＝－·＝－·，转化为中点(x0，y0)与直线AB的斜率之间的关系，这是处理弦中点轨迹问题的常用方法． 课时分层作业(十五)　椭圆的标准方程及性质的应用 一、选择题 1．若直线y＝kx＋2与椭圆＝1相切，则斜率k的值是(　　) A． B．－ C．± D．± C　[把y＝kx＋2代入＝1，得(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，所以Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±．] 2．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为(　　) A． B． C． D． B　[易求得直线AB的方程为y＝(x＋)． 由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝． 由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝．] 3．在椭圆＝1内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　) A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0 C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0 C　[设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＝＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2， 因此＝0， 即＝－， 所求直线的斜率是－， 弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C．] 4．椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． A　[已知A(－a，0)，设P(x1，y1)，则Q(－x1，y1)， 则kAP＝，kAQ＝， 故kAP·kAQ＝·＝＝， 又＝1，则＝， 所以＝，即＝， 所以椭圆C的离心率e＝＝＝． 故选A．] 5．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，联立 两式相减，得＝0，即＝0⇔＝0，即a2＝2b2， 又c2＝9，a2＝b2＋c2，解得a2＝18，b2＝9，则E的方程为＝1．故选D．] 二、填空题 6．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是________． 　[联立方程 得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)， 则x0＝＝， y0＝1－x0＝1－＝． ∴kOP＝＝＝．] 7．设F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右两个焦点，过F1作斜率为1的直线，交C于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|＝________． 　[由＝1知，焦点F1(－1，0)，所以直线l：y＝x＋1，代入＝1，得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，故|AB|＝·|x1－x2|＝·＝． 由定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 所以|AF2|＋|BF2|＝4×2－＝．] 8．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝________． 　[设点A(2，n)，B(x0，y0)． 由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1， ∴c2＝1，即c＝1， ∴右焦点F(1，0)． 由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)． ∴1＝3(x0－1)且n＝3y0． ∴x0＝，y0＝n． 将x0，y0代入＋y2＝1，得 ＋＝1． 解得n2＝1， ∴||＝＝＝．] 三、解答题 9．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点． (1)求实数b的取值范围； (2)当b＝1时，求AB． [解]　(1)将y＝x＋b代入＋y2＝1， 消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0．① 因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0， 解得－＜b＜． 所以b的取值范围为(－)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0． 解得x1＝0，x2＝－． 所以y1＝1，y2＝－． 所以AB＝＝． 10．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N． (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求实数k的值． [解]　(1)由题意得 解得c＝，b＝， 所以椭圆C的方程为＝1． (2)由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0， 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)， x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝|x1－x2| ＝ ＝， 又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝， 所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝， 由＝， 化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1． 11．(多选题)已知曲线C的方程为x2＋＝1(0＜x1)，A(0，－3)，B(0，3)，D(－1，0)，点P是C上的动点，直线AP与直线x＝5交于点M，直线BP与直线x＝5交于点N，则△DMN的面积可能为(　　) A．73 B．76 C．68 D．72 ABD　[设P(x0，y0)， kPA＝，kPB＝， 则kPA·kPB＝＝＝－9． 设kPA＝k(k＞0)，则kPB＝－，直线AP的方程为y＝kx－3，则点M的坐标为(5，5k－3)， 直线PB的方程为y＝－x＋3，则点N的坐标为， ∴|MN|＝5k－3－－＋3 ＝＝24， 当且仅当5k＝，即k＝3时等号成立． 从而△DMN面积的最小值为×24×6＝72． 结合选项可得，△DMN的面积可能为ABD．] 12．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，过F作一条倾斜角为60°的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若3|FM|＝|OF|(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为(　　) A． B． C． D． B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 由题意得＝＝1，两式相减，得＋ ＝0， 因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为60°，所以＝0． 设F(－c，0)，则|FM|＝|OF|＝c，过M作MM′⊥x轴，垂足为M′， 则|FM′|＝|MF|＝c，|MM′|＝|MF|＝c， 由题易知M位于第二象限，所以M－c，c， M的坐标代入AB的方程可得：＝0，得3a2＝5b2，所以2a2＝5c2， 所以e＝＝．] 13．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，则椭圆方程为________，若直线l交椭圆于M，N两点，且△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，则直线l方程为________． ＝1　6x－5y－28＝0　[由题意得b＝4，又e2＝＝＝1－＝，解得a2＝20． ∴椭圆的方程为＝1． ∴椭圆右焦点F的坐标为(2，0)， 设线段MN的中点为Q(x0，y0)， 由三角形重心的性质知＝2，从而(2，－4)＝2(x0－2，y0)， 解得x0＝3，y0＝－2，所以点Q的坐标为(3，－2)． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝6，y1＋y2＝－4， 且＝＝1， 以上两式相减， 得＝0， ∴kMN＝＝－· ＝－＝， 故直线的方程为y＋2＝(x－3)， 即6x－5y－28＝0．] 14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是______． 13　[∵椭圆的离心率为e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2，∴椭圆的方程为＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示， ∵|AF2|＝a，|OF2|＝c，a＝2c，∴∠AF2O＝， ∴△AF1F2为正三角形，∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，∴直线DE的斜率为，斜率倒数为，直线DE的方程为x＝y－c，代入椭圆方程3x2＋4y2－12c2＝0，整理化简得到13y2－6 cy－9c2＝0， 判别式Δ＝(6c)2＋4×13×9c2＝62×16×c2， ∴|DE|＝|y1－y2|＝2×＝2×6×4×＝6， ∴c＝，得a＝2c＝， ∵ DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，∴△ADE的周长等于△F2DE的周长，利用椭圆的定义得到△F2DE的周长为|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|＝|DF1|＋|DF2|＋|EF1|＋|EF2|＝2a＋2a＝4a＝13．] 设椭圆＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A，O，B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为． (1)求椭圆的方程； (2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标． [解]　(1)依题意知A(a，0)，B(0，－b)， ∵△AOB为直角三角形，∴过A，O，B三点的圆的圆心为斜边AB的中点， ∴＝，－＝－，即a＝，b＝1， ∴椭圆的方程为＋y2＝1． (2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0， 设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)， 则直线BM的方程为y＝－x－1， 由消去y，得(1＋3k2)x2－6kx＝0， 解得xN＝，yN＝kxN－1， ∴|BN|＝＝ ＝|xN|＝·， 在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k，0)， ∴|BM|＝， 在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°， ∴|BN|＝|BM|， 即·＝·， 整理得3k2－2|k|＋1＝0， 解得|k|＝，∵k＜0，∴k＝－，∴点M的坐标为． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $