精品解析：安徽省阜阳市界首市2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年安徽省阜阳市界首市八年级（下）期末 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，共39分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减以及二次根式的性质进行计算即可求解． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加减以及二次根式的性质，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件计算即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴，， 解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零，被开方数是非负数是解题的关键． 3. 下列正多边形的组合中，能够平面镶嵌的是（ ） A. 正三角形和正六边形 B. 正方形和正五边形 C. 正三角形和正五边形 D. 正五边形和正七边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平面镶嵌，正多边形内角和问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．根据求出每个选项中正多边形的内角度数，再判断能否组成360度的周角，即可得到答案． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， ∵， ∴正三角形和正六边形能够平面镶嵌，符合题意． B、正方形的每个内角是，正五边形每个内角是，不存在正整数m、n，使得，故正方形和正五边形不能平面镶嵌，不符合题意； C、正三角形的每个内角是，正五边形每个内角是，不存在正整数x、y，使得，故正三角形和正五边形不能平面镶嵌，不符合题意； D、正五边形每个内角是，正七边形每个内角是，不存在正整数s、t，使得，故正五边形和正七边形不能平面镶嵌，不符合题意； 故选：A． 4. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程中的常数项移到等号的右边，再在方程的两边同时加1，再进行配方，即可得出答案． 【详解】x2+2x﹣4＝0， x2+2x＝4， x2+2x+1＝4+1， （x+1）2＝5， ∴方程x2+2x﹣4＝0配方成（x+m）2＝n的形式后，m＝1，n＝5， 故选A． 【点睛】本题考查了配方法的应用，掌握配方法的步骤是本题的关键，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 5. 已知一组数据2、3、9、6、10、6，那么6是这组数据的（ ） A. 平均数但不是中位数 B. 平均数也是中位数 C. 既不是平均数也不是中位数 D. 中位数但不是平均数 【答案】B 【解析】 【分析】先将这组数据从小到大排列，分别求出中位数、众数、平均数，即可解答． 【详解】解：按从小到大排列数据，2、3、6、6、9、10， 这组数据的中位数是， 这组数据的平均数是， 这组数据中6出现了2次，2、3、9、10各只出现1次， 所以众数是6， 可知，中位数与平均数与众数相同， 故选：B． 【点睛】本题考查了求一组数据的中位数、众数、平均数，解题的关键是理解相关概念，利用概念求解． 6. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2020 D. 2019 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选：B． 7. 如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，由中位线定理得到，，再由角平分线和平行线的性质得到，则，即可得到的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵D、E分别为的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】此题考查了中位线定理、勾股定理、等角对等边等知识，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 8. 如图，点E在平行四边形ABCD内部，，，设平行四边形ABCD的面积为，四边形AEDF的面积为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】首先由ASA可证明：△BCE≌△ADF；由平行四边形的性质可知：，进而可求出的值． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∵AF∥BE， ∴∠EBA+∠BAF=180°， ∴∠CBE=∠DAF， 同理得∠BCE=∠ADF， 在△BCE和△ADF中， ， ∴△BCE≌△ADF（ASA）， ∴S△BCE=S△ADF， ∵点E在▱ABCD内部， ∴， ∴， ∵▱ABCD的面积为S1，四边形AEDF的面积为S2， ∴=2， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练利用三角形和平行四边形边的关系得出面积关系是解题关键． 9. 勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先证明得，设，，，由勾股定理得，，进而得，，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形，为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 设，，， 由勾股定理得，， 即， , ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：D． 10. 如图．在中，，点是斜边上的中点，点在上，于，于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键．过B作于G，过P作于H；则四边形是矩形，；再证明，得，则，由勾股定理求出，利用面积关系即可求得结果的值． 【详解】解：如图，过B作于G，过P作于H； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； ∵点是斜边上的中点，， ∴， ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理， ∵， ∴， 即， 故选：A． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 化简_____． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2025． 12. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于108° ∴每一个外角为72° ∵多边形的外角和为360° ∴这个多边形的边数是：360÷72=5 故答案为：5 13. 已知点E为矩形的边上一点，若，，如果，那么_______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，掌握“30度角对应的直角边长度为斜边长度的一半”是解题的关键． 利用余角的性质求得，利用等边对等角求得，再利用平角的定义求得，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 14. 如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角（其中，），连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是________； （2）的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）分别过点G作于M，于H，根据矩形的性质及全等三角形的判定得出，，确定四边形是正方形，再由等腰三角形的判定和性质得出，设，则，结合图形即可求解； （2）过点作，，可证得，进而证得点在的角平分线上，在的延长线上取点，使得，可得，可证得，可得，可知，当、、在同一直线上时去等号，进而可知的最小值为． 【详解】解：分别过点G作于M，于H，如图1，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∵E，F分别是边上的中点， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G到的距离为， 故答案为：； （2）∵四边形是矩形，，， ∴，， 过点作，，则四边形是矩形， ∴，， ∵，，则， ∴， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上， ∴， 在的延长线上取点，使得，则， 则 ∵， ∴， ∴， 则，当、、在同一直线上时取等号， 即：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则是解题的关键．根据二次根式混合运算法则和二次根式性质进行求解即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：(x+1)2=3(x+1) 【答案】x1=-1，x2=2． 【解析】 【分析】把右边的项移到左边，然后提公因式法因式分解，求出方程的两个根． 【详解】解：(x+1)2-3(x+1)=0， (x+1)(x-2)=0， ∴x+1=0，x-2=0， 解得x1=-1，x2=2． 【点睛】本题考查的是用因式分解法解方程，把右边的项移到左边后，可以用提公因式的方法进行因式分解，求出方程的两个根． 17. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，找一点P，使得以A，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形； （2）在图2中，作出的平分线． 【答案】（1） 如图所示：四边形即为所求的平行四边形． （2） 如图所示，即为所求的角平分线． 【解析】 【分析】本题考查仅用无刻度的直尺作图问题，等腰三角形的三线合一，平行四边形的判定等知识，根据图中的信息求的长作于之平行且相等的线段和求的长构造等腰三角形是解题的关键． （1）由图可知，过点找到，且，即可求得结果； （2）有图可知，构造等腰三角形，根据三线合一可得的平分线． 【小问1详解】 解：由图可知，过点找到，且， ，， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：如图，根据勾股定理可得：， 延长到，使得，连接， 由图可得：是中点， 在等腰三角形中，由三线合一可得： 平分， 即为的平分线． 18. 观察下列各式： ……，请你猜想： （1） ， ． （2）请你将猜想到的规律用含有自然数的等式表达出来： 【答案】（1）5；6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中所给等式，得到规律即可得到答案； （2）根据题中所给等式，得到规律． 【小问1详解】 解：由得到规律为， ，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由得到规律为，其中自然数． 补充证明如下： 自然数， ，即，其中自然数． 【点睛】本题考查代数式规律问题，涉及二次根式性质，准确根据等式找到规律是解决问题的关键． 19. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【答案】（1）且 （2）10 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质； （1）利用二次项系数非零及根的判别式，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围； （2）利用等腰三角形的性质，可得出，进而可得出，解之可得出m的值，将其代入原方程，可求出，的值，再利用三角形的周长公式，即可求出结论． 【小问1详解】 解：∵，是关于x的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：且， ∴m的取值范围为且； 【小问2详解】 解：∵等腰的底边，且，恰好是另外两边的边长， ∴， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴， ∵3，3，4可以组成三角形， ∴这个三角形的周长为． 20. 如图，在中，D、E、F分别是各边的中点，是高． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，等边对等角等等，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据线段中点的定义和三角形中位线定理得到，由此即可证明四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质得到，由直角三角形斜边上的中线的性质得到，则，同理，由此可得． 【小问1详解】 证明：∵在中，D、E、F分别是各边的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵是高，即，D是的中点， ∴， ∴， 同理， ∴． 21. 跳绳是我国民间的一项体育项目，它可以促进少年儿童的健康发育，也可以培养身体的平衡感，因此具有较大的锻炼价值，一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一，某校为了了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为组：（组：；组：；组：；组：；组：），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： 被抽取的学生的跳绳个数在组的数据是：，，，，，． 八年级被抽取的学生跳绳个数的平均数、中位数、众数如表： 年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）求八年级被抽取的学生的跳绳个数在的人数，并补全频数分布直方图； （2）______； （3）若该校八年级有学生名，估计全年级学生跳绳个数不少于个的人数． 【答案】（1）6人，图见解析 （2）193 （3）估计全年级学生跳绳个数不少于个的人数为人 【解析】 【分析】本题考查的是频数率分布直方图和扇形统计图的综合运用，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，熟知各项目数值之和等于总数、百分比之和等于及样本估计总体的思想是解题的关键． （1）根据组的人数和百分比即可求出八年级的总人数，用总人数乘以组的百分比求出跳绳个数在的人数，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义求即可； （3）用乘以八年级学生跳绳个数不少于个的所占百分比可得． 【小问1详解】 解：∵八年级抽取的总人数为人， 组的人数为人， 补全频数分布直方图： 【小问2详解】 解：∵八年级抽取的总人数为20人， ∴将数据从小到大排序后，中位数是第10，11个数据的平均数， ∵A组3人，B组6人，C组6人， ∴第10，11个数据在C组，即191，195， ∴中位数． 故答案为：193 【小问3详解】 解：人， 答：估计全年级学生跳绳个数不少于个的人数为人． 22. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设月平均增长率为，根据题意列出方程即可； （2）设售价应降低元，则可卖出件，利用每件获利乘以销售数量等于每天销售获利，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得：（不合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元， 由题意得，， 整理得：， 解得：， 尽量减少库存， ， 答：售价应降低20元． 23. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，求证：； （2）在的条件下，连接，延长交于点，恰好是的中点．如果，求的长； （3）如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，请探究的值，并证明． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）；证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可求解； （2）根据，得到，则有，，所以，由勾股定理得到，则，所以即可求解； （3）根据题意可证，得到，，由，即可求解． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 在和中，， ， ； 【小问2详解】 解：如下图所示，连接，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：； 理由如下： 如下图所示，设，交于点， ，， ， 设， 则， ， ， ， ， ， ，则， ， 在和中，， ， ，， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三线合一等知识的综合运用，掌握正方形的性质，证明三角形全等，运用全等三角形的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽省阜阳市界首市八年级（下）期末 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，共39分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 3. 下列正多边形的组合中，能够平面镶嵌的是（ ） A. 正三角形和正六边形 B. 正方形和正五边形 C. 正三角形和正五边形 D. 正五边形和正七边形 4. 方程x2+2x﹣4＝0配方成(x+m)2＝n的形式后，则(　　) A. m＝1，n＝5 B. m＝﹣1，n＝5 C. m＝2，n＝5 D. m＝﹣2，n＝3 5. 已知一组数据2、3、9、6、10、6，那么6是这组数据的（ ） A. 平均数但不是中位数 B. 平均数也是中位数 C. 既不是平均数也不是中位数 D. 中位数但不是平均数 6. 已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2022 C. 2020 D. 2019 7. 如图，在中，，D、E分别为的中点，平分，交于点F，若，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 如图，点E在平行四边形ABCD内部，，，设平行四边形ABCD的面积为，四边形AEDF的面积为，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图．在中，，点是斜边上的中点，点在上，于，于，若，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 化简_____． 12. 已知一个多边形的每一个内角都等于108°，则这个多边形的边数是_____． 13. 已知点E为矩形的边上一点，若，，如果，那么_______． 14. 如图，在矩形中，，，E、F为、边上的动点，以为斜边作等腰直角（其中，），连接、． （1）若点E、F分别是的中点，则点G到的距离是________； （2）的最小值为______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算：． 16. 解方程：(x+1)2=3(x+1) 17. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，找一点P，使得以A，C，B，P为顶点的四边形为平行四边形； （2）在图2中，作出的平分线． 18. 观察下列各式： ……，请你猜想： （1） ， ． （2）请你将猜想到的规律用含有自然数的等式表达出来： 19. 已知，是关于x的一元二次方程的两实数根． （1）求m的取值范围； （2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 20. 如图，在中，D、E、F分别是各边的中点，是高． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，求的度数． 21. 跳绳是我国民间的一项体育项目，它可以促进少年儿童的健康发育，也可以培养身体的平衡感，因此具有较大的锻炼价值，一分钟跳绳不仅是学生体质测试的重要项目之一，也是近年来中考体育的重要考试选项之一，某校为了了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级学生中随机抽取了部分学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的成绩记为（跳绳个数），对数据进行整理，将所得的数据分为组：（组：；组：；组：；组：；组：），学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： 被抽取的学生的跳绳个数在组的数据是：，，，，，． 八年级被抽取的学生跳绳个数的平均数、中位数、众数如表： 年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）求八年级被抽取的学生的跳绳个数在的人数，并补全频数分布直方图； （2）______； （3）若该校八年级有学生名，估计全年级学生跳绳个数不少于个的人数． 22. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形愁态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物一月的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物一月的销售量是7.2万件，若近两个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天能销售量20件．通过市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 23. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为延长线上一点，且，求证：； （2）在的条件下，连接，延长交于点，恰好是的中点．如果，求的长； （3）如图，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，请探究的值，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $