精品解析：安徽省阜阳市界首市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度（下）期未学业结果诊断性评价 八年级数学 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，总分40分）每题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个符合题目要求． 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 关于x的一元二次方程，有实数解，则b的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 已知某商店今年1月份的营业额为100万元，3月份营业额为360万元．若营业额每月平均增长率为，则由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各数属于勾股数的是（ ） A. 1.5、2、2.5 B. 6、8、10 C. 3、4、6 D. 、、 7. 如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成．在中，直角边，．若将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 49 B. 51 C. 72 D. 76 8. 如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 9. 矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A. 对边平行 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 10. 如图，在矩形 中，已知，，点O、P分别是边、 的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4题，每题5分，满分20分） 11. 计算：_______． 12. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是_____ 13. 在直角三角形中，，则m的值是__________． 14. 如图，在边长为6的正方形 的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为____________． （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为___________． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算 （1）． （2）解方程：． 16. 国庆节时，某班一个数学小组，为庆祝祖国华诞，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张， 问这个小组一共有多少人？ 17. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的 处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 18. 如图，已知在中，分别是的中点，连结. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的周长. 19. 如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段，点A固定在格点上． （1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则a＝　 　，b＝　 　； （2）请你画出顶点在格点上且边长为的所有菱形ABCD，你画出的菱形面积为　 　； 20. 观察下列各式： ； ； ……， 请你猜想： (1) ， ． (2) 计算(请写出推导过程)： (3) 请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来． 21. 如图，在 中，于点 ，延长 至 点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求 的长． 22. 每年的月日是世界环境日，它反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，也表达了人类对美好环境的向往和追求．为了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，某校分别从七、八年级随机抽取了名学生的环保知识测试成绩(百分制，单位：分)，并对数据(测试成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．七年级名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下： (数据分成组：，，，，，) ．七年级名学生环保知识测试成绩在这一组的是(单位：分) ．七、八两年级名学生环保知识测试成绩的平均数、中位数和众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）写出表中 的值． （3）七年级小颖同学的测试成绩是分．她认为：“分高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩”．你认为她的说法正确吗？请说明理由． （4）若八年级名学生都参加了此次环保知识测试，估计八年级学生环保知识测试的总成绩． 23. 界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?． ②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 元? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度（下）期未学业结果诊断性评价 八年级数学 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，总分40分）每题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个符合题目要求． 1. 下列式子中，是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，解答关键是熟知形如的式子叫做二次根式． 【详解】解：A：被开方数是负数，无意义，不是二次根式，不符合题意； B：是二次根式，符合题意； C： 当时，是二次根式，当时，不是二次根式，不符合题意； D：是开立方根，不是二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法解方程，当两个因式的乘积为0时，至少有一个因式为0，分别解出对应的根即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，， 故选：A． 3. 关于x的一元二次方程，有实数解，则b的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义．熟练掌握有实数根，则是解题的关键． 根据，且，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，且， 解得，且， 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程两根为，且，则m的值为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后即可确定两个根，再由根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程两根为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握此关系是解题关键． 5. 已知某商店今年1月份的营业额为100万元，3月份营业额为360万元．