第1章 §1.2 1.2.1 直线的点斜式方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦直线的点斜式与斜截式方程核心知识点，前承斜率公式与倾斜角概念，通过斜拉桥实例设问驱动推导，明确方程形式、适用范围及与一次函数的联系，构建“实例引入—问题探究—知识梳理—应用拓展”的学习支架。 资料以斜拉桥实例培养数学眼光，通过方程推导与斜率分类讨论发展数学思维，结合面积计算、定点问题强化数学语言表达。分层例题搭配反思总结，课中助力教师引导学生逻辑建构，课后练习题与拓展题帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.2.1　直线的点斜式方程 [学习目标]　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程的形式特点和适用范围.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.4.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系． 导语 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线． 已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索的位置确定吗？ 一、直线的点斜式方程 问题1　给定一个点P1(x1，y1)和斜率k(或倾斜角)就能确定一条直线．怎样将直线上不同于P1的所有点的坐标P(x，y)满足的关系式表达出来？ 提示　k＝，即y－y1＝k(x－x1)． 知识梳理 我们把方程y－y1＝k(x－x1)称为过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y1＝k(x－x1)叫作直线的点斜式方程． 注意点： (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y1.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x1.特别地，y轴的方程是x＝0. 例1　写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点(2,5)，倾斜角为45°； (2)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程； (3)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行； (4)经过点D(1,1)，且与x轴垂直． 解　(1)因为倾斜角为45°， 所以斜率k＝tan 45°＝1， 所以直线的方程为y－5＝x－2. (2)直线y＝x＋1的斜率k＝1，所以倾斜角为45°. 由题意知，直线l的倾斜角为135°， 所以直线l的斜率k′＝tan 135°＝－1. 所以直线的方程为y－4＝－(x－3)． (3)由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0， 所以直线的点斜式方程为y－(－1)＝0， 即y＝－1. (4)由题意可知直线的斜率不存在，所以直线的方程为x＝1，该直线没有点斜式方程. 反思感悟　求直线的点斜式方程的步骤及注意点 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x1，y1)→定斜率k→写出方程y－y1＝k(x－x1)． (2)点斜式方程y－y1＝k(x－x1)可表示过点P(x1，y1)的所有直线，但x＝x1除外． 跟踪训练1　求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点． 解　(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. ∵直线过点P(－2,3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 二、直线的斜截式方程 问题2　直线l上给定一个点P0(0，b)和斜率k，求直线l的方程． 提示　y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b. 知识梳理 1．直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距． 2．方程y＝kx＋b叫作直线的斜截式方程． 注意点： (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况；由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和纵截距． (2)截距是一个实数，它是直线与x轴交点的横坐标或与y轴交点的纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0. (3)斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一般可看成一条直线的斜截式方程． 例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)过点A(－1，－2)，B(－2,3)． 解　(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y＝3x－3. (2)∵倾斜角是60°， ∴斜率k＝tan 60°＝，由斜截式可得方程为y＝x＋5. (3)斜率为k＝＝－5，由点斜式得y－3＝－5(x＋2)，化为斜截式为y＝－5x－7. 反思感悟　求直线的斜截式方程的策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程只需两个独立条件即可． 跟踪训练2　(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； (2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线的斜截式方程； (3)已知直线的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标． 解　(1)易知k＝－1，b＝－2， 故直线的斜截式方程为y＝－x－2. (2)由于直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，根据直线的点斜式方程得直线方程为y＋4＝－(x－6)，化成斜截式为y＝－x＋4. (3)直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标为(0,1)． 三、点斜式直线方程的应用 例3　(1)已知直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有的直线恒过定点(　　) A．(1,3) B．(－1，－3) C．(3,1) D．(－3，－1) 答案　C 解析　直线kx－y＋1－3k＝0变形为y－1＝k(x－3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)． (2)直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是______________． 答案　(－∞，－1]∪[1，＋∞) 解析　令x＝0，得y＝k.令y＝0，得x＝－2k. 所以|k|·|－2k|≥1，即k2≥1. 所以k≤－1或k≥1. 延伸探究 1．若本例(1)中直线不经过第四象限，求k的取值范围． 解　直线kx－y＋1－3k＝0可化为y＝kx＋1－3k， ∵直线不经过第四象限， ∴解得0≤k≤. 2．若本例(1)中直线与x，y轴正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值． 解　直线kx－y＋1－3k＝0可化为 y＝kx＋1－3k， 当x＝0时，y＝1－3k>0，k<， 当y＝0时，x＝>0，k>或k<0， 综上，k<0， S△AOB＝(1－3k)·＝＝＝－k＋3－≥ 2＋3＝6， 当且仅当－＝－，即k＝－时取等号， 所以△AOB面积的最小值为6. 反思感悟　(1)解含参数的直线恒过定点问题，可将直线方程整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0)． (2)在求面积时，要将截距转化为距离． 1．知识清单： (1)直线的点斜式方程． (2)直线的斜截式方程． 2．方法归纳：待定系数法、数形结合法． 3．常见误区：求直线方程时忽视斜率不存在的情况；混淆截距与距离． 1．方程y＝k(x－2)表示(　　) A．过点(－2,0)的所有直线 B．过点(2,0)的所有直线 C．过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线 D．过点(2,0)且除去x轴的所有直线 答案　C 解析　易验证直线过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴． 2．已知直线l的方程为y＋＝(x－1)，则l在y轴上的截距为(　　) A．9 B．－9 C. D．－ 答案　B 解析　由y＋＝(x－1)，得y＝x－9， ∴l在y轴上的截距为－9. 3．已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为－2，则直线l的方程为(　　) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝x－2 答案　D 解析　∵α＝60°，∴k＝tan 60°＝， ∴直线l的方程为y＝x－2. 4．若直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　) A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0 答案　B 解析　直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，由图知，k>0，b<0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．已知一直线经过点A(3，－2)，且与x轴平行，则该直线的方程为(　　) A．x＝3 B．x＝－2 C．y＝3 D．y＝－2 答案　D 解析　∵直线与x轴平行，∴其斜率为0， ∴直线的方程为y＝－2. 2．若直线l的倾斜角为45°，且过点(0，－1)，则直线l的方程是(　　) A．y－1＝x B．y＋1＝x C．y－1＝－x D．y＋1＝－x 答案　B 解析　∵直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率为1， 又∵直线l过点(0，－1)， ∴直线l的方程为y＋1＝x. 3．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　) A．60°，2 B．120°，2－ C．60°，2－ D．120°，2 答案　B 解析　该直线的斜率为－， 当x＝0时，y＝2－， ∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－. 4．已知k∈R，b＝k2－2k＋3，则下列直线的方程不可能是y＝kx＋b的是(　　) 答案　B 解析　∵b＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2， ∴直线的方程y＝kx＋b在y轴上的截距不小于2，且当k＝1时，在y轴上的截距为2，故D正确； 当k＝－1时，b＝6，故B不正确； 当b＝3时，k＝0或k＝2，由图象知A，C正确． 5．(多选)直线(m2＋2m)x＋(2m2－m＋3)y＝4m＋1在y轴上的截距为1，则m的值可以是(　　) A．－2 B．－ C. D．2 答案　CD 解析　令x＝0，得y＝. 由已知得＝1，则4m＋1＝2m2－m＋3，即2m2－5m＋2＝0，解得m＝2或m＝，经检验，符合题意． 6．已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则k的取值范围为(　　) A．[0，＋∞) B．R C. D. 答案　C 解析　直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，则3－2k≤0，∴k≥. 7．(5分)在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________． 答案　y＝x－6或y＝－x－6 解析　因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或－， 又因为在y轴上的截距为－6， 所以直线的斜截式方程为 y＝x－6或y＝－x－6. 8．(5分)已知两点A，B，则直线AB的斜率k的值是______，直线AB在y轴的截距是______． 答案　3　－ 解析　根据题意，直线AB上的两点A，B， 则直线AB的斜率k＝＝3， 则直线AB的方程为y－(－1)＝3，变形可得y＝3x－， 则直线AB在y轴的截距是－. 9．(10分)已知某直线过点(－10,10)，且它与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍，求该直线方程． 解　易知直线方程的斜率存在且不为0，设直线方程为y－10＝k(x＋10)， 令y＝0，则x＝－－10，令x＝0，则y＝10k＋10， ∵直线与x轴交点的横坐标是其在y轴上的截距的4倍， ∴－－10＝4(10k＋10)，解得k＝－或k＝－1， ∴直线方程为y＝－x或y＝－x＋. 10．(10分)已知△ABC的三个顶点都在第一象限内，A(1,1)，B(5,1)，∠A＝45°，∠B＝45°.求： (1)直线AB的方程；(4分) (2)直线AC和BC的方程．(6分) 解　(1)因为A(1,1)，B(5,1)，所以直线AB平行于x轴，所以直线AB的方程为y＝1. (2)由题意知，直线AC的倾斜角为∠A＝45°，所以kAC＝tan 45°＝1. 又直线AC过点A(1,1)，所以直线AC的方程为y－1＝1×(x－1)，即y＝x. 同理可知，直线BC的倾斜角为180°－∠B＝135°，所以kBC＝tan 135°＝－1. 又直线BC过点B(5,1)，所以直线BC的方程为y－1＝－1×(x－5)，即y＝－x＋6. 11．已知直线l不经过第三象限，设它的斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则(　　) A．kb<0 B．kb≤0 C．kb>0 D．kb≥0 答案　B 解析　当k≠0时，∵直线l不经过第三象限，∴k<0，b>0，∴kb<0. 当k＝0，b>0时，直线l也不过第三象限，∴kb≤0. 12．一次函数y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(　　) A．m>1，且n<1 B．mn<0 C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0 答案　B 解析　由直线y＝－x＋经过第一、三、四象限， 得－>0，<0， ∴m>0，n<0.因此一次函数y＝－x＋的图象经过第一、三、四象限的必要不充分条件为mn<0. 13．(多选)下列结论正确的是(　　) A．方程k＝与方程y－2＝k(x＋1)可表示同一直线 B．直线l过点P(x1，y1)，倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C．直线l过点P(x1，y1)，斜率为0，则其方程是y＝y1 D．所有的直线都有点斜式和斜截式方程 答案　BC 解析　对于A，方程k＝表示的直线不含点(－1,2)，所以A错误；B，C显然正确；对于D，当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，此时它的方程不能用点斜式和斜截式表示，所以D错误． 14．(5分)将直线y＝x＋－1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是_________________________________________________________________. 答案　y－＝(x－1) 解析　由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°. ∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°， ∴所求直线的斜率为. 又∵直线过点(1，)， ∴由直线的点斜式方程可得y－＝(x－1)． 15．(5分)已知直线l过点P(2,1)，且直线l的倾斜角为直线y＝x＋倾斜角的2倍，则直线l的点斜式方程为____________________． 答案　y－1＝(x－2) 解析　由y＝x＋，得斜率为， 设直线y＝x＋的倾斜角为α，直线l的倾斜角为β，斜率为k， 则tan α＝，k＝tan β＝tan 2α＝＝. 又直线l过点P(2,1)，所以直线l的点斜式方程为y－1＝(x－2)． 16．(13分)已知直线l：y＝kx＋2k＋1. (1)求证：直线l恒过一个定点；(5分) (2)当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围．(8分) (1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)． 由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)． (2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若使当－3<x<3时，直线上的点都在x轴上方， 需满足 即解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $