第五讲：有理数的乘除运算（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第五讲：有理数的乘除运算 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数乘法法则 同号相乘：同号得正， 并把绝对值相乘 异号相乘：异号得负， 并把绝对值相乘 任何数与 0 相乘，积仍为 0 知识点02：倒数 定义：如果两个有理数的乘积为 1，那么称 其中一 个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数 . 知识点03：有理数乘法的运算律 乘法交换律 ：两个数相乘，交换因数的位置，积不变 用字母表示：ab=ba 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变 用字母表示：(ab) c=a(bc) 乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数同两个数分别相乘再把积相加 用字母表示：a(b+c) =ab+ac 知识点04：有理数除法法则 1. 法则(一) (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . (2) 0 除以任何非 0 的数都得 0. 注意：0 不能作除数 . 2. 法则二  (1)除以一个数等于乘这个数的倒数 . 即： a÷ b=a×(b ≠ 0) . (2)运算步骤： 先将除号变为乘号， 将除数变为其倒数，再运用有理数乘法法则进行计算 . 知识点05：有理数的乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的 . 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 . 考点1：有理数乘法 【典型例题】 若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有是负数， 故选：A． 【变式训练1】 下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【变式训练2】 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的乘法，绝对值．根据绝对值的性质及有理数乘法法则，先确定的符号，再求其绝对值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：A 考点2：倒数 【典型例题】 若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：∵的倒数是，且， ∴， ∴的相反数是4， 故选：A． 【变式训练1】 的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查倒数的概念．倒数是指乘积为1的两个数，求一个数的倒数只需将其分子和分母交换位置，并保持符号不变． 根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】解： 的倒数是， 故选：D． 【变式训练2】 下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数． 分别计算各选项中两数的乘积，判断是否等于1即可． 【详解】解：A：，不互为倒数； B：，，互为倒数； C：，不互为倒数； D：，不互为倒数； 故选：B． 考点3：有理数除法 【典型例题】 若，则□内的数字是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，有理数的除法，根据等式，通过系数化为1求解方框内的数． 【详解】解：将等式两边同时除以，得：． 故选：B． 【变式训练1】 计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的除法运算，利用除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式训练2】 已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，据此化简绝对值后计算求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴ ， ， 故选：C． 考点4：有理数乘除混合运算 【典型例题】 计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘除运算，先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶C． 【变式训练1】 的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则判断即可．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【变式训练2】 有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（    ）块 A．24 B．34 C．44 D．54 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除法计算的应用，先求出房间的面积，再用房间的面积除以边长为80厘米的方砖面积即可得到答案． 【详解】解：， 所以需要54块， 故选：D． 一、单选题 1．2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数和倒数的概念，掌握相反数的和倒数的定义成为解题的关键． 先确定2025的相反数，再求其倒数即可． 【详解】解：2025的相反数是． 的倒数为． ∴2025的相反数的倒数是，对应选项B． 故选B． 2．小米把错看成了，那么她算出的结果与正确结果相差（   ） A．4 B．15 C．56 D．60 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，分别求出和的结果，再计算两者的差值即可得出结果． 【详解】解：正确算式展开：， 错误算式展开：， 正确结果错误结果 ． 因此，算出的结果与正确结果相差56， 故选：C． 3．若的运算结果为负数，则内的数字可以为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，解题的关键是掌握“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”． 根据有理数乘法法则，两数相乘结果为负，当且仅当两数符号不同．已知其中一个数为负数（），则另一个数需为正数． 【详解】∵的运算结果为负数， ∴内的数字为正数， 故选：A． 4．若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 【答案】B 【分析】本题考查化简绝对值，涉及代数式化简求值，根据的正负性，分情况讨论去绝对值后化简即可得到答案，由正负分类讨论去绝对值是解决问题的关键． 【详解】解：情况1：当时， ，，， 则； 情况2：当时， ，，， 则； 情况3：当时， ，，， 则； 情况4：当时， ，，， 则； 综上所述，的结果为或， 故选：B． 5．如图，在所给形状厚纸片上写上数字，围成一个几何体后，相对两个面上的数的商不可能是（   ） A．1.2 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，有理数的除法，掌握正方体展开图是解题的关键．利用长方体的展开图可以得1与3相对，2与4相对，5与6相对，然后求解判断即可． 【详解】解：由展开图可得1与3相对，2与4相对，5与6相对， ∴，；，；， ∴相对两个面上的数的商不可能是4． 故选：D． 6．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减和有理数的大小比较．由数轴确定a，b的正负，a，b和绝对值间的关系，是解决本题的关键． 根据各点在数轴上的位置，运算法则以及绝对值的性质求解即可． 【详解】由数轴知，，故①正确； 由于，所以，故②不正确； 由于，取的符号，所以，故③不正确； 由于，所以，故④不正确； 因为，所以，又因为，所以，故⑤正确； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：B． 7．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数在数轴上的表示，有理数的加、减、乘、除等运算法则的理解，深刻理解有理数的运算法则是解题的关键； 根据a，b两数在数轴上对应的点位置可得：，再根据有理数的加、减、乘、除等运算法则逐一判断即可. 【详解】解：由a，b两数在数轴上对应的点位置可得：， ∴， ∴， 综上分析可知：选项C正确，符合题意； 故选：C. 8．若，为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及有理数的运算，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的运算是解题的关键；由数轴可知，然后可进行排除选项． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，； 故选A． 二、填空题 9．的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故答案为：． 10．已知，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算，解题的关键是理解新定义运算法则． 根据新定义运算法则进行逐步计算即可． 【详解】解：根据新定义运算法则可得， 故答案为：7． 11．计算： . 【答案】0 【分析】本题考查有理数的乘法运算，核心在于理解零乘以任何数的结果都是零.本题的关键点在于识别乘数中存在0，直接利用乘法中乘零的特性快速得出结果，无需计算具体数值的乘积. 【详解】解：. 故答案为：0. 12．一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买10台这样的电视机需要 元． 【答案】20000 【分析】本题考查有理数乘法的实际应用，根据总价等于售价乘以销量，列出算式进行计算即可． 【详解】解：元； 故答案为：20000 13．某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤 天． 【答案】6 【分析】本题考查有理数除法的实际应用，根据出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，得到每5天出勤1天，即可满足题意，用总天数除以5，进行求解即可． 【详解】解：（天）； 即：出勤1天，接下来缺勤4天，满足题意， （天）； 故答案为：6． 14．规定运算“★”是则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义及有理数的除法及减法运算，根据新定义列出式子，根据运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 15．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．若只用到达，则平均速度为 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用，根据路程等于速度乘以时间求出甲、乙两地的距离，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案． 【详解】解；， 所以平均速度为， 故答案为：120． 16．电影《哪吒2魔童闹海》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有 人是同一个月出生的． 【答案】28 【分析】本题考查了抽屉原理：一年有12个月，把这12个月看做是12个抽屉，326人看作是326个元素，即可解答，理解题意是解题关键． 【详解】解：建立抽屉，把这12个月看做是12个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉的人数尽量的平均： ， （人）， 所以至少有28人是同一个月出生的． 故答案为：28． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是∶ （1）先确定符号，除法转乘法，再计算即可； （2）先确定符号，除法转乘法，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 18．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)二，运算顺序不对 (2)见解析 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算； （1）根据有理数的乘除混合运算的运算顺序可得答案； （2）先计算括号内的运算，再按照从左至右的顺序进行计算即可. 【详解】（1）解：上面解题过程从第二步开始出错，错误的原因是运算顺序不对； （2）解： . 19．检修小组乘汽车在东西方向的高速公路上检修线路，约定向东行驶为正，向西行驶为负．某天检修小组自基地出发到收工时，所走的十段路程（单位：千米）记录为： ，，，，，，，，， (1)收工时检修小组在基地的什么方向？距基地多远？ (2)若检修车每千米所耗电费元，求收工处到返回基地共耗电费多少元？ 【答案】(1)收工时检修小组在基地的东边，距基地千米 (2)元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，数轴，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）结合（1）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解： （千米）， 即收工时检修小组在基地的东边，距基地千米； （2）（元）， 即收工处到返回基地共耗电费元． 20．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 【答案】(1)同学E垫球最多，垫球最多的同学，垫球下 (2)这一组的同学共垫球下 (3)这一组同学平均垫球下 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的大小比较，有理数的混合运算，根据题意列出算式是解题的关键； （1）比较表格中各数的大小，进而求得垫球最多的人，根据下为标准，超过的记作正，即可得出最多垫球多少下； （2）用再加上表格数据，即可求解； （3）用（2）中数据，除以求得平均数，即可求解． 【详解】（1）解：根据表格数据，， 所以同学E垫球最多， ， 答：同学E垫球最多，垫球最多的同学，垫球下； （2）解：， 答：这一组的同学共垫球下； （3）解：， 答：这一组同学平均垫球下． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第五讲：有理数的乘除运算 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数乘法法则 同号相乘：同号得正， 并把绝对值相乘 异号相乘：异号得负， 并把绝对值相乘 任何数与 0 相乘，积仍为 0 知识点02：倒数 定义：如果两个有理数的乘积为 1，那么称 其中一 个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数 . 知识点03：有理数乘法的运算律 乘法交换律 ：两个数相乘，交换因数的位置，积不变 用字母表示：ab=ba 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变 用字母表示：(ab) c=a(bc) 乘法对加法的分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数同两个数分别相乘再把积相加 用字母表示：a(b+c) =ab+ac 知识点04：有理数除法法则 1. 法则(一) (1)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除 . (2) 0 除以任何非 0 的数都得 0. 注意：0 不能作除数 . 2. 法则二  (1)除以一个数等于乘这个数的倒数 . 即： a÷ b=a×(b ≠ 0) . (2)运算步骤： 先将除号变为乘号， 将除数变为其倒数，再运用有理数乘法法则进行计算 . 知识点05：有理数的乘除混合运算 1. 有理数的乘除混合运算顺序 按照从左到右的顺序计算，有括号的，先计算括号里面的 . 2. 有理数的乘除混合运算法则 有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算 . 考点1：有理数乘法 【典型例题】 若的运算结果为负数，则□内的数字可以为（   ） A．2 B． C．0 D． 【变式训练1】 下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2】 若，则（   ） A． B． C． D． 考点2：倒数 【典型例题】 若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 【变式训练1】 的倒数是（   ） A． B．2 C．1 D． 【变式训练2】 下列各数，互为倒数的是（    ） A．与1 B．与 C．与 D．与 考点3：有理数除法 【典型例题】 若，则□内的数字是（    ） A．3 B． C． D． 【变式训练1】 计算的结果等于（   ） A． B．3 C． D． 【变式训练2】 已知表示有理数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 考点4：有理数乘除混合运算 【典型例题】 计算的结果等于（    ） A．10 B． C．5 D． 【变式训练1】 的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【变式训练2】 有一间客厅，用面积是36平方分米的方砖铺地，需要96块．如果改用边长是80厘米的方砖铺地，需要（    ）块 A．24 B．34 C．44 D．54 一、单选题 1．2025的相反数的倒数是（　　） A．2025 B． C．-2025 D． 2．小米把错看成了，那么她算出的结果与正确结果相差（   ） A．4 B．15 C．56 D．60 3．若的运算结果为负数，则内的数字可以为（    ） A．1 B．0 C． D． 4．若都是不为零的数，则的结果为（      ） A．3或 B．3或 C．或1 D．3或或 5．如图，在所给形状厚纸片上写上数字，围成一个几何体后，相对两个面上的数的商不可能是（   ） A．1.2 B．2 C．3 D．4 6．有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列关系式：①，②，③，④，⑤．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．的倒数是 ． 10．已知，则 ． 11．计算： . 12．一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买10台这样的电视机需要 元． 13．某工人与老板签订了一份30天的劳务合同：出勤一天可得报酬240元，缺席一天则要从所得报酬中扣掉60元，扣完为止．该工人合同到期后没有拿到报酬，那么他最多出勤 天． 14．规定运算“★”是则 ． 15．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．若只用到达，则平均速度为 ． 16．电影《哪吒2魔童闹海》热播的第一天，万达影院3号厅326个座位坐满了观众，这些观众中至少有 人是同一个月出生的． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．阅读下面的解题过程并解答问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） (1)上面解题过程从第______步开始出错，错误的原因是______． (2)请写出正确的解答过程． 19．检修小组乘汽车在东西方向的高速公路上检修线路，约定向东行驶为正，向西行驶为负．某天检修小组自基地出发到收工时，所走的十段路程（单位：千米）记录为： ，，，，，，，，， (1)收工时检修小组在基地的什么方向？距基地多远？ (2)若检修车每千米所耗电费元，求收工处到返回基地共耗电费多少元？ 20．47中学初一学年体育课训练排球项目，要求每人每次垫球下，如果某同学垫球下，记作：；如果某同学垫球下，记作：．下面是某组6名同学垫球数量： 学生 同学A 同学B 同学C 同学D 同学E 同学F 数量／个 (1)从上面的记录中，哪名同学垫球最多？垫球最多的同学，垫球多少下？ (2)这一组的同学共垫球多少下？ (3)这一组同学平均垫球多少下？ 学科网（北京）股份有限公司 $$