若营业额每月平均增长率为，则由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果营业额每月平均增长率为x，根据某商店今年1月份的营业额为100万元，3月份营业额为360万元，可列方程． 【详解】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为100×（1+x）万元， ∴三月份营业额为100×（1+x）×（1+x）， ∴可列方程为， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的知识，平均增长率问题，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b． 6. 下列各数属于勾股数的是（ ） A. 1.5、2、2.5 B. 6、8、10 C. 3、4、6 D. 、、 【答案】B 【解析】 【分析】首先勾股数是正数，其次三个数满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，由此判断即可． 本题考查的是勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解： A．因为不是整数，所以不是勾股数，故本选项不符合题意． B．6、8、10都是整数，且，因此6、8、10是勾股数，故本选项符合题意． C．3、4、6都是整数，但，因此3、4、6不是勾股数，故本选项不符合题意． D．因为、、不一定是整数，所以不一定是勾股数，故本选项不符合题意． 故选：B． 7. 如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成．在中，直角边，．若将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ） A. 49 B. 51 C. 72 D. 76 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出 的长度，然后利用外围周长即可求解． 本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】 由题意可知， ∵ ，， ∴ ， ∴风车的外围周长． 故选：D． 8. 如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ） A. 60° B. 65° C. 75° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜边中线等于斜边一半，求出∠MPO=30°，再求出∠MOB和∠OMB的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形中， ∴∠MBO=∠NDO=45°， ∵点O为MN的中点 ∴OM=ON， ∵∠MPN=90°， ∴OM=OP， ∴∠PMN=∠MPO=30°， ∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°， ∴∠BMO=180°-60°-45°=75°， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质和直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质，根据角的关系进行计算． 9. 矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A. 对边平行 B. 对边相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质，熟练掌握矩形和平行四边形的性质是解题关键．根据矩形和平行四边形都有的性质：对边平行且相等，对角线互相平分等；矩形具有而平行四边形不具有的是对角线相等解答即可． 【详解】解：解：A、矩形和平行四边形的对边都平行，故不合题意； B、矩形和平行四边形的对边都相等，故不合题意； C、矩形和平行四边形的对角线都互相平分，故不合题意； D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不相等，故符合题意． 故选D． 10. 如图，在矩形中，已知，，点O、P分别是边、的中点，点H是边上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，得到四边形，连接，则长度的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用三角形的三边关系解决最值问题．连接、、．根据三边关系，P，求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、、． ∵四边形是矩形， ∴， ∵，，点O、P分别是边、的中点， ∴，， 在中， 由勾股定理，得， 在中， 由勾股定理，得， ∵，， ∴的最小值为 故选：C． 二、填空题（本题共4题，每题5分，满分20分） 11. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题． 12. 关于x的方程有实数根，则m的取值范围是_____ 【答案】m≤． 【解析】 【分析】分类考虑m=1与m≠1时，方程根的情况即可 【详解】若m=1时，方程为一元一次方程，x=-1，有实数根， 若m≠1时，则方程为一元二次方程， 方程若要有实数根，则，即， 所以m≤且m≠1， 综上所得，m的取值范围是m≤． 故答案为m≤． 【点睛】本题考查方程有实根的情形，掌握分类研究方程根确定m的范围，解题时注意一元一次方程的解得情况与一元二次方程根的判断，若△＜0，则无实数根，若△＞0则有两个不相等的实数根，若△=0，则有两个相等的实数根，通过△的取值来反推出m的取值范围． 13. 在直角三角形中，，则m的值是__________． 【答案】2或6##6或2 【解析】 【分析】因为是直角三角形，没有说明哪两个角是直角，这里应分两种情况求解：①是直角；②是直角． 【详解】解：∵是直角三角形， ∴分两种情况： ①是直角时，则， ∵， ∴此时， ∴， ∴， 此时； ②是直角时，则， ∵ ∴此时； 故答案为：2或6． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余，并注意分类讨论． 14. 如图，在边长为6的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为____________． （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为___________． 【答案】 ①. 12 ②. 【解析】 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：（1）作于H点， ∵正方形的边长为6， ， ， ， ， ． 故答案为：12 （2） 延长交于K点， ，， ， ，， ∵F为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 计算 （1）． （2）解方程：． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据平方差公式，二次根式乘法法则、二次根式除法法则计算各项，再进行加减运算即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 本题主要考查了二次根式的混合运算及解一元二次方程，熟练掌握二次根式的运算法则及一元二次方程的解法是解题的关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：由， 得， ， ， ，． 16. 国庆节时，某班一个数学小组，为庆祝祖国华诞，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张， 问这个小组一共有多少人？ 【答案】11人 【解析】 【分析】设这个小组一共有人，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设这个小组一共有人， 依题意得，， ， ， 解得，或（舍去）， ∴这个小组一共有11人． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意正确的列方程． 17. 消防车上的云梯示意图如图 所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的 处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置 与楼房的距离为米． （1）求 处与地面的距离． （2）完成 处的救援后，消防员发现在 处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从 处向着火的楼房靠近的距离 为多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中， 米，米， 米 米． 答： 处与地面的距离是米； 【小问2详解】 在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从 处向着火的楼房靠近的距离 为米． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． 18. 如图，已知在中，分别是的中点，连结. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的周长. 【答案】(1)见解析； (2)四边形的周长为12. 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到DF=DB=DA=AB=3，推出四边形BEFD是菱形，于是得到结论． 【详解】(1)∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形. (2)∵，是的中点，， ∴. ∴四边形是菱形. ∵， ∴四边形的周长为12. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 19. 如图，在4×3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段，点A固定在格点上． （1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则a＝　 　，b＝　 　； （2）请你画出顶点在格点上且边长为的所有菱形ABCD，你画出的菱形面积为　 　； 【答案】（1）；（2）见解析，菱形面积为4或5. 【解析】 【分析】（1）根据题意，画出图形，即可求解； （2）先画出边长为的所有菱形ABCD，，然后求出面积即可． 【详解】解：如图， （1）∵a是图中能用网格线段表示的最小无理数， ∴ ， ∵b是图中能用网格线段表示的最大无理数， ； （2）∵ ，即可画出图形， 如图，菱形ABC1D1和菱形ABC2D2即为所求； 菱形ABC1D1的面积为 ； 菱形ABC2D2的两条对角线长为 ， 故菱形ABC2D2的面积为 ； 综上所述，边长为的所有菱形ABCD的面积为4或5． 【点睛】本题主要考查了应用设计与作图以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 20. 观察下列各式： ； ； ……， 请你猜想： (1) ， ． (2) 计算(请写出推导过程)： (3) 请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来． 【答案】(1) ， ，(2) ．(3) （n≥1）． 【解析】 【详解】试题分析：根据二次根式的化简，通分后化简可得. 试题解析：（1） ; . （2）解：. （3）. 考点：二次根式的化简. 21. 如图，在中，于点 ，延长至 点使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判断，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理． （1）先证四边形是平行四边形，再结合即可； （2）先用勾股定理的逆定理证明，再根据等面积法即可． 【小问1详解】 证明：在中，于点 ，延长至 点使 ∴ 即 在中，且 ∴且． ∴四边形是平行四边形 ∵， ∴ ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积 ∴． 22. 每年的月日是世界环境日，它反映了世界各国人民对环境问题的认识和态度，也表达了人类对美好环境的向往和追求．为了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，某校分别从七、八年级随机抽取了名学生的环保知识测试成绩(百分制，单位：分)，并对数据(测试成绩)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． ．七年级名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下： (数据分成组：，，，，，) ．七年级名学生环保知识测试成绩在这一组的是(单位：分) ．七、八两年级名学生环保知识测试成绩的平均数、中位数和众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全频数分布直方图． （2）写出表中的值． （3）七年级小颖同学的测试成绩是分．她认为：“分高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩”．你认为她的说法正确吗？请说明理由． （4）若八年级名学生都参加了此次环保知识测试，估计八年级学生环保知识测试的总成绩． 【答案】（1） 补全频数分布直方图如下： （2） （3）小颖的说法不正确， 理由：分虽然高于本年级测试成绩的平均数，但低于中位数，所以她的成绩低于本年级一半学生的成绩； （4）分 【解析】 【分析】（1）用总数减去其它组的频数求出第三组的频数即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据中位数的意义求解； （4）用乘以八年级学生环保知识测试的平均数即可． 【小问1详解】 第三组的频数为； 【小问2详解】 七年级的中位数为 【小问3详解】 略 【小问4详解】 分， 答：估计八年级学生环保知识测试的总成绩为分． 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、平均数、中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解题的关键． 23. 界首市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个?． ②要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价为 元? 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）①该品牌头盔的实际售价应定为50元；②65 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可； （2）①设该品牌头盔的实际售价为a元/个，根据月销售利润 每个头盔的利润月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可求出答案． ②设该品牌头盔每月获得的利润为y元，则，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 根据题意可得，， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：①设该品牌头盔的实际售价应定为a元， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元． ②设该品牌头盔每月获得的利润为y元，则 ， ，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为12250． ∴该品牌头盔每个的售价为65元． 故答案为：65 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决增长率问题和利润问题，以及根据二次函数的性质求最大值问题．找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $