精品解析：辽宁省沈阳市沈河区2024-2025学年 下学期八年级数学 期末试卷

沈河区2024—2025学年度下学期 八年级数学教学数据采集试题 （试卷满分120分，考试时间100分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 要使分式有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 7. 已知不等式ax+b＜0的解集是x＜-2，下列图象有可能是直线y=ax+b的是（　 　） A. B. C. D. 8. 如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（ ） A. B. C. D. 9. 斜边为2的两个全等的直角三角板，如图1所示拼成一个矩形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时，如图2，则平移距离的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：__________ 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 13. 如图，平移到的位置，则下列说法： ①； ②； ③平移的方向是点C到点E的方向； ④四边形，，为平行四边形． 其中说法正确的序号为______． 14. 如图，为等边三角形，于，点E为边的中点，点P为上一个动点，当的值最小时，线段的长为_______． 15. 如图，中，，D，E分别是，上的点，于点H．，，，则长为______． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）利用数轴解一元一次不等式组：． （2）先化简：，并任选一个数a代入求值，a是整数且满足． 17. 如图，为的对角线，点E为线段的中点，连接与的延长线交于点F． （1）求证：． （2）若，，．求的长． 18. 某服装店老板预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用10000元购进一批这种恤衫，面市后销量果然很好，又用6000元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的一半，但每件的进价贵了10元． （1）该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？ （2）如果这两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的20件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于60%（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？（精确到个位） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，在图中画出； （2）在图中作出关于原点O成中心对称的，并直接写出A点对应点的坐标 ； （3）在平面直角坐标系中存在一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标． 20. 因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： （1）图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． （2）下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 21. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． （1）如图1，在中，，，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，同理．再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是 ． （2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示．全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜50元；用500元购买正三角形瓷砖与用1500元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 元． 22. 我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形）例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． （1）如图2，已知，请利用尺规作图，在射线上画出点D，并补全四边形，使四边形是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法和结论）； （2）如图3，为等边三角形．点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形为单直邻等四边形； （3）如图4，四边形为单直邻等四边形，，，连接，若，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，当D，C，E三点共线时，求与的面积比； （4）如图5，射线于点C，，，点A在射线上，，点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的角平分线交于点P，请直接写出的长 ． 23. 平面直角坐标系中的图形，，为图形上任意一点，为图形上任意一点，称，两点间距离的最小值为图形、间的“近距离”，记作．如图，在中，点，，，． （1） ； （2）若点在轴上，，直接写出点坐标 ； （3）已知点，，，，顺次连接点，，，，将得到的四边形记为图形，其中图形在内部． 当，求出的值； 若，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈河区2024—2025学年度下学期 八年级数学教学数据采集试题 （试卷满分120分，考试时间100分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 要使分式有意义，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即， 故选：B． 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的定义解答即可． 【详解】A.从左至右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B.从左至右的变形属于整式乘法且计算错误，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C.从左至右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； D.右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是因式分解，熟知把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式是解题的关键． 4. 若一个多边形的内角和等于外角和的5倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．根据多边形的内角和公式和外角和定理列出方程，然后求解即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得，， 解得． 故这个多边形的边数是12． 故选：D． 5. 不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，于是可得到正确的选项． 【详解】解不等式x-1≤0得x≤1， 解不等式x+3＞0得x＞-3， 所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集：用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 6. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定， 先根据矩形的定义判断A，再根据正方形的判定说明B，然后根据对边相等的平行四边形是否是菱形解答C，最后根据正方形的判定说明D即可． 【详解】解：∵，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 则A正确； ∵，四边形是矩形， ∴四边形是正方形（有一组邻边相等是矩形是正方形）． 则B正确； ∵四边形是平行四边形，就有， ∴加上条件，不能说明四边形是菱形． 则C不正确； ∵，四边形是菱形， ∴四边形是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）． 则D正确． 故选：C． 7. 已知不等式ax+b＜0的解集是x＜-2，下列图象有可能是直线y=ax+b的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式得到当x＜-2时，直线y=ax+b的图象在x轴下方，然后对各选项分别进行判断． 【详解】∵不等式ax+b<0的解集是x<−2， ∴当x<−2时，函数y=ax+b的函数值为负数，即直线y=ax+b的图象在x轴下方. 故选C 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b在x轴上（或下）方部分所有点的横坐标所构成的集合 8. 如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角和定理、正多边形的外角和定理，多边形的外角和均为，所以正五边形的每个外角的度数均为，所以正五边形的每个内角的度数为，根据四边形的内角和为，可得：，从而可得：． 【详解】解：五边形是正五边形， ， 在四边形中，， ，， ， 解得：． 故选：D． 9. 斜边为2的两个全等的直角三角板，如图1所示拼成一个矩形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右下方向滑动，当四边形是菱形时，如图2，则平移距离的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解答本题的关键． 先求出，然后证明，推出，可得结论． 【详解】解：，， （直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半）， 四边形是菱形， ∴， ． 四边形是菱形， ∴， ，， ，． ， ． ，， ， ． 故选：A． 10. 《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（一丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入八百九十六文；绫布和罗布各出售一尺共收入一百二十文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． 根据绫布和罗布各一尺共值120文，列出绫布每尺价格与罗布每尺价格之和等于120的方程，即可求解． 【详解】解：设绫布有尺，则罗布有尺. ∵绫布总价896文，∴绫布每尺价格为文； ∵罗布总价896文，∴罗布每尺价格为文； 又∵绫布和罗布各一尺共值120文， ∴． ∴． 故选：B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每题3分，共15分） 11. 分解因式：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的概念以及平方差公式的运算，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 将转化为使用平方差公式进行化简即可 ． 【详解】解： 故答案为： ． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 13. 如图，平移到的位置，则下列说法： ①； ②； ③平移的方向是点C到点E的方向； ④四边形，，为平行四边形． 其中说法正确的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质以及平行四边形的判定，掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质，平行线的性质以及平行四边形的判定逐项进行判断即可． 【详解】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点C到点F的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，，，因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，． 故答案为：①②④，． 14. 如图，为等边三角形，于，点E为边的中点，点P为上一个动点，当的值最小时，线段的长为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 连接，则的长度即为与和的最小值．利用直角三角形三角形的性质和勾股定理求得，推导出，再利用利用直角三角形三角形的性质和勾股定理求得，进而得到． 【详解】解：如连接，与交于点，此时最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， 即就是的最小值， ∵是等边三角形， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 故答案为：4． 15. 如图，中，，D，E分别是，上的点，于点H．，，，则长为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 如图：过点A作且，连接，过点E作，将求的长转化为求的长，然后再运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点A作且，连接，过点E作， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵于点H， ∴， ∴在等腰直角三角形中，， ∴，解得：, ∴， 在中，． ∴． 故答案为：7． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）利用数轴解一元一次不等式组：． （2）先化简：，并任选一个数a代入求值，a是整数且满足． 【答案】（1）见解析，；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求法，数轴表示解集，分式的化简求值以及完全平方公式的应用，需熟练掌握一元一次不等式的解法，并满足分式的分母不为零的值代入求解是解决本题的关键． （1）先分别求出一元一次不等式的解，再从数轴上表示即可． （2）先由分式的化简步骤通分再按顺序进行运算，再找一个满足a是整数且满足的值代入求解即可． 【详解】（1）解：一元一次不等式组：， 则解得， 解得， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为． （2）解： ， ∵a是整数且满足，且， ∴令，原式． 17. 如图，为的对角线，点E为线段的中点，连接与的延长线交于点F． （1）求证：． （2）若，，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理及其逆定理： （1）根据平行四边形的性质可得，可证明，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理逆定理可得以及平行四边形的性质可得，，再由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴． 18. 某服装店老板预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用10000元购进一批这种恤衫，面市后销量果然很好，又用6000元购进了第二批这种恤衫，所购数量是第一批购进量的一半，但每件的进价贵了10元． （1）该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是多少元？ （2）如果这两批恤衫按相同的标价销售，最后缺码的20件恤衫按七折优惠售出，要使两批恤衫全部售完后利润率不低于60%（不考虑其他因素），那么每件恤衫的标价至少是多少元？（精确到个位） 【答案】（1）该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是50元和60元 （2）每件恤衫的标价至少是88元 【解析】 【分析】（1）根据题意，设该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，列分式方程求解即可得到答案； （2）先求出恤衫销售总数量，设每件恤衫的标价是元，列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是元和元，根据题意可得： ， 解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， ， 答：该服装店购进第一批、第二批恤衫每件的进价分别是50元和60元； 【小问2详解】 解：由题意可得两批共销售（件）， 设每件恤衫的标价是元，根据题意可得 ， 解得， 根据题意取， 答：每件恤衫的标价至少是88元． 【点睛】本题考查分式方程及不等式解实际应用题，涉及分式方程的应用、一元一次不等式的应用等知识，读懂题意，准确列出方程及不等式求解是解决问题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将先向左平移4个单位，再向上平移2个单位得到，在图中画出； （2）在图中作出关于原点O成中心对称的，并直接写出A点对应点的坐标 ； （3）在平面直角坐标系中存在一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点D的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析， （3）或或． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平移作图、旋转作图、平行四边形的性质等知识点，正确画出相关图形成为解题的关键． （1）先根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）先根据旋转的性质确定点的位置，然后顺次连接，再直接写出的坐标即可； （3）先画出以A、B、C、D四个点为顶点的四边形为平行四边形，然后直接写出点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 【小问2详解】 解：如图：即为所求．其中的坐标为． 【小问3详解】 解：如图：四边形均为平行四边形，且．即点D的坐标为或或． 20. 因式分解是整式的一种重要恒等变形，它和整式乘法运算有着密切的联系，是后续学习分式化简与运算、解一元二次方程的重要基础．下图是小华对“整式乘法与因式分解”这部分知识的梳理： （1）图中有一处空白，根据本章所学知识，你认为空白处应填的内容是 ． （2）下列习题为新知识学习能力测试题，提供一个例题讲解和三个闯关问题，请同学们认真解答每一个闯关问题： 新知学习 【例题讲解】当k取何值时，是一个完全平方式？ 解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式：的结构特征．因为，是一个完全平方式，故将写成，根据多项式对应项的系数相等，得到． 问题1 ①若是完全平方式，则m的值为 ； ②若（n为常数）是完全平方式，则n的值为 ； 问题2 ③已知：，则b的值为 ； 问题3 ④如图，现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（） Ⅰ．若利用甲，乙，丙矩形纸片拼出来的正方形面积为，则正方形边长为 ；（有含a、b的代数式表示） Ⅱ．小新要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，再取乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 【答案】（1）公式法 （2）①8或；②9；③；④，6 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式变形是解题的关键． （1）根据所学知识和图中信息提示可得空白处为公式法； （2）①根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得求解即可； ②根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得； ③先将展开，再根据完全平方公式的结构特征，多项式对应项的系数相等，可得，求解即可； ④Ⅰ、直接利用完全平方公式将因式分解为即可求解； Ⅱ、设还需要x张丙纸片，由题意得，求解即可． 【小问1详解】 解：根据所学知识和图中信息提示可得空白处为：公式法， 故答案为：公式法； 【小问2详解】 ①∵是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 或， 故答案为：或； ②是完全平方式， ， 根据多项式对应项的系数相等得：， 故答案为：9； ③， 则根据多项式对应项的系数相等得：，， 解得：，， 故答案为：； ④Ⅰ、， 正方形的边长为， 故答案为：； Ⅱ、设还需要x张丙纸片， 由题意得：， ， 又x不能为负数， ， 故答案为：6． 21. 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． （1）如图1，在中，，，，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，同理．再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是 ． （2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示．全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜50元；用500元购买正三角形瓷砖与用1500元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 元． 【答案】（1） （2）①正三角形瓷砖每块的价格为25元，则正六边形瓷砖每块的价格为75元；②1275． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可得图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，则图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同，如图1所示，过点B作于E，求出，进而求出，，再根据平行四边形的面积公式求得的面积，然后求得图形5的面积即可； （2）①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元，然后根据用500元购买正三角形瓷砖与用1500元购买正六边形瓷砖的数量相等列出方程求解即可；②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，则为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多，根据图形找出正六边形瓷砖最多的情形并进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线方向平移而成，则图4中的四边形的面积与图1中的平行四边形的面积相同， 如图1：过点B作于E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴图5的面积； 【小问2详解】 解：①设正三角形瓷砖每块的价格为x元，则正六边形瓷砖每块的价格为元， 由题意得，，解得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴， ∴正三角形瓷砖每块的价格为25元，则正六边形瓷砖每块的价格为75元． ②由题意得一个正六边形所占的区域相当于6个正三角形所占的区域，而， ∴为了使总费用会更少，则正六边形瓷砖要尽可能的多， 根据图7结合题意可知，第一行3个六边形，紧接着第二行错开一位2个六边形， 正六边形瓷砖最多可以使用13块，此时正三角形瓷砖需要12块， ∴购买瓷砖最少需要元． 22. 我们将一组邻边相等且其中一边邻角（不是这组邻边的夹角）为直角的凸四边形称为单直邻等四边形．（凸四边形是指所有内角均小于的四边形）例如：如图1，在四边形中，如果，，那么四边形为单直邻等四边形． （1）如图2，已知，请利用尺规作图，在射线上画出点D，并补全四边形，使四边形是单直邻等四边形．（保留作图痕迹，不用写作法和结论）； （2）如图3，为等边三角形．点E在的角平分线上，连接，将绕点E顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形为单直邻等四边形； （3）如图4，四边形为单直邻等四边形，，，连接，若，将绕点B逆时针旋转得到线段，连接、，当D，C，E三点共线时，求与的面积比； （4）如图5，射线于点C，，，点A在射线上，，点B在射线上，且四边形为单直邻等四边形，的角平分线交于点P，请直接写出的长 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） （4）4或8 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、含30°的直角三角形的性质、勾股定理等知识，掌握分类讨论思想是解决问题的关键． （1）根据线段的垂直平分线的性质，作的垂直平分线即可作图； （2）根据等边三角形的性质可得出，可证得，从而，进而得出结论； （3）根据旋转的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据等边三角形的性质得到，求得，根据勾股定理得到，求得，过C作于H，根据直角三角形的性质得到，进而完成解答； （4）如图：作于G，设交于点Q，当点A在的上方和下方时，解直角三角形求得和的值，从而求得的值，从而得出的值，依次求得的值，进而求得的值． 【小问1详解】 解：如图2，连接，作的垂直平分线交射线于点D，连接，则四边形即为所求； 【小问2详解】 证明：如图3，∵是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为单直邻等四边形． 【小问3详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， 如图：过C作于H， ∵， ∴， ， ∴与的面积比． 【小问4详解】 解：如图5，作于G，设交于点Q，则， ①当点A在的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵中，， ∴； ②如图6，当点A在的下方时， 由①知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∵中，， ∴． 综上所述：或8． 故答案为：4或8． 23. 平面直角坐标系中的图形，，为图形上任意一点，为图形上任意一点，称，两点间距离的最小值为图形、间的“近距离”，记作．如图，在中，点，，，． （1） ； （2）若点在轴上，，直接写出点坐标 ； （3）已知点，，，，顺次连接点，，，，将得到的四边形记为图形，其中图形在内部． 当，求出的值； 若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2），，，； （3）； ． 【解析】 【分析】根据根据“近距离”的定义和垂线段最短，可知当时，点到的距离最短，利用等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式可以求出； 因为点在轴上，可知点到、的距离均为，所以一定是点到或的距离是，此时应分点到的距离为和点到的距离为讨论； 当时，可得：点，，，，则四边形是平行四边形，可知点到的距离即为的值，利用等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质计算即可； 过点E，G作直线，分别交于点P，L，由E，F，H，G的点坐标可知，，四边形是一个大小不变的平行四边形，且E点沿着直线运动，分情况求解：当在x轴下方和上方，即当即可． 【小问1详解】 解：由图可知，点的坐标是，点的坐标是， 点是的中点， 点是对角线的交点， 由点，，，的坐标可知轴，轴， 点到、的距离为， 由图可知与轴的交点的坐标为， ，， 是等腰直角三角形，， 过点作， 则， ， 解得：， ， 故答案为：； ； 【小问2详解】 解：点在轴上， 点到、的距离均为， ，则一定是点到或的距离是， 如下图所示，过点作， 由可知， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； 如下图所示， 当点在点上面时， 可得， 点的纵坐标为， 点的坐标为； 如下图所示， 设与轴交点为点， 由可知， 又， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； 如下图所示，当点在点的上面时， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为，，，， 故答案为：，，，； 【小问3详解】 当时，可得：点，，，， 则四边形是平行四边形， 如下图所示，由的坐标和点的坐标， 可知， 延长交于点， 则， 点的坐标是， ，， ， ， ； 如图，将向左向右各平移1个单位距离，向上或向下各移动个单位距离，如图： ∴当在内时，符合题意， ∵点， ∴直线：，直线：，直线：，直线：， ∴直线：，直线：，直线：，直线：， 直线：，直线：，直线：，直线：， ∵点， 在直线上，F、H在直线上， ，，，． ，即， ． 【点睛】本题考查了坐标与图形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，点到直线的距离相等，新定义下的实数运算等知识．解题的关键在于理解题意，分情况求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $