第四讲：有理数的加减运算（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第四讲：有理数的加减运算 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数的加法法则 （1） 同号两数相加: 取相同的符号，并把绝对值相加 （2）异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值 （3）一个数同 0 相加仍得这个数 知识点02：有理数加法的运算律 （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变 （a+b=b+a） （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 ( a+b) +c=a+(b+c) 知识点03：有理数的减法 1. 法则：减一个数，等于加这个数的相反数 .用字母表示： a－b=a+(－b) 2. 两数相减差的符号 (1) 较大的数－较小的数 = 正数，即若 a>b，则 a－b>0. (2) 较小的数－较大的数 = 负数，即若 a<b，则 a－b<0. (3) 相等的两个数的差为 0，即若 a=b，则 a－b=0. 知识点04：有理数的加减混合运算 1.运算方法：在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算 . 2. 书写形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它们前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式 . 3. 算式的读法：省略加号和括号的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有两种读法：一种是按代数和所表示的意义读，读作 “负 9，负12，负 3 与正 7 的和”，另一种是按运算意义读，读作“负 9 减 12 减 3 加 7”. 知识点05：有理数加减混合运算的实际问题 “水位变化”问题是典型的有理数加减混合运算的实际问题 . 解决此类问题要理解水位变化的含义，即正号表示水位比前一天 上升，负号表 示水位比前一天下降，参 考对象是前一天的水位 . 此类问题还包括“股票价格变化”“产量变化” 等实际问题 . 考点1：有理数加法 【典型例题】 计算：（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加法．根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式训练1】 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的加法．根据异号两数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【变式训练2】 比大4的数是（    ） A． B．2 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法，根据题意进行列式再计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 考点2：有理数减法 【典型例题】 我县某天的最高气温是，最低气温是，则这天的日温差是（　　） A． B．6 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，根据题意，日温差等于最高气温减去最低气温，利用有理数减法法则进行计算即可； 【详解】解：； 因此，这天的日温差是6℃， 故选：B 【变式训练1】 若且，则的值是（    ） A．2 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，有理数的减法运算，根据绝对值的意义，结合，求出的值，再根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴或； 故选D． 【变式训练2】 若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴上两点间的距离，即数轴上两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值，或用右边的点表示的数减去左边的点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点A，B分别表示数为，2， ∴A，B两点之间的距离可表示为， 故选：C． 考点3：有理数加减混合运算 【典型例题】 把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后去掉括号和加号即可． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式训练1】 数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（    ） A．7 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴上的动点问题．根据点的移动方向列式计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得点表示的数为， 故选：D． 【变式训练2】 已知有理数，，，，请你通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个最大值是（    ）． A．22 B．23 C．19 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意，用正数减去负数，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 考点4：有理数加减混合运算的实际应用 【典型例题】 春节期间走亲访友相互拜年是传统习俗，长辈们都很关心同学们的学习情况，如果将小明同学期末数学成绩110分记为“分”，小丽的成绩记作“”，则小丽本次期末数学测试的成绩为（   ） A．111分 B．107分 C．103分 D．117分 【答案】C 【分析】本题考查了正数、负数的应用，有理数的减法；由题意知，标准的分数为106分，超过的记为正数，不足的记为负数，根据小丽的成绩记作“”即可求解． 【详解】解：小明同学期末数学成绩110分记为“分”， 则标准的分数为106分， 由小丽的成绩记作“”，则小丽的的成绩为（分）； 故选：C． 【变式训练1】 嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用、有理数的加减运算等知识点，理解正负数的相反意义成为解题的关键． 先根据有理数的正负数的相反意义列式，然后根据有理数加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意可得：元． 故选D． 【变式训练2】 一个点从直线上某点出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时，这个点表示的数是1，则起点表示的数是（    ）． A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数加减法的应用．根据题意列式计算即可． 【详解】解：根据题意得到，， 即起点表示的数是， 故选：C 一、单选题 1．若+□=0，则□表示的数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据加法运算的法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 2．如图，比点表示的数大1的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数与数轴，根据数轴上的点所表示的数，右边比左边的大，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点表示的数为， ∴比点表示的数大1的数是； 故选B． 3．一天早晨希拉穆仁草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法． 根据题意，早晨气温为，中午上升了，通过加法计算中午的气温即可． 【详解】解：∵一天早晨希拉穆仁草原的气温是，中午上升了， ∴这天中午的气温是 故选B． 4．某品牌乒乓球的产品标准中规定：直径为的乒乓球是合格品，则下列经测量得到的数据中，不合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．计算有理数的加减法可得该品牌乒乓球的产品直径在（含）与（含）之间是合格品，由此即可得． 【详解】解：，， 则该品牌乒乓球的产品直径在（含）与（含）之间是合格品， 观察四个选项可知，不合格的是， 故选：C． 5．比低的气温是（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据温度变化的含义，低即温度减少，进行减法运算即可求解． 【详解】解：． 故选：C． 6．乒乓球被誉为我国的 “国球 ”，在正规比赛中，乒乓球的标准质量为2.8克．质检员在检验乒乓球质量时，把超出标准质量0.13克 的乒乓球记作，那么一个质量为2.4克的乒乓球记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的实际应用．超出标准质量用正数表示，不足则用负数表示．计算实际质量与标准质量的差值，即可确定对应的符号． 【详解】解：∵（克）， ∴该乒乓球比标准质量少0.4克，记作． 故选：D 7．在数轴上，把表示的点沿着数轴移动4个单位长度得到的点所表示的数是（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，掌握以上知识是解决本题的关键． 根据数轴上动点的运动知识，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：当表示的点沿着数轴向右移动4个单位长度时， 当表示的点沿着数轴向左移动4个单位长度时， ∴表示的点沿着数轴移动4个单位长度得到的点所表示的数是1或． 故选C． 8．把写成省略括号的和的形式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，根据有理数加法法则、减法法则将括号前的符号与括号内的数结合，改写为省略括号的和的形式即可； 【详解】解： ， ， 故选D． 二、填空题 9．若a与b互为相反数，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握互为相反数的两个数相加得0是解题的关键． 根据互为相反数的两个数相加得0计算即可． 【详解】解：若有理数a与b互为相反数，则， 故答案为：0． 10．若，，则的值为 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查了绝对值的计算，理解绝对值的意义是关键；由题意可求得x与y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 综上，的值为3或5． 故答案为：3或5． 11．在公元纪年法中，没有“公元0年”的概念，公元前1年的下一年是公元1年，即公元元年．如果公元前102年记作年，那么再过2125年是公元后的多少年呢？应记作 年． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算． 根据“公元前1年的下一年是公元1年”列式计算即可． 【详解】解：∵公元前1年的下一年是公元1年， ∴再过2125年是（年） 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13．数轴上点A表示的数是3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点，则平移后点表示的数是 ． 【答案】10或 【分析】此题考查数轴上的点平移法则，有理数的加减运算，理解左减右增是关键． 数轴上点的平移：向左平移，表示的数减少，向右平移，表示的数增大，然后即可求出答案． 【详解】解：如果向右平移：； 如果向左平移：． ∴平移后点表示的数是10或． 故答案为：10或． 14．数轴上一点表示的数为，将点先向右移个单位，再向左移个单位，则这个点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据“左减右加”列式计算即可求解，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：这个点表示的数是， 故答案为：． 15．小食堂会计铁锤妹妹某天办理以下业务：支出120元，收入300元，支出230元，收入150元，支出70元，收入5元，则食堂这一天共收入 元． 【答案】35 【分析】本题考查了，正负数的实际应用，有理数加减混合运算的应用，根据题意列出算式，再进行有理数加减混合运算，即可求解；能根据实际意义列出算式并正确进行运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意：（元） 则食堂这一天共收入35元， 故答案为：35 16．某地气温开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降，这时气温是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，理解题意，掌握有理数的加减运算是关键． 根据题意，运用有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降， ∴， ∴这时气温是， 故答案为：． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)26 (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加法法则计算即可； （2）利用有理数的减法法则计算即可； （3）利用有理数的减法法则计算即可； （4）利用有理数的加法运算律计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．某邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； (2)求这名邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)18千米 【分析】本题考查了数轴、正负数和有理数的加法在实际中的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； （1）根据已知条件，在数轴上把A、B、C三个村庄的位置表示出来即可； （2）根据绝对值的意义列出算式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由题意可得：千米； 答：这名邮递员一共骑行了18千米． 19．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】(1)收工时该检修小组在A地的西方，距离A地千米 (2)该检修小组这一天行驶的总路程为千米 【分析】此题考查正数和负数的应用，解题的关键在于结合实际运用相关定义． （1）将所记录的数据求和，和为正数则在A地的东方，如果为负数则在西方，其绝对值是距A的距离； （2）求出所记录数据的绝对值的和即为所行的所有的路程． 【详解】（1）解：（千米）， ， 答：收工时该检修小组在A地的西方，距离A地千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 20．下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 【答案】(1)五；39 (2)见解析 (3)米，下降了，下降了0.8米 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数运算的实际应用，读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键： （1）找到表格中数据的最大数据，进行判断和求解即可； （2）根据题意，列出算式，填表即可； （3）利用周一的实际水位减去变化量求出上一星期日的水位，求出图（2）表格中数据的和，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，该水库这星期水位最高的一天是星期五，这一天的实际水位是米 （2），，， 填表如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 （3）上一星期日的水位为（米）． （米）， 所以与上一星期日相比，这一星期日该水库水位是下降了，下降了0.8米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年北师大版七年级数学上册 第四讲：有理数的加减运算 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：有理数的加法法则 （1） 同号两数相加: 取相同的符号，并把绝对值相加 （2）异号两数相加：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值 （3）一个数同 0 相加仍得这个数 知识点02：有理数加法的运算律 （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变 （a+b=b+a） （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 ( a+b) +c=a+(b+c) 知识点03：有理数的减法 1. 法则：减一个数，等于加这个数的相反数 .用字母表示： a－b=a+(－b) 2. 两数相减差的符号 (1) 较大的数－较小的数 = 正数，即若 a>b，则 a－b>0. (2) 较小的数－较大的数 = 负数，即若 a<b，则 a－b<0. (3) 相等的两个数的差为 0，即若 a=b，则 a－b=0. 知识点04：有理数的加减混合运算 1.运算方法：在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算 . 2. 书写形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它们前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式 . 3. 算式的读法：省略加号和括号的求和算式(如“－9－12－3＋7”)通常有两种读法：一种是按代数和所表示的意义读，读作 “负 9，负12，负 3 与正 7 的和”，另一种是按运算意义读，读作“负 9 减 12 减 3 加 7”. 知识点05：有理数加减混合运算的实际问题 “水位变化”问题是典型的有理数加减混合运算的实际问题 . 解决此类问题要理解水位变化的含义，即正号表示水位比前一天 上升，负号表 示水位比前一天下降，参 考对象是前一天的水位 . 此类问题还包括“股票价格变化”“产量变化” 等实际问题 . 考点1：有理数加法 【典型例题】 计算：（    ） A． B．5 C． D．1 【变式训练1】 根据有理数加法法则，计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 比大4的数是（    ） A． B．2 C．6 D． 考点2：有理数减法 【典型例题】 我县某天的最高气温是，最低气温是，则这天的日温差是（　　） A． B．6 C．2 D． 【变式训练1】 若且，则的值是（    ） A．2 B． C． D．或 【变式训练2】 若数轴上点A，B分别表示数为，2，则A，B两点之间的距离可表示为（   ） A． B． C． D． 考点3：有理数加减混合运算 【典型例题】 把写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点，若点表示的数为1，则点表示的数为（    ） A．7 B． C．3 D． 【变式训练2】 已知有理数，，，，请你通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个最大值是（    ）． A．22 B．23 C．19 D．0 考点4：有理数加减混合运算的实际应用 【典型例题】 春节期间走亲访友相互拜年是传统习俗，长辈们都很关心同学们的学习情况，如果将小明同学期末数学成绩110分记为“分”，小丽的成绩记作“”，则小丽本次期末数学测试的成绩为（   ） A．111分 B．107分 C．103分 D．117分 【变式训练1】 嘉嘉一周内在某支付平台上有4次交易：①购物支出950 元；②售卖个人物品存进500元；③购物支出800元；④绩效奖励存进1200元．则这一周嘉嘉在平台上的余额增加了（    ） A．1700元 B．900元 C．400元 D．元 【变式训练2】 一个点从直线上某点出发，先向右移动5个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时，这个点表示的数是1，则起点表示的数是（    ）． A．2 B． C． D． 一、单选题 1．若+□=0，则□表示的数是（   ） A．5 B． C． D． 2．如图，比点表示的数大1的数是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．一天早晨希拉穆仁草原的气温是，中午上升了，则这天中午的气温是（    ） A． B． C． D． 4．某品牌乒乓球的产品标准中规定：直径为的乒乓球是合格品，则下列经测量得到的数据中，不合格的是（    ） A． B． C． D． 5．比低的气温是（   ） A．2 B． C． D．4 6．乒乓球被誉为我国的 “国球 ”，在正规比赛中，乒乓球的标准质量为2.8克．质检员在检验乒乓球质量时，把超出标准质量0.13克 的乒乓球记作，那么一个质量为2.4克的乒乓球记作（   ） A． B． C． D． 7．在数轴上，把表示的点沿着数轴移动4个单位长度得到的点所表示的数是（    ） A．1 B． C．1或 D． 8．把写成省略括号的和的形式是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若a与b互为相反数，则 ． 10．若，，则的值为 ． 11．在公元纪年法中，没有“公元0年”的概念，公元前1年的下一年是公元1年，即公元元年．如果公元前102年记作年，那么再过2125年是公元后的多少年呢？应记作 年． 12．计算： ． 13．数轴上点A表示的数是3，将点A在数轴上平移7个单位长度得到点，则平移后点表示的数是 ． 14．数轴上一点表示的数为，将点先向右移个单位，再向左移个单位，则这个点表示的数是 ． 15．小食堂会计铁锤妹妹某天办理以下业务：支出120元，收入300元，支出230元，收入150元，支出70元，收入5元，则食堂这一天共收入 元． 16．某地气温开始是，一会儿升高，再过一会儿又下降，这时气温是 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．某邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行2千米到达A村，继续向西骑行3千米到达B村，然后向东骑行9千米到达C村，最后回到邮局． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，用1厘米表示1千米，画出数轴，并在该数轴上表示出A、B、C三个村庄的位置； (2)求这名邮递员一共骑行了多少千米？ 19．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 20．下表是某水库一星期内的水位（单位：米）变化情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 注：该水库的警戒水位是35.5米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低． (1)该水库这星期水位最高的一天是星期_______，这一天的实际水位是_______米． (2)若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”．请补全下面的这星期水位（单位：米）变化表． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (3)上一星期日该水库的水位是多少？与上星期日相比，这一星期日该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$