精品解析：山东省临沂市河东区2024-2025学年下学期八年级数学期末试题

2024-2025学年度下学期期末学业水平质量调研试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 小莹在计算一组数据的方差时，列出没有化简的算式：关于这组数据，下列说法正确的是（ ） ①平均数是；②众数是；③中位数是；④样本容量是． A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以的两直角边为边向外分别作两个正方形，以的斜边为直径向外作半圆，若半圆的面积为，则两个正方形的面积的和为（ ） A. B. 64 C. D. 16 9. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（　　） A. B. C. D. 2 10. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③，是直线上不重合的两点，则；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点，在直线上，则，的大小关系是______． 12. 某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按、面试成绩按计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为___________分； 13. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的长为_____． 14. 如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是________． 15. 已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 18. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活．现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在组内的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 乙款人工智能软件得分扇形统计图 甲、乙两款人工智能软件得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 乙 86 86.5 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）在本次调查中，甲、乙两款人工智能软件得分更稳定的是 款； （3）在扇形统计图中，组所对应的圆心角度数是 ； （4）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数． 19. 2025年是习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的重要论断的二十周年．风力发电助力绿色发展，数学小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，在两侧的测角仪，也垂直于地面，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（结果保留根号） 20. 某学校准备分批次采购一些体育用品用于训练活动，第一批采购了跳绳和弹力带两种体育用品，其中购进跳绳的总费用元与购进跳绳数量根之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式． （2）现学校准备购进跳绳和弹力带共150根，已知弹力带每根22元，若购进跳绳的数量不少于80根；且不超过弹力带数量的4倍，购进两种体育用品的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，并说明怎样购买跳绳和弹力带两种体育用品才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 21. 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 22. 某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下： （1）作出函数的图象． ①列表： … 0 1 … … 0 2 1 0 … 其中，表格中的值为 ； ②描点：根据表格数据，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线：画出该函数的图象． （2）观察函数的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ． （3）结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则的取值范围为 ． 23. 如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，．作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． （1）当时，依题意补全图1，并直接写出的度数； （2）在（1）的条件下，用等式表示之间的数量关系，并证明； （3）若，，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期期末学业水平质量调研试题 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分120分．考试时间120分钟． 2．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考生号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上． 3．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并收回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与运算，根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断． 【详解】解：A． 与不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B． ，选项B中结果未化为最简，所以B选项错误，不符合题意； C． ，所以C选项错误，不符合题意； D． ，所以D选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和为进行判定即可． 【详解】A．，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； B．，，最大角，故不是直角三角形，符合题意； C． ，，则有，故是直角三角形，不合题意； D．，则，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； 故选B． 3. 函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握、的符号与一次函数图象经过的象限之间的关系是解题的关键：当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限．根据、的符号进行判断即可得出答案． 【详解】解：对于一次函数， ，， 函数图象经过第一、二、三象限， 即：函数图象不经过第四象限， 故选：D． 4. 小莹在计算一组数据的方差时，列出没有化简的算式：关于这组数据，下列说法正确的是（ ） ①平均数是；②众数是；③中位数是；④样本容量是． A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的定义，熟练掌握平均数与方差的定义是解题的关键． 根据方差算式可知数据为2、4、5、5，据此计算平均数、众数、中位数和样本容量即可． 【详解】解：由于方差算式中有四个平方项，分母为4， 则数据点为5、2、5、4，即数据为2、4、5、5，样本容量为4，则④错误； 根据数据之和为，个数为4，平均数，则①正确； 在这组数据中5出现次数最多，则众数为5，②正确； 将数据排序后为2、4、5、5，则中位数为，故③错误； 综上，正确的有①②． 故选：A． 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解决本题的关键． 根据平行四边形的判定定理，即“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”由这两个定理判断选项即可． 【详解】解：A选项，∵，， 一组对边平行，一组对边相等无法判定四边形是平行四边形，故不可以判定； B选项，∵，， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故可以判定； D选项，∵，， 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故可以判定． 故选：A ． 6. 如图，在菱形中，，，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质．连接交于O，根据菱形的性质得出，，， ，则可证是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，进而求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接交于O， ∵在菱形中，，， ∴，，， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式解集的关系．在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【详解】解：由图象可知，在x轴上方的函数图象所对应的自变量的取值为， 则不等式的解集是， 故选：A． 8. 如图，以的两直角边为边向外分别作两个正方形，以的斜边为直径向外作半圆，若半圆的面积为，则两个正方形的面积的和为（ ） A. B. 64 C. D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、直角三角形三边作图的图形面积问题、圆面积公式等知识，熟练掌握勾股定理，数形结合求解是解决问题的关键．根据半圆的面积求出，根据两个正方形的面积的和为，由勾股定理得到，即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， ， 两个正方形的面积的和为， 在中，， 两个正方形的面积的和为64， 故选：B． 9. 如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求的值，根据，求的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，， ∴， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③，是直线上不重合的两点，则；④．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与一元一次不等式的关系．由图象得出，，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵的图象经过第二、三、四象限， ∴，， ∴，故①正确； 将分别代入和得：，， 观察图象可得点在点的上方， ∴，故②正确； ∵，是直线上不重合的两点， ∴由图象可得：当时，，则，当时，，则，故③正确； 由图象可得，与交点的横坐标为， ∴当时，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若点，在直线上，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较正比例函数的函数值大小，根据解析式可得y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x增大而增大， ∵点，在直线上，且， ∴， 故答案为：． 12. 某招聘考试分笔试和面试两部分．其中笔试成绩按、面试成绩按计算加权平均数作为总成绩．小明笔试成绩为80分，面试成绩为85分，那么小明的总成绩为___________分； 【答案】81 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数的计算，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【详解】解：∵笔试成绩按、面试成绩按， ∴总成绩是（分）， 故答案为：81． 13. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和图形的折叠问题，勾股定理．根据矩形和折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得：， ∵ ∴在中，， ∴． 故答案为：2 14. 如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线y＝x＋b与△ABC有交点时，b的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝x＋b中求得b的值，再根据一次函数的增减性即可得到b的取值范围． 【详解】解：直线y＝x＋b经过点B，将B(3，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 直线y＝x＋b经过点A，将A(1，1)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 直线y＝x＋b经过点C，C(2，2)代入直线y＝x＋b中，可得，解得； 故b的取值范围是． 故答案为： 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型． 15. 已知，从勾股定理的学习中可以将该式看成直角三角形的两直角边分别为、，计算结果为斜边，同理计算可以看成直角边分别为、，结果为斜边长度，利用此原理并结合图形解决问题：已知，计算的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】在一条长为的线段上取一点，将线段分为两条线段，以这个点为锐角顶点，这两条线段为直角边，在线段的两旁建立两个直角三角形，这两个直角三角形的另一条直角边分别为和，利用两点之间线段最短和勾股定理求出这两个直角三角形另一个锐角顶点连线的长度即为所求的最小值． 【详解】构造两直角三角形如图， ，，，，点为上一个动点，，，则： ，，， 由图可知：， ∴的最小值为线段的长， 过点作交的延长线于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是用数形结合思想，构造出图形． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地化简二次根式是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先把括号内的每一个二次根式化成最简二次根式，再利用完全平方公式计算，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 17. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1） 直线l如图所示， （2） 补全图形，如图， 证明：由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活．现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息． 甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 乙款人工智能软件在组内的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 乙款人工智能软件得分扇形统计图 甲、乙两款人工智能软件得分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 甲 86 乙 86 86.5 88 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）在本次调查中，甲、乙两款人工智能软件得分更稳定的是 款； （3）在扇形统计图中，组所对应的圆心角度数是 ； （4）若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数． 【答案】（1），， （2）乙 （3） （4）510人 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计分析概念，如中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况．熟练掌握中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义来计算和，根据组数据个数计算； （2）通过比较两款软件的方差来判断哪款更稳定即可； （3）用360度乘以C组所占百分比即可； （4）用样本中对两款软件非常满意的比例乘以总体人数来估计总用户数． 【小问1详解】 解：甲款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，， 所以甲款得分的中位数为：， 甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：， 组人数， 所以，故， 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：∵，即甲的方差大于乙的方差， ∴得分更稳定的是乙款， 故答案为：乙； 【小问3详解】 答：组所占圆心角为：； 【小问4详解】 （人） 答：对甲、乙两款人工智能软件非常满意的总用户数为510人． 19. 2025年是习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”的重要论断的二十周年．风力发电助力绿色发展，数学小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，在两侧的测角仪，也垂直于地面，，点与点相距（点，，在同一条直线上），在处测得筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（结果保留根号） 【答案】风电塔筒的高度约为 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，连接交于点，根据题意得出四边形是平行四边形，，，确定，设，确定，，结合图形得出方程，求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点， 由题意可得，， ∴， 又， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 设， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 风电塔筒的高度约为． 20. 某学校准备分批次采购一些体育用品用于训练活动，第一批采购了跳绳和弹力带两种体育用品，其中购进跳绳的总费用元与购进跳绳数量根之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式． （2）现学校准备购进跳绳和弹力带共150根，已知弹力带每根22元，若购进跳绳的数量不少于80根；且不超过弹力带数量的4倍，购进两种体育用品的总费用为元，请求出与之间的函数表达式，并说明怎样购买跳绳和弹力带两种体育用品才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】（1） （2）；当购进120根跳绳，30根弹力带时，总费用最少为3310元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，求一次函数解析式，解题的关键是关键是根据题意列出函数解析式． （1）分两种情况：当时，当时，分别用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据购进跳绳的数量不少于80根，且不超过弹力带数量的4倍，求出，然后求出购进两种体育用品的总费用，再根据一次函数的增减性进行求解即可． 【小问1详解】 解：当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ； 当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ， 综上，； 【小问2详解】 解：购进跳绳的数量为根，则购进弹力带的数量为根， 根据题意得， 解得：， 购进两种体育用品的总费用， ， 随的增大而减小， 当时， 有最小值，元， （根）， 当购进跳绳的数量为120根，购进弹力带的数量为30根时，总费用最少为3310元． 21. 如图，在四边形中，点、、、分别是各边的中点，且，，四边形是矩形． （1）求证：四边形是菱形； （2）若矩形的周长为22，四边形的面积为10，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，， ，， 四边形是平行四边形， 四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证明四边形是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到，，利用矩形的性质得到，即可证明四边形是菱形； （2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到，利用lx 面积公式得到，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形中，点、、、分别是各边的中点， ，， 矩形的周长为22， ， 四边形是菱形， 即， 四边形的面积为10， ，即， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，矩形的性质和判定，三角形中位线定理，菱形的性质和判定，菱形面积公式，勾股定理，完全平方公式，熟练掌握相关性质是解题的关键． 22. 某班“数学兴趣小组”结合自己的学习经验，对新函数的图象、性质及应用进行了探究，探究过程如下： （1）作出函数的图象． ①列表： … 0 1 … … 0 2 1 0 … 其中，表格中的值为 ； ②描点：根据表格数据，以自变量的值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； ③连线：画出该函数的图象． （2）观察函数的图象，请你写出该函数的两条性质：① ；② ． （3）结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：若点与都在函数的图象上，总有，则的取值范围为 ． 【答案】（1）①；②见解析；③见解析 （2）①图象关于直线成轴对称；②当时，随增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系． （1）依据题意，结合函数的解析式及表格数据即可计算判断得解； （2）根据函数图象的增减性和最值求解； （3）根据“跟对称轴越近函数值越大”列不等式求解． 【小问1详解】 解：①当时，， 故答案为：1； ②③图象如下： 【小问2详解】 解：①图象关于直线成轴对称； ②当时，随增大而增大． 故答案为：①图象关于直线成轴对称； ②当时，随增大而增大． 【小问3详解】 解：由题意，结合图象可，得图象上的点离对称轴直线越近函数值越大， 又∵点与都在函数的图象上，总有， ∴， ∴或． 故答案为：或． 23. 如图，四边形是正方形．过点在正方形的外侧作射线，．作点关于射线的对称点，线段交射线于点，连接交直线于点． （1）当时，依题意补全图1，并直接写出的度数； （2）在（1）的条件下，用等式表示之间的数量关系，并证明； （3）若，，直接写出线段的长． 【答案】（1） 补全图形如下， ； （2） 当时，，证明如下： 作，交与点H，垂足为点，如图， ， 四边形是正方形， ， ， ， 由对称的性质可得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ， ． （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，补全图形即可得到答案；根据题意，由对称性可知，再结合正方形性质得出，可以得到是等腰三角形，由于，则，在中，利用三角形外角和定理即可得到答案； （2）线段之间的数量关系为．证明如下：过点C做作，交与点H，由题意可知：，得到，再根据直角关系得到，再证明，得到，由（1）可知是等腰直角三角形，，，即可得到． （3）需要对不同情况进行讨论． ①当时，参照（2）中的结论求解； ②当时，过点C做作，交与点H，由题意可知：，得到，再根据直角关系得到，再证明，得到，，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，，，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，如图， 四边形是正方形， ， 由对称的性质可得， ， ， 是的一个外角， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当时，由（2）可知，是等腰直角三角形， ， ， 由对称的性质可得， 是等腰直角三角形，， ． ②当时，如下图，作，交与点H，垂足为点， 四边形是正方形， ， ， ， 由对称的性质可得， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， 由勾股定理得， ． 综上所述，为或． 【点睛】本题考查了正方形性质、轴对称的性质、等腰三角形判定和性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理等，熟练掌握知识点进行证明推理，分情况讨论是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $