1.1 直线的斜率与倾斜角 讲义-2025-2026学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

直线的斜率与倾斜角 ( 知识精讲 ) 知识点一　直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以倾斜角的范围是． 【概念解读】 1.要清楚定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角. 2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 知识点二　直线的斜率 斜率的定义 1..倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 2.概念解读：当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；直线与x轴垂直时，=90°，k不存在。由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 3.直线的倾斜角与斜率之间的关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式. 【概念解读】 对于上面的斜率公式要注意下面五点： (1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直； (2)k与P1、P2顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； (4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 知识点三　平行与垂直 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 ( 典型习题 ) 1、设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为 2、已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 3、经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)． 4、若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，a的值为为________． 5、下列命题中，正确的是（ ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是 D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 6、如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是（ ） A． B． C． D． 7、如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 8、直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9、若直线与直线平行，则（     ） A． B． C．或 D．不存在 10、已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11、已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______． 12、已知直线的倾斜角为，则的取值范围是_________． 13、直线，当变化时，所得直线都通过的定点是（ ） A． B． C． D． 14、已知实数m，n满足，则直线必过定点_______． 15、已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 16、已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．6 17、已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_______． 18、已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________． 19、已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 20、直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 21、已知直线l：y＝4x和定点P(6，4)，点Q为第一象限内的点，且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求当OMQ的面积最小时点Q的坐标． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 直线的斜率与倾斜角 ( 知识精讲 ) 知识点一　直线的倾斜角 在平面直角坐标系中，当直线与轴相交时，我们以轴为基准，轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。 规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以倾斜角的范围是． 【概念解读】 1.要清楚定义中含有的三个条件：①直线向上方向；②轴正向；③小于的角. 2.从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角. 知识点二　直线的斜率 斜率的定义 1..倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即． 2.概念解读：当直线与x轴平行或重合时，=0°，k=tan0°=0；直线与x轴垂直时，=90°，k不存在。由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在. 3.直线的倾斜角与斜率之间的关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 斜率公式 已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式. 【概念解读】 对于上面的斜率公式要注意下面五点： (1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与x轴垂直； (2)k与P1、P2顺序无关，即y1，y2和x1，x2在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换； (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得； (4)当y1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合； (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． 知识点三　平行与垂直 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 ( 典型习题 ) 1、设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为 【答案】当0°≤＜135°时，为+45°，当135°≤＜180°时，为－135° 【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当+45°∈[0°，180°），即当0°≤＜135°时，的倾斜角才是+45°，而当135°≤＜180°时，的倾斜角为－135°． 2、已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 【解析】有两种情况：①如图（1），直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 3、经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)． 【解析】当m＝1时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在，倾斜角为90°.当m>1时，直线的斜率为k＝＝＝，因为m>1，所以k>0，故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.综上可知，直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°. 4、若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，a的值为为________． 【解析】∵A、B、C三点共线，∴直线AC、BC的斜率相等， ∴，解之得，a=±2． 5、下列命题中，正确的是（ ） A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大 B．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是 D．当直线的倾斜角时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 【解析】倾斜角的范围为时，直线斜率，倾斜角的范围为时，直线斜率，故A错误；直线的倾斜角时，直线斜率不存在，故B错误；直线倾斜角，则斜率的范围为，故C正确；斜率在和上单调递增，故D错误.故选：C. 6、如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是（ ） A． B． C． D． 【解析】由图可知：斜率为负，斜率为，的斜率为正， 又的倾斜程度大于，所以的斜率最大，故选：D. 7、如图，在矩形中，，直线的斜率为，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，在中，，， ∴，即.设直线的倾斜角为，则， ∴直线的倾斜角为，故. 故选：A. 8、直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】设直线的倾斜角为， 当时，；当时，则． 因为，所以，综上可得：．故选：A 9、若直线与直线平行，则（    ） A． B． C．或 D．不存在 解：由直线与直线平行，可得:，解得．故选:B. 10、已知，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解：如图所示，过点的直线与线段相交，，； 又因为该直线与轴垂直时，斜率不存在， 所以过点与线段相交的直线斜率取值范围为. 故选：A. 11、已知直线与两点，点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______． 【解析】由条件得有解，解得， 由，得或．故答案为：． 12、已知直线的倾斜角为，则的取值范围是_________． 【解析】当时，直线为，斜率不存在，倾斜角； 当时，直线化为直线的斜截式方程： 斜率，即， 综上可知，倾斜角的取值范围是，故答案为： 13、直线，当变化时，所得直线都通过的定点是（ ） A． B． C． D． 【解析】由变形得：， 由，解得，直线恒过定点.故选：C. 14、已知实数m，n满足，则直线必过定点_______． 【解析】由已知得，代入直线得， 即，由，解得， 直线必过定点，故答案为:. 15、已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的交点情况是（ ） A．无论，，如何，总有唯一交点 B．存在，，使之有无穷多个交点 C．无论，，如何，总是无交点 D．存在，，使之无交点 【解析】因为与是直线（为常数）上两个不同的点， 所以即，故既在直线上，也在直线上. 因为与是两个不同的点，故、不重合， 故无论，，如何，总有唯一交点.故选：A. 16、已知直线恒过定点，点也在直线上，其中，均为正数，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．6 【解析】已知直线整理得：， 直线恒过定点，即. 点也在直线上，所以，整理得：， 由于，均为正数，则, 取等号时，即，故选：B. 17、已知直线l经过点，且和直线的夹角等于，则直线l的方程是_______． 【答案】或 【解析】由已知可得直线的斜率，所以倾斜角为， 因为直线与的夹角为，所以直线的倾斜角为或， 当倾斜角为时,直线为，即为； 当倾斜角为时,直线为， 故答案为：或. 18、已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1，1)和Q(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________． 【解析】由x＋my＋m＝0得，x＋m（y＋1）＝0，所以直线l：x＋my＋m＝0恒过点A(0，－1)， 如下图所示，kAP＝＝－2，kAQ＝＝， 则－≥(m＜0)或－≤－2(m＞0)，所以－≤m≤且m≠0． 当m＝0时，直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点， 所以实数m的取值范围是－≤m≤．故答案为： 19、已知直线与轴，轴分别交于，两点，直线过点的中点，若直线，及轴围成的三角形面积为6，则直线的方程为（ ） A． B． C．或 D．或 【解析】由直线，可得与轴，轴分别交于， 则的中点为，即中点坐标为， 设直线的方程为，即，且与轴交于点， 因为直线，及轴围成的三角形面积为6， 可得，即，解得或， 当时，即点，此时直线的方程为，即； 当时，即点，此时，直线的方程为， 综上可得直线的方程为或. 故选：D. 20、直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6.若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 【解析】设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，若满足条件(1)，则a＋b＋＝12，① 又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1.②，由①②可得5a2－32a＋48＝0， 解得，或. ∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 若满足条件(2)，则ab＝12，③ 由题意得，＋＝1，④，由③④整理得a2－6a＋8＝0， 解得，或. ∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1， 即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 综上所述：存在同时满足(1)(2)两个条件的直线方程，为3x＋4y－12＝0. 21、已知直线l：y＝4x和定点P(6，4)，点Q为第一象限内的点，且在直线l上，直线PQ交x轴正半轴于点M，求当OMQ的面积最小时点Q的坐标． 【解析】如图，因为点Q在y＝4x上，故可设点Q的坐标为(t，4t)(t>0)， 所以PQ所在的直线方程为y-4＝·(x-6)， 令，可得，所以点M的坐标为， 所以OMQ的面积为S＝ 故 10t2－St＋S＝0，所以＝S2－4×10S≥0， 所以S≥40，即Smin＝40，此时t＝2，4t＝8， 所以当OMQ的面积最小时，点Q的坐标为(2，8)．故答案为：(2,8)． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$